円の面積の公式を導く

　半径がｒの円の円周の長さは、「円周率：π」を使って表すと、

　　（円周） ＝ （円の直径）×（円周率） ＝ ２πｒ

　と表せる。
　この式から、円の面積の公式「πｒ²」を導き出してみよう。

半径ｒの円を、いくつかの環に分割してみる。

円を、同じ幅のｎ個の輪に分割してみる。すると、輪の幅は、ｒ／ｎ。

輪の１つに注目してみる。円の内側から数えてｉ番目の輪は、

輪の中心から外側までの長さが、（ｒ／ｎ）×ｉ
輪の中心から内側までの長さが、（ｒ／ｎ）×（ｉ−１）

輪の外側の長さは、２π×（ｒ／ｎ）×ｉ
輪の内側の長さは、２π×（ｒ／ｎ）×（ｉ−１）

輪の面積を、四角形の面積と比べて考えてみると、

（輪の内側の長さ）×（幅） ＜ （輪の面積） ＜ （輪の外側の長さ）×（幅）

2π×(r/n)×(i-1) × (r/n) ＜ （輪の面積） ＜ 2π×(r/n)×i × (r/n)

2π(r/n)²×(i-1) ＜ （輪の面積） ＜ 2π(r/n)²×i

円の面積を考えてみると、分割した輪の合計だから、
（円の面積）＝（１番目の輪の面積）＋（２番目の輪の面積）＋・・・＋（ｎ番目の輪の面積）

2π(r/n)²×0 ＋ 2π(r/n)²×1 ＋・・・＋2π(r/n)²×(n-1)
＜ （円の面積） ＜
2π(r/n)²×1 ＋ 2π(r/n)²×2 ＋・・・＋2π(r/n)²×n

2π(r/n)²×{0+1+・・・+(n-1)}
＜（円の面積）＜
2π(r/n)²×(1+2+・・・+n)

2π(r/n)²×[{0+1+・・・+(n-1)}+{(n-1)+・・・+1+0}]/2
＜（円の面積）＜
2π(r/n)²×{(1+2+・・・+n)+(n+・・・+2+1)}/2

2π(r/n)²×{(n-1)+(n-1)+・・・+(n-1)}/2
＜（円の面積）＜
2π(r/n)²×{(n+1)+(n+1)+・・・+(n+1)}/2

2π(r/n)²×(n-1)n/2 ＜（円の面積）＜ 2π(r/n)²×(n+1)n/2

πr²(n-1)/n ＜（円の面積）＜ πr²(n+1)/n

πr²(1-1/n) ＜（円の面積）＜ πr²(1+1/n)

分割数をどんどん増やしていくと、円の面積に近づいていく。
分割数ｎを無限に大きくしていくと、
　(1-1/n) → 1
　(1+1/n) → 1
に近づいていくから、それぞれ、

　πr²(1-1/n) → πr²
　πr²(1+1/n) → πr²
に近づいていく。

よって、円の面積は、πr²

上記の方法では、円を環に分割して、分割数を多くすることで円に近づけていったが、 円を近い三角に分割して分割数を多くすることによっても導き出せると思う。

←戻る