＜方程式・2次方程式の例題＞

例：ａを実数の定数とするとき、２次方程式�I²＋ａ�I−ａ＋3＝０の解を判別せよ。

　　　　＊「解を判別せよ」なので、判別式で求められるａの値で、判別する。

　　解）Ｄ＝ａ²−４*1*(−ａ＋3)＝ａ²＋４ａ−12＝(ａ＋6)(ａ−2)

　　　　よってＤ＞0　すなわち　ａ＜−6、２＜ａのとき　異なる２つの実数解

　　　　　　　Ｄ＝0　すなわち　ａ＝−6、2のとき　　　重解

　　　　　　　Ｄ＜0　すなわち　−6＜ａ＜2のとき　　　異なる２つの虚数解

例：２次方程式ａ�I²−2�I＋1＝0が異なる２つの実数解をもつように、実数ａの値の範囲を定めよ。

　　　　＊2次の係数が文字であるが、ａ＝0であると2次方程式でなくなるからａ≠0

　解）２次方程式であるから、ａ≠0・・・・・�@

　　　異なる２つの実数解を持つための条件は　　　＝(−1)²−ａ*１＞0

　　　　　ゆえにａ＜1・・・・・�A　　　�@�Aより　　ａ＜０、０＜ａ＜１　

例：２次方程式　ｋ�I²−(4ｋ−１)�I＋4ｋ＋１　が実数解をもつように、定数ｋの値を定めよ。

　　　　＊与えられた２次方程式が実数の解をもつときの条件は、Ｄ≧0

　解）　(4ｋ−１)²−４*ｋ*( 4ｋ＋１)≧0　→　−12ｋ−1≧0

　　　　ゆえに　　　　ｋ≦　答

例：�Iの方程式ａ�I²＋(２ａ−1)�I＋ａ＝0が異なる２つの実数解をもつような定数ａの値の範囲をもとめよ。

　　　　＊ここでは方程式とあるから、2次の係数はａ＝0、ａ≠0の二つの場合で考える。

解）ａ＝0のときは、0*�I²＋(２*0−1)�I＋0＝0　→　

　　　　　→−�I＝０　で解がひとつなので適さない。

　　よって、ａ≠0、Ｄ＞0が条件

　Ｄ＝(2ａ−1) ²−4ａ²＞0　→　−4ａ＋1＞0　→　ａ＜

　条件より、ａ＜0、0＜ａ＜

例：２つの2次方程式�@6�I²＋ｋ�I-6ｋ＝0、�A�I²−6�I−4ｋ＝0が共通の解を持つように、定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ。

　　　　＊因数分解できないので、共通解�Iを�I＝αと置いて解いていこう。

解）共通解を�I＝αとおく。�@6α²＋ｋα−6ｋ＝0, �Aα²−6α−4ｋ＝0　

　　連立で解く→　(ｋ−2)(α−2)＝0

ｋ＝２、α＝２の２つの場合で、実数解をもっていれば�@�Aに代入して共通解を求める。

ア：定数ｋ＝2としたとき、�@�Aの判別式＝1²−2*4　　

　　　　　＜0　となり実数解をもたない。

　　イ：α＝２のとき２²＋2＋ｋ＝0より、ｋ＝−6　→�@�Aに代入して

　　　　　�@�I²＋�I−6＝0　�A2�I²−6�I＋4＝0

　　　　　�@�Aを解くと�@�I＝1,2　�A�I＝−3、2　　　　　ｋ＝−6、共通解�I＝2　答

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