＜条件より２次関数の方程式を求める＞

＜２次関数の決定＞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

条件：頂点または軸が与えられたとき　→　ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^２＋ｑ　

　　：頂点の情報がないとき。または3点の情報がわかる場合　→　ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ

　　：ⅹ軸との交点が２つわかるとき　→　ｙ＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β)

　　：ⅹ軸と接するとき　→　ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^２

＊ａがポイント！

例：

グラフの頂点が(２、－3)で点(1、－5)を通る２次関数をもとめよ。　　

＊頂点が与えられたので、ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^２＋ｑ　(a≠0)でスタートしよう。

ｙ＝ａ(ｘ－２)^２－3　　←グラフが点(1、－5)を通るから、

－5＝ａ(１－２)^２－3　よって、ａ＝－2　←ａ≠0を満たす。　

よって、ｙ＝－２(ｘ－2)^２－3　　すなわち、ｙ＝－2ｘ^２＋8ⅹ－11答

例：

３点(3、0)、(6、0)、(2、－8)を通る放物線の方程式を求めよ。　

　　＊３点ではあるが、2点がⅹ軸との交点なので、ｙ＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β)でスタートしよう。　　

ｙ＝ａ(ｘ－3)(ｘ－6)　→　－8＝ａ(2－3)(2－6)　→　ａ＝－2

よって、ｙ＝－２(ｘ－3)(ｘ－6)　→　ｙ＝－2ｘ^２＋18ｘ－36 答

例：

放物線ｙ＝－2ｘ^２＋9ｘ－18 を平行移動したもので、ⅹ軸と2点(－1,0) 、(2,0)で交わる。
＊平行移動しても2次の係数は変わらないので、－2である。

また、ⅹ軸と2点で交わるから、ｙ＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β)でスタートしよう。　　

ｙ＝－２(ｘ＋１)(ｘ－2)　　すなわち、ｙ＝－2ｘ^２＋2ｘ＋4　答

例：

ｙ＝2ｘ^２－4ｘ＋3 を平行移動したもので、2点(－2,－11)、 (1,4)を通る。
＊もとのグラフの式より、2次の係数が２である情報がもらえた。

　　頂点の情報はないので、ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃよりスタートしよう。

よって、－11＝２・(－2)^２＋ｂ(－2)＋ｃ　→　－２ｂ＋ｃ＝－19

４＝2・(1)^２＋ｂ(1)＋ｃ　→　ｂ＋ｃ＝2

ｂ＝７、ｃ＝－５、　　　よって、ｙ＝２ｘ^２＋７ｘ－５　答

例：

グラフは放物線ｙ＝ｘ^２－ｘ－２を平行移動したもので、点(２,3)を通り、その頂点は直線ｙ＝3ｘ－1上にある。このような2次関数を求めよ。
＊問題に頂点はｙ＝3ｘ－1とあるから、

基本形ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^２＋ｑ　頂点の座標（ｐ、ｑ）よりスタート。

頂点(ｐ、ｑ)が直線ｙ＝3ｘ－1上にあるので、その座標は(ｐ、3ｐ－1)とおける。

また平行移動しても放物線の2次の係数はａ＝1のままである。求める2次関数は、

ｙ＝(ｘ－ｐ)^２＋3ｐ－1　････①

このグラフが(２,3)を通るから、　

3＝(2－ｐ)^２＋(3・2)－1　→　ｐ^２－ｐ＝0　→　ｐ(ｐ－1)＝0

よってｐ＝0、1　　

このｐの値をそれぞれ①に代入して、求める2次関数は、

ｙ＝(ｘ－0)^２＋3・0－1　→　ｘ^２－1　

ｙ＝(ｘ－1)^２＋3・1－1　→　ｙ＝(ｘ－1)^２＋2　→　ｙ＝ｘ^２－2ｘ＋3

　　答　ｘ^２－1　　と　　ｙ＝ｘ^２－2ｘ＋3

＜最大･最小からの決定＞

2次関数はグラフが対称になっているので、2次の係数が正の場合は、頂点が最小値となる。係数が負の場合は頂点が最大値である。ここに、範囲が定められると、場合分けにより求められる。最大・最小より、2次関数をもとめるためにどの式からスタートするかは問題より読み取っていこう。

例題：

次の条件に適する2次関数を求めよ。

①ｘ＝1のとき最小値2をとり、ｘ＝3のときｙ＝6となる。

②ｙ－１≦ⅹ≦5において、ｘ＝－1のとき最小値－7、ｘ＝3のとき最大値9をとる。

解①：

①は定義域がなく、最小値をとるのだから、グラフが下に凸(ａ＞0)である。

ⅹ＝１のとき最小値２をとるから、頂点に関する情報なので,

求める２次関数は基本形ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^２＋ｑよりスタートする。

よって、ｙ＝ａ(ｘ－1)^２＋2　(ａ＞0)　　　←ｙ＝2＝ａ(１－１)^２＋2

更に、ｘ＝3のとき、ｙ＝6なので、上の式に代入し　

6=ａ(3－1)^２＋2　→　６＝４ａ＋２　　よって、ａ＝１　(ａ＞0を満たす)

よって、　ｙ＝(ｘ－１)^２＋２　すなわち、ｙ＝ｘ^２－２ｘ＋３　答

解②：

ｘ＝３は－１≦ⅹ≦5の定義域内にある。その値は定義域の端ではなく、且つ最大値ということから、ａ＜0のグラフの頂点である事がわかる。

よって、求める２次関数は基本形ｙ＝ａ(ｘ－ｐ)^２＋ｑよりスタートする。

ｙ＝ａ(ｘ－3)^２＋9　(ａ＜0)とおける。

軸ｘ＝３は定義域－１≦ⅹ≦5の右寄りにあるから、ｘ＝－1で最小値ｙ＝－7をとる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

－7＝ａ(－1－3)^２＋9　よって、ａ＝－１　（ａ＜0を満たす）

したがって　　ｙ＝－(ｘ－3)^２＋9　　すなわち、ｙ＝－ｘ^２＋６ｘ　答

＜連立方程式の解法＞

●連立方程式などで、文字が多い式のときは、等しい数量を作って＝(イコール)で結び、一文字を消去して、残りの文字式について解けば良い。　　

●連立３元一次方程式の解法も、一文字を消去して、残りの２文字についての連立方程式を導き、そこで更に一文字消去しある一文字についての値を求め、その値を使い、他の２文字を導きだす。

例：　→②を４倍し、①②の右辺を８で等しくして、＝で結ぶ。

　　　ａ(1－ｐ)^２＝4ａ(２－ｐ)^２両辺をａで割る。

　　　(1－ｐ)^２＝4(２－ｐ)^２　→　－3ｐ^２－14ｐ＋15　→　　

　　　　　　　　　　　→　(3ｐ－5)(ｐ－３)＝0　　　　∴ｐ＝、3

　　　ｐ＝のとき①に代入して、　→　＝8　　∴ａ＝18

　　　ｐ＝３のとき①に代入して、ａ(１－３)^２＝８　→　4ａ＝8　∴ａ＝2

＜２次関数のグラフと２次方程式＞

2次関数ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃのグラフとⅹ軸との共有点のⅹ座標は、2次方程式ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝0の実数解（Ｄ≧0）である。

この方程式が実数解をもつかどうかはＤ＝ｂ^２－４ａｃの符号で決まる。

復習：

一般形　ａｘ²＋２ｘ＋ｃ＝0　　（ａ、ｂ、ｃは実数、ａ≠0）

　　　　　の形で表される方程式をⅹの２次方程式という。

　　　　　2次方程式とは、Ｙ＝0のときのｘの値をもとめる式（解は実数解がないときもある）

解説：

2次関数　ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ･････①

①のグラフがⅹ軸と共有点(α、0)を持つとき

↑言い換えると、グラフがｘ軸と点(α、0)で接するか交わるという意味ですよ。

0＝ａα^２＋ｂα＋ｃ･･･････②　が成り立つ。　　←グラフが点（α、0）を通る。

したがって、ｘ＝αは　

2次方程式　　ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝0･････③の実数解である。

　逆に、２次方程式③が実数解ｘ＝αをもつとき、②が成り立つから、点(α、0)は２次関数①のグラフとⅹ軸の共有点である。

一般に次のことがいえます。

　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとⅹ軸の共有点のⅹ座標は、

　　　方程式ｆ(ｘ)＝0の実数解である。

お助け：

「共有点」とは「交点」と考えて差し支えありません。Ｄ＝0のグラフはⅹ軸に「接する」といい、正確には「交わる」とは言えないので、その「共有点」を「接点」と呼ぶようにしています.

　　

２次の係数が正・負のどちらであってもⅹ軸の共有点は一致(赤の破線みよ)するから係数の符号は関係ない。それについて少し説明しよう。

2次関数ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃのグラフはＤ＝ｂ^２－４ａｃとし、ⅹ軸のｐ、ｙ軸のｑとおいてみる。ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃの平方完成により

ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝より、頂点の座標を(ｐ、ｑ)とすると、ｐは、ｑはです。このｙ座標ｑの値によって（ⅹ軸に接するとか、正か負によって）、ⅹ軸の共有点が決まる。もっと解り易くいえば、

ｙ座標のですが、ａ＞0のときにＤ＞0であれば、なので下に凸のグラフで頂点のｙ座標は負になる。また、ａ＜0のときにＤ＞0であればなので上に凸のグラフで頂点のｙ座標は正になる。上の表を見てください。どちらの場合でも、ⅹ軸の共有点（交点）は同位置にあります。（赤の点線上にⅹ軸の交点があるでしょう？）２次の係数が正・負のどちらであってもⅹ軸の共有点は一致する(赤の破線みよ)から係数の符号は関係ないのである。ａの正・負に関係なく、Ｄの符号よって上記表のような関係がある。