3次方程式の因数分解による解き方と
多項式の除法

因数定理→3次方程式が教科書の順番だが、三次方程式の解き方から始めた方が理解し易いと思う。(高校の数学)

3次方程式の因数分解による解き方・解法

3次方程式を解くとは、因数分解して、(X-A) (X-B) (X-C) = 0 とする事であり、
この時、3次方程式の解はX=A, B, Cとなる。
(二次方程式を因数分解して解くのと考え方は同じ)

3次方程式の問題

3次方程式X−6X+11X−6=0の解を求めよ。
左辺を因数分解すると、(X−1)(X−2)(X−3)=0だから、
解はX=1,2,3である。

解の求め方

解、1,2,3をどうしたら求められるであろうか。
f(X)=X−6X+11X−6=(X−1)(X−2)(X−3)とすると、

  • f(1)=(1−1)×(1−2)×(1−3)=0
  • f(2)=(2−1)×(2−2)×(2−3)=0
  • f(3)=(3−1)×(3−2)×(3−3)=0

よって、f(X)=0となるXを求めれば良いという事になる。

解の候補

(X-A) (X-B) (X-C)を展開すると、X・・・−ABC。
問題の場合、(X−1)(X−2)(X−3)を展開すると、X・・・−6。
−ABCが−6だから、A、B、Cの候補はかけて、−6になる数。
解の候補は+1、+2、+3、+6、−1、−2、−3、−6。
f(1)、f(2)、f(3)、f(6)、f(−1)、f(−2)、f(−3)、f(−6)を計算すると、
f(X)=0となるのはX=1、2、3の時。
解はX=1,2,3である。
ただ、f(1)からf(−6)までを全て計算するのは面倒。

3次方程式の解き方・教科書の解法

  1. 解の候補を1つだけ求める。
    計算が簡単なf(1)を求めると、f(1)=0となる事が分かる。
    よって、X−6X+11X−6=(X−1)(X+□X+△)
  2. 多項式の除法で(X+□X+△)を求める。
    (X+□X+△)=(X−6X+11X−6)÷(X−1)=X−5X+6

  3. よって、X−6X+11X−6=(X−1)(X−5X+6)
  4. (X−5X+6)を因数分解する
    (かけて+6、足して−5になるのは、−2と−3)
    (X−5X+6)=(X−2)(X−3)
    よって、X−6X+11X−6=(X−1)(X−2)(X−3)
    解はX=1,2,3である。
    因数分解できない時は、解の公式を使う。

多項式の除法

  • 多項式の除法は、整数の割り算と同じような方法で行う。
  • マイナスを引くとプラスになる事に注意。

整数の割り算 筆算

  
3)853
  
  25
  24
   13
   12
    1・・・あまり

  1. 8と3を見てを立てます。と3をかけて、引き算し5を下ろします。
  2. 25と3を見てを立てます。と3をかけて24、引き算し3を下ろします。
  3. 13と3を見てを立てます。と3をかけて12、引き算し1、あまりは1。

多項式の除法 筆算

    X−5X  +6   .
X−1)X−6X+11X−6
     −X
      −5X+11X
      −5X +5X
           6X−6
           6X−6
              0

  1. −6X+11X−6の先頭XとX−1の先頭Xだけを見てを立てます。とX−1をかけて、−X、引き算して+11Xを下ろします。
  2. −5X+11Xの先頭−5XとX−1の先頭Xだけを見て−5Xを立てます。 −5XとX−1をかけて、−5X+5X、引き算して−6を下ろします。
  3. 6X−6の先頭6XとX−1の先頭Xだけを見てを立てます。とX−1をかけて、6X−6、引き算して0、割り切れました。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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