絶対値

ちなみに絶対とは、条件づけられることなく、独立的で、それ自体において完全であることを意味する。
小数と分数の関係で、小数の0.23は　分数では23/100であらわす。この分数式、0.23という情報と「100のうちの23」という情報、さらにそのイメージを描くのも可能という特殊な存在である。と私は思ってます。分数だけではなく物事を数学で表現する手段として、数字の大きさを計る定規ような器具的存在の絶対値がある。と、前置きしておきます。こんな表現してよいのか。。。間違ってるでしょうか?

絶対値とは２点間の距離または、差、大きさを意味するもの。

定義では、数直線上で、原点０と点Ｐの間の距離のことだ。

だから、点Ｐが正でも負でも絶対値は同値になる(図参考)⇒

ということは、

絶対値Ⅹを満たすⅩの値は正と負の両方にあるのだ！

絶対値記号は｜　｜です。
　　　　＊－５の絶対値を求めるときは、
　　　　　　　|－5|＝－(－5）＝5　　というように式にあらわす。
　　　　＊絶対値が3　なのは、－3　と　3　の２つある。
　　　　　　　|－3｜＝－（－3）＝3
　　　　　　　｜3｜＝3

問題文中に絶対値｜－5｜などが出てきたらその絶対値記号｜｜をはずさないといけません。
絶対値をはずすにはグラフ、方程式、不等式それぞれに特有の方法がありますが、基本は次の考え方です。

｜Ａ｜の絶対値のはずし方　→　絶対値の内部の正負で場合分けをする。

Ａ≧０のとき｜Ａ｜＝Ａ、Ａ≦０のとき｜Ａ｜＝－Ａ

ヒント：　　| |の中が数字だけの場合（上の例のような）、正の値が絶対値である。

絶対値｜－3｜の内部は負ですよね。この場合の絶対値は3になるけど、
｜　｜の内部が負ならマイナス記号を消さないといけないと3という正の数になりません。

やりかたは(－)×(－)＝(+)だから内部でマイナスを掛けたんだ。
内部ではこんな感じで負の符号を消します。
よって　｜－３｜＝－(－３)＝3

次は、絶対値を求めるのではなく、その絶対値の元である｜｜の中の話。
その||の中の文字の値をもとめるにはどうするか？
こういう場合は右辺の絶対値が数字だったりする。右図を参考にしてね。

絶対値｜Ｘ｜＝３　を満たすＸの値は　Ｘ＝－３,３

＊｜５｜と|－2｜の絶対値をもとめてみよう。

　|－2|　= Ｃ　　内部が負なので－(－２)＝２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           答：Ｃ＝２
　　　｜5｜＝Ｃ　　５の絶対値は、５          答：Ｃ＝5

＜絶対値をイメージ的に例える＞

綱引きしています。
この８Ｍという距離は地面の仕切り線(緑線)と
綱の中心(青線)とを垂直に位置合わせし、
中心から8Ｍの距離にある目印の赤紐までの距離。
ここでは、左側の赤組だけをみてみよう。
８Ｍ引っ張り寄せる(＋)と勝ち。
逆に８Ｍ引っ張られる(－)と負け。
この８Ｍという大きさは引っ張り込まれても、
引っ張られても長さは変わらない。
だけど、方向（正負）がある。(８Ｍ引き寄せた・８Ｍ引っ張られた)
この８Ｍは絶対的に変化しない。

プラス方向の－8Ｍやマイナス方向の8Ｍというものは
8Ｍという大きさ (絶対値)があるのです。
その大きさを絶対値といいます。
｜Ｘ｜＝８　　Ｘ＝－８、８

どうアガイテモ、縮まらない距離。それが絶対値？！
身長で例をあげると、Ａ君160ｃｍ、Ｂ君170ｃｍとする。　
その差は10ｃｍ。　これは二人の身長の差の大きさである。
Ｂ君を基準にして、Ａ君は－10ｃｍである。　|－10|
Ａ君を基準にして、Ｂ君は+10ｃｍである。　｜10｜
この差の大きさ(絶対値)は10ｃｍである。決して負の値にはならない。
|－10|＝－10　　となぜしちゃいけないか？
－10という大きさでは尺度に使えないからと思っておこう。

２点aとbの絶対値を求めてみよう。

（ａ＜ｂのとき）｜ｂ－ａ｜= ±（ｂ－ａ）

（ａ＞ｂのとき）｜ａ－ｂ｜= ±（ａ－ｂ）

だから～、距離だから絶対値なんだよ

＊点－5と点3の絶対値は|３－(－５)｜＝8　　

＊点－１と点－７では、|－１－７｜＝－(－８)＝8

ということで、こんどは逆に考えてみよう。

絶対値｜Ｘ｜＝5　であるということは？　

つまり、｜－５｜＝5または、｜5｜＝5でもあるので、
｜Ｘ｜= 5　とは、Ⅹは正負の両方があるということだから、　答えは　Ⅹ＝　±5

　

＜絶対値を含む方程式・不等式の解＞

方程式、不等式は絶対値を含んだりします。
絶対値｜Ｘ｜（絶対値は常に正）を満たすⅩの値は以下の基礎Ａ，Ｂ，Ｃを参考にしてみてください。

以下の基礎Ａ，Ｂ，Ｃはとても重要です。覚えるように！
　＊文字Ｃは絶対値の解で正の数字のつもりでみてください。

基礎Ａ｜Ⅹ｜＝C を満たすⅩの値は　Ⅹ=±C

　　距離である絶対値｜Ｘ｜がある。絶対値は正と負の両方ある。

　よって、Ｘの値はＣ(正の数字)，－Ｃ(負の数字)である。

　　例1　｜Ⅹ｜＝３

｜Ｘ｜＝３をみたすＸの値は　――＞　解：Ⅹ＝±３

　　例１ａ　|－３｜＝　－(－３)＝３

基礎Ｂ｜Ⅹ｜＜C を満たすＸの値は　－Ｃ＜Ⅹ＜Ｃ

不等式だから、値を断定できないよね。

この場合のＸは、（解である正の数字）Ｃより小さい値である。
極端な例でいうと、（解である正の数字）Ｃが２であるとします。
２より小さい数字は0.9とか0.05とか（正の数字）。
２より小さい値で、｜Ｘ｜＝0.9とすると、0.9＜2でしょ。
Ｘは正負の両方あるので、Ｘ＝－0.9、0.9なので、ほら、範囲内にＸがあるでしょ。

例2　｜Ｘ｜＜10

　｜Ｘ｜＜10をみたすＸの値は　――＞　解：－10＜Ｘ＜10

基礎Ｃ｜Ｘ｜＞C を満たすＸの値は　Ｘ＜－Ｃ，Ｃ＜Ｘ

例で示すと、｜4.5｜＝3とします。4.5＞3でしょ。

Ｘは正負の両方あるので、Ｘ＝－4.5、4.5なので、ほら、範囲内だね。

下の例を上の図にあてはめてごらん。例1ではＣ＝３としてみてね。

例3　｜Ｘ｜＞２｜Ｘ｜＞２をみたすＸの値は　――＞　解：Ⅹ＜－2、2＜Ｘ

例　＊｜Ｘ｜＝8 解：Ⅹ＝±8 ＊｜Ｘ｜≧5　　解：－２≧Ⅹ、２≦Ｘ

＊｜－15｜ ⇒　－(－15)＝15　解：｜－15｜＝15

＊　⇒　|－6|　⇒ －(－6)＝6　解：｜２－8｜＝6

＊｜Ｘ－３｜＞２　ヒント：この形は　｜Ｘ｜＞Ｃ　よって、Ｘ＜－Ｃ，Ｃ＜Ｘ

Ｃは２なので、Ｘ－３＜－２、２＜Ｘ－３　ゆえに　Ｘ＜1，5＜Ｘ　答

＊4｜1－Ｘ｜≦３　ヒント：｜1－Ｘ｜は｜Ｘ－１｜と変形できる。

｜Ｘ－1｜≦　→　－≦Ｘ－１≦　→　≦Ｘ≦　答

ここまでのまとめ

｜Ｘ｜＝数字(距離みたいなもんだね)　　変数Ｘの絶対値は正と負の２コある.

絶対値＝縮まぬ２点間の距離　だから！

＜絶対値が文字式の場合＞

ここからは、絶対値が文字式の場合どうやるかみてみよう.

｜Ｘ｜ = 数字　ではなく、　｜Ｘ｜= Ｂ(Ｂは文字式)のような場合のこと。
ええっ！Ｘ＝±Ｂでは答えがわかんないよ。

０を基準として、０より大きいと「正の数」，０より小さいと「負の数」に分けられます。0は正負どっち側にあってもよい。

何故場合分けするか？
｜Ｘを含む文字式｜≦　Ｘ　を含む文字式の場合、絶対値の内部の正負で場合分けして絶対値をはずさないといけない。
絶対値は正負の両方があるのはもうわかるでしょう？絶対値｜Ｘ｜＝5　のとき、｜－５｜＝5または、｜5｜＝5でもあるので、
｜Ｘ｜= 5　をみたすⅩの値は、正負の両方があるからです。

Ｘという文字は正か負かわからないので、うっかりミスを起こしかねません。

|２Ｘ－３|＜Ｘ　で説明しましょう。

２Ｘ－3＜Ｘ　→　Ｘ＜3としてよいか？　　　いいえ、いけません。　なぜか？

いきなり絶対値記号をはずして２Ｘ－3　としてはいけないのです。２Ｘ－3　が負である可能性があるからです。

負の場合、|２Ｘ－３|＝－(２Ｘ－３)＝－２Ｘ＋３　としなくちゃ始まりませんね。

それで、－２Ｘ＋３＜Ｘ　→　－３Ｘ＜－３　→　Ｘ＜1　ほら、解まで違うでしょ。よって、|　|の中の正と負で場合分けして考えなくてはならない。

|　|の中の文字は正かもしれないし、負かもしれない。それがハッキリわからないから両方の場合を考えないといけない。

場合分けしたら、絶対値の解は正負両方である。
そのとき、場合分けの条件と解の範囲が満たされているか必ず確認する。条件を満たさない部分は解にはならない。

正と負の両方のパターンで解の範囲をもとめたわけだから、その正の範囲と負の範囲の両方が場合分けした解になるのは当然だね。

絶対値を含む不等式のときは正負の解を合わせるように。
範囲がダブらないようにするため。当ページの一番下に例がある。

例題　｜２Ａ－３｜＜Ａ　

　　ヒント：絶対値内部の正負は、Ａ≧のとき正、Ａ＜のとき負になるね。

Ａ≧のとき、２Ａ－３＜Ａ　ゆえにＡ＜3　よって≦Ａ＜3････①

Ａ＜のとき、－(２Ａ－３)＜Ａ　ゆえにＡ＞１，よって１＜Ａ＜････②

不等式の場合最後に①と②を合わせた範囲が解だ　１＜Ａ＜３　答

＊解説＊

覚えているでしょうか、絶対値｜－15｜の内部は負ですよね。
この場合の絶対値は15になるけど、｜　｜の内部が負ならマイナス記号を消さないといけないと１５という正の数にはならないよ。
やりかたは(－)×(－)＝(+)だから内部でマイナスを掛けたんだ。
それで、絶対値の値は常に正の数字であるのだ。
あなたは、３名が離れて歩いているのを見て、真ん中の人を基準に、
後ろの人の位置(負)は３メートル　前の人の位置(正)は２．５メートルっていう
絶対的な距離がみえるからわかるでしょ？（ま、巻尺を使って計るとして）
てか、この前後（正負）の距離は両方とも正の距離ですよね？巻尺で計れるのだから。

ところが、２点間の距離がマイナスの距離って？？？だから、絶対値は＋、正でなければ。

だから、②の青の太字部分は負だから、マイナスで掛けなきゃ正の絶対値はでてこないんだ。

場合分けをしたら、その条件を満たすか確認をする！