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ソフトウェア：データ編 その２ 整数以外の数は？ | |||||||||||||||||
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前の章では「コンピューターは０〜一定値以内の整数しかわからない」ということを説明しました。 これを見て当然みなさんは疑問に思うでしょう。例えばエクセルのような表計算ソフトでは3.14とか-234とかいろいろ扱えます。これは一体どうやっているのでしょう？ ここではそういった数がどのように表現されるのかを解説します。 大きな整数昔の８ビットＣＰＵでは一度に０〜２５５までの数しか扱えませんでした。これでは実際の問題に対してはほとんど役に立たないのは当然です。最新のものでも４２億前後です。これは結構大きいとは言っても、現在の世界人口を考えれば、あまり多くはありません。 では例えば０〜２５５しか扱えないＣＰＵでどうやってそれ以上の数を扱うのでしょう？ 答えは簡単です。２回とか４回に分けて計算するのです。 すなわち1110101111101000という数があったとしたら、これを８桁ずつに分けて別々に計算すればいいのです。 よくわからない？原理は下の通りです。 小学校で足し算をするとき
としませんでしたか？この計算の途中でできなければいけないのは一桁の足し算だけです。しかしそれにも関わらず、どんな大きな数の足し算でもできるわけです。 ２進法の場合も同様で、１桁の２進法の足し算ができれば、原理的に何桁の足し算もできるわけです。しかし１桁ではあまりにもちゃちなので、例えば８ビットのＣＰＵでは８桁いっぺんに計算ができます。 というわけでその気になればメモリーのエリアの許す限りの大きな数を扱えます。 しかし実際は２回に分けて０〜６５５３５までとか、４回に分けて０〜4294967295という範囲の計算しかしません。その理由は実際上はこの程度で十分なことが多いことと、次の章で述べる、負の数の問題があるからです。 負の数の表し方さてその気になれば大きな数が扱えることはわかりましたが、それでは負の数はどうでしょう？ 光あるところに陰があるように、収入があれば支出もあります。 マイナスを表すには通常は数の前に−記号をつけます。 ところが前にも書いたとおり、コンピューターは０〜一定数の正の整数しか理解できません。マイナス記号なんてないんです！ それでは一体どうやってマイナスの数を表現するのでしょう？？これは結構おもしろい問題です。 ところでマイナスの数とは以下のように定義できることがわかると思います。
まあ当たり前ですね。 ここでうまいことを考えた人がいました。コンピューターが一定範囲の数しか扱えないことを逆利用するのです。 前に８ビットのＣＰＵは０〜２５５までしか扱えないと言いました。もっと上等な物でも、上限があるのは同じです。 それでは８ビットＣＰＵの例として、２５５＋１の結果はどうなるでしょう？ 答えは当然２５６ですが、これはこのＣＰＵの扱える数ではありません。しかしそれでもＣＰＵは強引に計算をします。その結果は０になってしまうのです。 どうしてでしょう？ これは次のように考えると何となくわかるでしょう。 例えば９９９９＋１＝１００００ですが、計算している紙の左に余白がなくて繰り上がった分の１が書けなくなってしまったと思ってください。すると答えは００００です。 要するにコンピューターで計算した結果が使える数の範囲内にないときは、はみ出した分はどこかに行ってしまって、下の桁の結果だけが戻ってくるのです。 ２５６は２進法で表せば１００００００００です。その下８桁は００００００００になります。 ともかくこうやって戻ってきた０と正真正銘の０は全然区別がつかないのです（もちろん計算結果が桁あふれしたということは分かりますが、結果だけを見ても分からないし、そこで壊れてしまったりもしません） それでマイナスの話ですが、その人は考えたわけです。 ２５５＋１＝０ になってしまう。
同じように |
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最初の１０桁は１５２６８４３２１５である。 全体の桁数は２０桁である。 |
こういう発想の元に生まれた表記法が「浮動小数点」です。
物理や化学の教科書にはよく以下のような記述が出てきます。
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3.1234×1023 |
実は浮動小数点数とは要するにこれです。
電卓などを使って大きな数を計算するといきなり .2345e24などという表記になったことがあるでしょう。これは
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0.2345×1024 = 234500000000000000000000 |
のことです。
この数は最初の0.2345という部分（仮数部）と後の24という部分（指数部）を別々に保存します。
こういうルールであれば計算できるのは分かると思います。どうやって計算するかって？まあそれぐらいは昔の教科書でも引っぱり出してください。そもそも知らなくても特に悪いことは起こりません。
コンピューターの数は正確ではない・・・こともある
以上のようにコンピューターの内部では数値が表されます。ここまで読んでもらえば、コンピューターの計算が絶対正しいということはあり得ないことが分かるでしょう。
なぜなら整数を扱っていれば上限や下限の値があります。それをはみ出したらもうなんだか分からないことになります。
実数を扱っていれば、例えば１／３という値を正確に表すこともできません。
しかしもう一つ大きな落とし穴があります。
それはコンピューターが２進法であるということです。
例えば１／５という数があります。これは十進法では0.2という有限小数になります。しかしコンピューターの内部ではどうなっているのでしょう？
当然のことながら、二進法の小数とは小数点以下も２進法です。その結果として、２進法では分母が２の累乗である形の分数以外は、すべて循環小数となってしまいます。
すなわち分母が２nの形の分数のみが２進法では有限小数となります。
ここで１／５はどうでしょう？５は２の累乗ではありません。従って２進法の小数では以下のようになってしまいます。
| 分数では | ２進法小数では |
| 1/2 | 0.1 |
| 1/4 | 0.01 |
| 1/8 | 0.001 |
| 3/4 | 0.11 |
| 1/5 | 0.0011001100110011.... |
もちろんこれを無限に続けるわけにはいきませんから、どこかで打ち切ってしまわなければなりません。
すなわち、１０進法では問題なく割り切れて有限小数になるはずの数でも、コンピューターで計算するとそうはならないことがあるのです。
これを丸め誤差といいます。
といっても、実際にはあまり気にする必要はありません。ただ厳密な計算が必要な場合は、このことは必ず注意しなければならない問題です。
要するにみなさんの場合は、
必ずしもコンピューターの数は正確ではない・・・ことがある
これだけでも結構怖い話ですけどね。
