＜2次関数の最大・最小＞
関数の値域に最大の値があるとき、これをこの関数の最大値といい、値域に最小値があるとき、これをこの関数の最小値という。
＊定義域などに制限がある場合を含めて、最大値・最小値に関する問題では
2次関数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ≠0)の最大値または最小値は
基本形： ｙ＝ａ(ｘ－ｐ) ２＋ｑ の形にすること。
＊最大･最小なら２次関数を基本形ｙ＝ａ(ｘ－ｐ) ２＋ｑ の形にする。理由は、最大･最小は軸の位置によって決まるからです。
２次関数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃのグラフは定義域が実数全体のとき
●ａ＞0のとき ｘ＝ｐで最小値ｑ (最大値はない)
●ａ＜0のとき ｘ＝ｐで最大値ｑ (最小値はない)
で、それはグラフの頂点のｙ座標である。 つまり、
ｘ＝ｐのとき、それのｙ座標が最小値・最大値をとる。
＜定義域が制限されている場合＞
定義域に制限があるときは、その制限のｘの範囲でｙの値の変化を調べて、最大または最小を求める。 定義域(緑の矩形)内にある放物線の最小・最大をみつける。
●最大・最小は軸から遠く離れたｘ点が最大(ａ＞0)、または最小(ａ＜0)となる。
●2次式は基本形ａ(ｘ－ｐ) ２＋ｑに直してグラフを描く。
●グラフの頂点のⅹ座標(軸ｘ＝ｐ)と両端のｙの値を比較して最大・最小を決める。
●軸の位置により下図のパターンで最大･最小が変わる。(下図はａ＞0のとき)
ａ＜0の場合、グラフが上に凸で、最大・最小が入れ替わる。
● 軸がｂ≦ｘ≦ｊのどの位置かに注目。
● ａ＞0の場合、放物線の軸と変域の中心の位置が一致しているところを境にして、その放物線の軸位置と変域(定義域)の中心点との位置により、その軸位置とは反対側の変域の最端点が最大となる。例えば、下図で変域(定義域)の中心点より軸が右側にあれば、ｘ＝ｂのときのｙ座標が最大値となる。下図参考！
●ａ＞0ののときに最小値を求める場合、軸が変域内にあればｘ＝ｐ(頂点)で最小となり、区間外に軸があるときは軸に近い端で最小となる。下図参考！
例：関数ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ－５(０≦ｘ≦3)最大値･最小値を求めよ。
ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ－５を変形して、ｙ＝－２(ｘ－1) ２－3 頂点は(1、－3)
ｘ＝0のとき ｙ＝－２・0２＋４・0－5＝－5 ｙ＝－５ (左端の値)
ｘ＝３のとき ｙ＝－２(３－１) ２－３＝－11 ｙ＝－11 （右端の値）
よってｘ＝0で最大値―５、ｘ＝３で－11
＜区間の一端が動く場合＞
変域（定義域）の一端が変数となり、その変数の増加で変域が広がり、最大値・最小値を判断するには、各場合のグラフを描き、区間の両端の値を比べる。ポイントは放物線の軸と変域の中心の位置が一致しているところ()を境にして、その放物線の軸と変域の中心点との位置により、最大値・最小値を判別する。
例：0≦ｘ≦ａにおける関数 ｙ＝－2ｘ２＋4ｘ＋1の最小値を求めよ。
＊上に凸のグラフになるのです。軸と定義域の左端が固定してます。ポイントは変域(定義域)の両端で同時に最小値を取る場合(放物線の軸が定義域の中央と一致するとき)、つまりf(0)＝ｆ(ａ)となるａの値です。その値を基準にして考えていこう。この基準になる値ａは(放物線の軸が定義域の中央点と一致するとき)、軸の方程式の2倍なので、
関数を変形して、ｙ＝－２(ｘ－１)＋3 頂点は(１、3)
軸の方程式はｘ＝１ → ａ＝２ ←これを基準に考える。
(変域0≦ｘ≦ａの中央値ｘ＝
が軸ｘ＝１に一致するのでａ＝２ｘ よって、ａ＝２)
ここから、ａの値での場合分けをして、最小値を求めます。
ア：０＜ａ＜2のとき
変域の左端、すなわちｘ＝0で最小となり、ｙの値が最小値。よって１をとる
イ：ａ＝２のとき
変域の両端、すなわち、ｘ＝0、2で最小となり、ｙの値が最小値。よって１をとる
ウ：２＜ａのとき
変域の右端、すなわち、ｘ＝ａで最小となり、最小値－２ａ２＋４ａ＋１をとる。
ア～ウをまとめると、0≦ｘ≦ａにおける最小値は
0＜ａ≦２のとき 最小値 １
２＜ａのとき 最小値 －２ａ２＋４ａ＋１
例：０≦ｘ≦1における関数ｙ＝ｘ２－２ｐｘの最小値を求めよ。
下に凸のグラフです。軸が変域内に含まれる場合、頂点が最小値。そうではない場合、両端のいずれかが最小値となる。よって、場合分けする。
関数ｙ＝ｘ２－２ｐｘを変形して、
ｙ＝(ｘ－ｐ) ２－ｐ２ 頂点は点(ｐ、－ｐ)、 軸ｘ＝ｐ
この軸ｘ＝ｐが０≦ｘ≦1の変域に含まれるか否かで場合分けする。
補足：ｘ２－２ｐｘ＝ｘ(ｘ－２ｐ) よりｘ＝0、2ｐ←ｘ軸の交点
ｘ＝１のときｘ２－２ｐｘ＝１２－２ｐ・１＝１－２ｐ←ｘ＝１のときのｙの値
ア：ｐ＜0のとき
変域の左端(ｘ＝0)で最小となり、ｙの値が最小値。よって0をとる。
イ：0≦ｐ＜１のとき
頂点が変域内に含まれるのでｘ＝ｐ(頂点)で最小となる。
ｙの値が最小値なので、最小値－ｐ２をとる。
ウ：１≦ｐのとき
変域の右端(ｘ＝１)で最小となり、ｙの値が最小値。最小値１－２ｐをとる。
まとめると、答：ｐ＜0のとき 最小値0
0≦ｐ＜１のとき 最小値－ｐ２
１≦ｐのとき 最小値１－２ｐ
では、上の例題の最大値は？グラフが下に凸であるから、変域の中心位置を境にして軸の位置と反対側の最端で最大値をとる。放物線の対称性により、変域０≦ｘ≦1の中央位置がｘ＝
、(軸ｘ＝ｐなので)
ア：ｐ＜のときｘ＝１で最大値１－２ｐ
イ：ｐ＝のときｘ＝0,1で ｙ＝0－2*p*0=0, y=1－2**1=0 よって最大値0
ウ：＞ｐのときｘ＝0で最大値0
まとめると、 ｐ＜のとき最大値１－２ｐ、≦ｐのとき最大値0
＜区域全体が動くとき＞
グラフが下に凸のとき、ｔ≦ｘ≦ｔ＋2のように定義域が変数であるとき、区間の幅は２である。この区間の中央位置と関数の軸の位置を比べて、軸が区間の中央の点と一致していない場合、軸の反対側にある定義域の最端が最大値。軸と同じ側の定義域の端が最小値である。
例：ｔ≦ｘ≦ｔ＋2においての関数ｆ(ｘ)＝2ｘ２－4ｘ+3の最大値Ｍ(ｔ)および最小値ｍ(ｔ)を求めよ。
ｆ(ｘ)＝２(ｘ－1)２+1 軸はｘ＝1、頂点は(１、1)、ｔ≦ｘ≦ｔ+２の中央値はｔ+1
ｘ＝ｔのときのｙ座標の値(このｙがｘ＝ｔのときの最大値か最小値になる)は、
ｆ(ｔ)＝2ｔ２－４ｔ＋3＝2ｔ２－4ｔ＋3
ｘ＝ｔ+2のときのｙ座標の値は、
ｆ(ｔ+2)＝2 (ｔ+2)２－4 (ｔ+2)＋3＝2ｔ２＋４ｔ＋3
最大値は、
ア：ｔ＋1＜1 すなわちｔ＜0のとき Ｍ(ｔ)＝ｆ(ｔ) ←ｘ＝ｔのｙ座標が最大値
イ：ｔ＋1≧1 すなわちｔ≧0のとき Ｍ(ｔ)＝ｆ(ｔ+2) ←ｘ＝ｔ+2のｙ座標が最大値
最小値は、
ウ：ｔ+2＜1 すなわちのとき ｍ(ｔ)＝ｆ(ｔ+2)
エ：ｔ≦１＜ｔ+2 すなわちｔ≦1かつ1＜ｔ+2→－1＜ｔ よって、－1＜ｔ≦1のとき
ｍ(ｔ)＝ｆ(1)
オ：１＜ｔのとき ｍ(ｔ)＝ｆ(ｔ)
答： Ｍ(ｔ)＝2ｔ２－4ｔ＋3 (ｔ＜0)
Ｍ(ｔ)＝2ｔ２＋４ｔ＋3 (ｔ≧0)
ｍ(ｔ)＝2ｔ２－4ｔ＋3 (ｔ＜－1)
ｍ(ｔ)＝1 (－1＜ｔ≦1)
ｍ(ｔ)＝2ｔ２－4ｔ＋3 (１＜ｔ)
＜グラフが動く場合＞
例えば、ｙ＝－３(ｘ－ｐ) ２＋５（0≦ｘ≦4）では、軸の方程式は ⅹ＝ｐである。ｐの値によって、軸位置が変わる。最大・最小は、ｐ＞0（定数）という条件で、
＊軸ⅹ＝ｐが区間0≦ｘ≦4の内か外か ←ｐと4の大小 (ｐ＞0より)
＊軸ⅹ＝ｐが区間の内ならば、区間の中央に対して軸が左か右か ←ｐと２の大小
で決まる。
上記より場合分けしてグラフより最大・最小をもとめる。
例： ｐ＞0（ｐは定数）として、関数ｙ＝－(ｘ－ｐ) ２＋４ (0≦ⅹ≦2)について、その値域をｐの値によって場合分けして求めよ。
＊ｐは軸なので、値域をもとめるには軸位置で変化する最大・最小を求める。
また、この放物線はすでに基本形：ｙ＝ａ(ｘ－ｐ) ２＋ｑの形ですね。
値域はｘの定義域内でｆ(ｘ)がとりうる値（ｙ座標）の範囲。
関数ｙ＝－(ｘ－ｐ) ２＋４は 上に凸のグラフです。 軸はｘ＝ｐ
またｘ＝0のときｙ＝4＋ｐ２、ｘ＝ｐのときｙ＝4、ｘ＝２のときｙ＝ｐ(ｐ＋4)をとる。
場合分け：
＊軸ⅹ＝ｐが区間0≦ｘ≦2の内か外か→
0＜ｐより→ 0＜ｐ≦2、 2＜ｐ(区間の外側)
＊軸ⅹ＝ｐが区間の内ならば、区間の中央に対して軸が左か右か (区間の中央は1)→
0＜ｐ＜1(区間の中央より左側)、 １≦ｐ≦2(区間の中央より右側)
そこで、0＜ｐ＜1、１≦ｐ≦2、2＜ｐのように場合分けする。
次に各場合分けのグラフより最大・最小を求める。
下図より、ア：0＜ｐ＜1のとき値域は ｐ(ｐ＋4)≦ｙ≦４
イ：１≦ｐ≦2のとき値域は 0≦ｙ≦4
ウ：2＜ｐのとき値域は 0≦ｙ≦ｐ(ｐ＋4)
＜最大・最小から係数決定＞
＊最大･最小なら２次関数を基本形ｙ＝ａ(ｘ－ｐ) ２＋ｑ の形にする。最大･最小は軸の位置によって決まるからです。 また、ａの正負が不明のとき、ａ＞0、ａ＝0、ａ＜0場合分けして最大値、最小値を考えよう。簡単にグラフを描いて軸との距離で定義域の端が最大･最小なのかを決める。また場合に分けたら、場合の条件の確認も正確に行う。
例： 関数ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｂ(－２≦ｘ≦1)の最大値が6、最小値が2のとき定数ａ、ｂの値を求めよ。
ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ＋１) ２－ａ＋ｂ 軸ｘ＝－1
ａ＞0のとき グラフより、ｘ＝－1で最小、ｘ＝1のとき最大となる。
したがって、ｆ(－1)＝ａ－２ａ＋ｂ→ ｆ(－1)＝－ａ＋ｂ＝2
ｆ(1)＝ａ＋２ａ＋ｂ→ ｆ(1)＝３ａ＋ｂ＝6
これを解くと ａ＝１、 ｂ＝３ これはａ＞0を満たす。
ａ＝0のとき ｆ(ｘ)＝ｂ 一定となり、問題の条件を満たさない。
ａ＞0のとき グラフより、ｘ＝－1で最大、ｘ＝1のとき最小となる。
したがって、ｆ(－1)＝ａ－２ａ＋ｂ→ ｆ(－1)＝－ａ＋ｂ＝6
ｆ(1)＝ａ＋２ａ＋ｂ→ ｆ(1)＝３ａ＋ｂ＝2
これを解くと ａ＝－１、 ｂ＝5 これはａ＜0を満たす。
答： ａ＝１、ｂ＝３ または ａ＝－１、ｂ＝５
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