不等式

不等号をもちいて数の大小関係を表した式。　不等号の左側の数や式を左辺、右側の数や式を右辺、両側を両辺という。

＜不等式の解＞

たとえば変数�Iについての不等式で、その不等式を成り立たせるようなｘの値をその不等式の解という。不等式の解のすべてを求める事を不等式を解くという。

＜１次不等式＞

変数ｘについての不等式で、ａｘ＞ｂ、aｘ＜ｂ、ａｘ≧ｂ、ａｘ≦ｂのいずれかの形になる不等式をｘについての一次不等式という。

＜１次不等式の解き方＞

１：かっこをはずす

２：係数の分数、小数は両辺に適当な数を掛け、係数を整数にする。

３：移行する。変数ｘの項は左辺に。定数項は右辺に。

　　定数項とは：方程式で未知数を含まない項。また、多項式で変数を含まない項。

３：両辺をそれぞれ整理して、ａｘ≦ｂ　などの簡単に形にする。

４：両辺を　変数ｘの係数ａで割る　（ａの正負で不等号の向きが変わるので注意）

＜不等式の基本的性質＞

ア：２つの実数ａ、ｂについては、ａ＞ｂ、ａ＝ｂ、ａ＜ｂの３つの関係のどれか１つだけが成り立つ

イ：ａ＞ｂ、ｂ＞ｃ　⇒　ａ＞ｃ

ウ：ａ＞ｂ　⇒　ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ、ａ−ｃ＞ｂ−ｃ

エ：ａ＞ｂ、ｃ＞0　⇒　ａｃ＞ｂｃ、　

オ：ａ＞ｂ、ｃ＜0　⇒　ａｃ＜ｂｃ、

＊　不等式では、両辺に同じ負の数を掛けたり、割ったりすると不等号の向きが変わります。

例　5＞3　　両辺に4を掛ける⇒　５×4　＞　３×４

例　5＞3　　両辺に−４を掛ける⇒　５×(−4)　＜　３×(−４)　→　−20＜−12

例　−3ｘ＞15　　両辺を−3で割る⇒　�I＜−5

例　Ａ＜Ｂ＜Ｃ　，ｘ＜ｙ＜ｚならば

　　　Ａ＋ｘ＜Ｂ＋ｙ＜Ｃ＋ｚ　　また、　Ａ−ｚ＜Ｂ−ｙ＜Ｃ−ｘ

例　0.5ｘ＋0.9＞ｘ−0.2

　　両辺に10を掛けて　5ｘ＋9＞10ｘ−2　→　5ｘ−10ｘ＞−2−9　→　−5ｘ＞−11

　　両辺を−5で割ってｘ＜

＊「　Ａ≧Ｂ　」は「Ａ＞Ｂ　または　Ａ＝Ｂ」ということ。

＜実数の大小と差の正負＞

　　ａ−ｂ＞0　⇔　ａ＞ｂ　　　　　　　　ａ−ｂ＜0　⇔　ａ＜ｂ

＜正の数の大小と平方の大小＞

　　ａ＞0、ｂ＞0のとき　ａ²＞ｂ²⇔　ａ＞ｂ　　

　　　　　　　　　　　　ａ²≧ｂ²　⇔　ａ≧ｂ　

＜連立不等式＞

連立不等式の解き方：

�@それぞれ別個に不等式を解く

�A最後にすべての不等式の解をあわせて共通範囲をもとめる

　　例　5ｘ−2≦ｘ≦3ｘ＋2

　　５ｘ−2≦ｘ　→　４ｘ≦2　→　ｘ≦････�@

　　ｘ≦3ｘ＋2　→　−２ｘ≦2　→　ｘ≧−1････�A

　　　　　�@と�Aの共通範囲をもとめて　−1≦ｘ≦

　　　例　

　　�@　6ｘ−1≦3ｘ＋9　→6x−3ｘ≦10　→　

　　�A　両辺に3掛けて　→　６ｘ＋9＞5−2ｘ−12　→　

　　　　→　６ｘ＋2ｘ＞−16　→8ｘ＞−16　→　ｘ＞−2　

�@と�Aの共通範囲をもとめて　−2＜　

＜分数不等式＞　

　　

　例　　＞0　→　ｘ・(ｘ−２)＞0　　　　　←両辺にｘ²を掛けると不等号の向きは同じになる　
　

＜相加相乗平均の不等式＞

　　＊ａｘ＋　の形の分数の最小値を求めるときに役立つ。

　　→両辺に２を掛けて→　　　　

　　　相加平均　　　相乗平均

例　�I＋　の最小値とそのときの�Iの値を求める。

　　�I＋　≧２≧２

　　　≧２ということは　＝2でもある。両辺に�Iを掛けて(等式なのでｘ²をしなくてよい)

　　　

　　ｘ^２−２ｘ＋１＝0　　→　　(ｘ−１) ^２＝0　　　よってｘ＝1

数学目次へ→