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２００４･ 9・２８
高校サークルだより
５０号
　北海道地区数学教育協議会（道数協）
高校サークル発行
(文責；真鍋和弘）

おかげさまで、サークルだよりが５０号を迎えました。

全国大会参加報告　清水貞人
8月3日から3日間、飛騨高山で行われた全国大会に、成田さんと一緒に参加してきました。千歳から飛行機で名古屋へ跳び、名古屋からJRで約2 時間半のところに高山はありました。途中から線路が単線になり山奥へ入っていったので、突然大きな町が出現したのには驚きました。駅前のホテルに着いてから時間があったので高山市街を散策したところ、思っていたよりもこじんまりしていて、丸１日あればほとんど見てまわることができる広さだということがわかりました。高山陣屋をはじめとする古い町並みを歩きながら、地ビール、地酒、飛騨牛の串焼きなどを堪能していたら、藻岩の川内さんとバッタリ出会い、そのまま３人で夜の高山を研修することにしました。今回はサブテーマ「～だれもがやってみたくなる『数楽』～」にもあるように、市民や子供たちを対象にした企画がとても斬新でした。そのうちのひとつ「数学の散歩道では、高山駅前をスタートし市内を1時間ほど巡りながら、国分寺の高さをカクシリキと歩幅だけで測量したり、市内に１３あるという酒蔵のお酒の銘柄を当てる確率の計算をしたり、高山ラーメンを題材にした組合せを考えたりしました。猛暑の中を移動しながらの解答は結構大変でしたが、案内役の勝野先生や他県の方々と楽しく交流しながら高山の街を散策できました。大会1日目の記念講演は、泡宇宙論で有名な名古屋大学の池内了さんでした。講演「21世紀の科学・技術と教育」の中で、「現代は金儲けのための科学に偏っている。私は等身大の科学を提唱したい。等身大の科学は文化としての科学でもある。日常の身辺のものに歴史が詰まっている。それらを全体とつなげて物語を作る新しい博物学を作りたい」と述べていました。「文化としての数学を生徒に伝えたい」という私達の想いと重なり、数教協が目指している数学教育と同じ志しを感じずにはいられませんでした。		最後に、これからの教育についても触れ、「ゆっくりだってよいじゃないか」、「明日のことではなく、50年、100年先を見据える」、「新品よりも使い古した物を選ぶ」というメッセージと共に、「子供たちが物質的に貧しくとも知的に豊かになることを願っている」と結ぱれた大会2日目は、初等関数分科会を成田さんと担当しました。増島さんから基調報告「中高の関数指導について」があり、「タンチョウの個体数変化を考える」(小寺)、「指数関数」(増島)、「対数関数」(成田)、「三角関数」(清水)などのレポートを中心に進めました。私が興味を持った小寺さんの実践は、現実のデータを数学で読み解くために差分という視点を生徒に獲得させようとするものです。まず、タンチヨウの数の変化のグラフを示し、増加数は全体数に比例するというモデルを導き差分方程式を得ます。次に近似解を電卓を用いて遂次代入により求め、ロジステック曲線を完成させます。小寺さんは、この実践を通して「将来の個体数変化を数量的に分析し、差分方程式やグラフでとらえることで、変化カ環境との相互作用で決まることを生徒は理解した。ロジステック式カ凌化を見る基本的なモデルとなることが理解された」とまとめています百そして、この実践が生まれたきっかけが、昨年の札幌大会のあとに釧路湿原を訪れたことであったというエピソードも紹介されました。この実践は明治図書「数学で考える環境問題」に収録されていますのでご覧下さい。大会来年の全国大会は8/8(月)～10(水)広島市の鈴峯女子短大で開催されます。終戦60周年に合わせての開催で、「元気」、「数楽」、「平和」を3 本柱に計画中ということです。

全国大会報告　成田牧
今年2004年の全国大会は連日 34℃を越える猛暑の高山で行われました。暑さにもめげず、全国から800人が集まり、市民参加の催しである数学の広場、数学の散歩道への参加者を含めると1000人規模の大会になりました。私の参加した範囲で大会の様子を紹介します。　　　　基礎講座（1日目) 　　大会初日は、黒田俊郎先生の基礎講座を聞きました。数教協の歴史を、彼が学び、開発した高校教材を通して概観しました。印象的だったのは、「生徒に学べ」という言葉をキーワードに、生徒が発想したちょっとしたアイデアを発展させて、斬新な教材を作ってきた彼の教材開発法でした。　　教学の散歩道　　高山市内を散策しながら、数学の問題を解き歩く企画が持たれました。参加者は、問題を楽しみながら、高山通になれたようです。　　書籍コーナー・教具コーナー　　私は、書籍コーナー、教具コーナーで楽しみました。いつもながら、ここにいると数教協の大会に来たなーという感じがします。数学関連の本も選りすぐられて並んでいるので、目移りして購入する本を決めるまでに2時間ほど立ち読みをしてしまいました。　　記念講演　　池内了氏の記念講演は、現代の科学が巨大になりすぎて、人の手の屈かない領域に踏み込みつつある。これからは、等身大の科学に目を向けるときがきている、と警告しています。等身大の科学とは、サイズと費用が等身大で誰でも参加できる生態系のことや、環境などを対象とするもので、文化としての科学、アカデミーに閉じてしまわないもの、いってみれば現代の博物学を人間の文化と物語の中に取りもどすことが必要だと述べています。細分化から再度、.総合化の道をたどらなければならないといっています。このことは、数学にもいえることのような気がして、数学も、市民的物語の中に復活させることが必要な時期に来ているのかな、などと感じました。		分科会(大会2日目) 　　北海道地区数教協(清水、成田)は高校の分野では、初等関数(2次関数、三角関数、指数対数関数)分科会の運営を担当しました。埼玉の増島高敬が基調報告をし、東京の小寺隆幸が「丹頂の個体数変化を考える」で、差分手法でロジスティック曲線の変化までを扱う関数指導の展望を示し、清水貞人が「観覧車で三角関数」、成田が「市民の数学－対数」、東北の伊藤潤一が「三角関数表を作ろう」、増島高敬が全生徒が取り組んだ「数学レポート集」をそれぞれ報告しました。　　参加者からは、「良かった、来て良かった。この夏休み数日しか休めないのに無理してきて良かった。今日一日、一分一秒も無駄な時間はなかった。」「中高一貫カリキュラムとして関数を考えるという方針に大賛成です。指数・対数関数の扱いを柱に微積分を再構成するという視点も大事です。」「やはり、白分でレポートを用意しなければダメですね。」などの感想を頂きました。　　2日目の夜は、世界遺産「白川郷」を支えている人たちの話を聞く会に参加しました。白川郷を支えているのは、「ゆい」という協業組織であり、白川郷は、この、人々の営みを含めて世界遺産に指定されたのだということを知りました　　教学の広場(大会3日目)の教具づくりや、高山近郊出身の高木貞治について詳細な調査をした上垣渉の数楽サロン「高木貞治を訪ねて」も大変興味深いものでした。　　しかし、大会3日間で、なんといっても良かったの`は、高山の地酒と朴葉みそ、高山そば、高山ラーメンなどの食べ物と伝統的建造物群保存地区や、朝市の様子でした。

7月29日～30日札幌星園高校

第44回道数協全道大会の報告　

文責・真鍋

◆わくわく講座

整数の世界(真鍋和弘)

参加者は1～2名だろうと予想していたら、6名もの参加がありました準傭不足で中身も支離滅裂なものとなり反省しています。
　内容は「魔方陣」「ひとふで書き」「1で始まる数」「1で終わる数」「循環小数;ガウスの正17角形の作図」「平方剰余の相互法則」などです。

　これまでサークルで報告したものや,成田さんから教えてもらったものです。小学生にぜひ整数諭の面白さを教えてみたいと考えています。

◆大会記念講演

「算数・教学教育の目標

野崎昭弘(数教協委員長・大妻女子大学)

　私は数学者で，数学教育に関してはずぶの素人です、という柔らかい切り出しで始まりました。
　講演は「数学」が本来持っている教育力を丁寧にわかり易く説明されましたとても68歳とば思えない力強く明噺なお語でした。
　大会前日には、校サークルの何人かで、会場近くのビアガーデンや郷土料理店で一緒にお酒を飲む機会があり、先生の人柄に直接触れることもできました。

　先生は東大を出られた後、山梨大学やICUを経て、現在の大妻女子大で数学や情報理論に関する授業をもたれています。
　山梨大は4年間でしたが、美味しいワインや果実など随分よい思いをしたそうです。
　フランスのグルノーブル大学で授業された経験もあり、日本とフランスの学生気質の違いを強調されていました。日本

の学生ほ意見が言えても、なぜそうなのかを説明できないが、フランスの学生は間違った意見でも、なぜそうなのかを全員が説明できる。

　以前、先生が『数学教室』に書かれたことで手紙で質問したら、丁寧な返事がきて、翌月の同誌にきちんとコメントして頂いたことがありました。今回、直接お会いできて、ますます先生の魅力にひかれました。

◆高校分科会

　野崎委員長も含めて全部で16名が参加しました.最初に基調報告が成田牧さんからありました（大会要項参照）。レポートは6本と少なめでしたが、議論が盛り上がり、もっと時間が欲しいという感想が多くありました。
　以下、発表順にレポートの概要を報告します.

①組み合わせから順列へ

澤尻知徳(札幌星園高校）

教科書の記述とは反対に、組合せから順列へ

_ｎＰ_ｒ＝ｒ！・_ｎＣ_ｒ

として順列へ進むプランの報告です。この流れの方が生徒にとって自然であると澤尻さんほ主張します。岩波ジュニア新書『数学はともだち』もこの順に展開しているそうです。いろいろな楽しい例題を通して_ｎＣ_ｒを計算し、パスカルの3角形の性質

_ｎＣ_ｒ＝_ｎＣ_ｎ
－ｒ

_ｎＣ_ｒ＝_ｎ－１Ｃ_ｒ
－１＋_ｎ－１Ｃ_ｒ

を導きます。次にn＝6の場合の規則性を考察します。この段の_ｎＣ_ｒの値が

_６Ｃ_０＝１

_６Ｃ_１＝１×(6／1)

_６Ｃ_２＝１×(6／1)× (5／2)

_６Ｃ_３＝１×(6／1)× (5／2)×(4／3)

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・

_６Ｃ_６＝１×(6／1)× (5／2)×(4／3)×・・・×(1／6)

と書けることから,

_ｎＣ_ｒ＝n／1×(n－1) ／2×…×(n－r＋1)／r

を推測することは可能です。議論のなかでは,順列・組合せの教科書の内容が公式を暗記し,例題を解いて終わりとなっていることに批判が集中しました。公式を自分で発見する喜びを大切にすることが重要であるという指摘がありました。

②三角比の授業について

清水貞人(札幌新川高校）

　この報告は,清水さんが新川高校で実際におこなっている三角比＋三角関数の授業をまとめたものです。
　タンジェントの導入として、古代ギリシヤのエラトステネスによる地球半径の算出をあっかっています。また、ヒッパルコスがおこなったとされる地球と月との距離の算出によって、サインとコサインを導入しています。
　手作りの三角関数表をはじめ、生徒が三角比を体感できるよう随所に工夫がこらされています。

　　今回ほとくに、正弦定理と余弦定理の導入について詳しい説明がありました。教科書での天下り的な取り扱いに対して,正弦定理では、与えられた円に内接する三角形を描き、角度と辺の長さを測定することによって定理を予感することができるようになっています。
　余弦定理では、任意の三角形の各辺を一辺とする正方形の面積を測定することにより、余弦定理が「ピタゴラスの定理」の拡張(スーパーピタゴラスの定理）であることが、自然に了解できるようになっています。

　後段は正弦・余弦定理に限らず、一般に定理の証明を授業でどう扱うかということに議論が集中しました。生徒や学生に証明がなかなか受け入れられない現状で、どうしたら証明してみたいという気持ちにさせることができるか？様々な工夫が求められています。

③確率の実段

河田憲二(虻田高校)

　　TVドラマや授業では導入が大切であるという河田さんの考えに基づいて、コインや画びょうの表裏、サイコロや将棋の駒の各面がでる確率を最初に実験によってもとめた実践の報告です。確率を実験回数を無限大としたときの相対度数の極限として定義しています。確率とは可能性の割合を表すアバウトなものであるという河田さんの主張が貫かれています。野崎委員長も指摘するように、学生に「確率が1/2とはどういうこと？」と質問すると、「2回のうち必ず1回は起こる場合をいう」と答える者が多いそうです。確率の法則とは個々の現象にあてはまるものではなく、統計的現象に適用されるものです。
　後段は,ハノイの塔のゲームによって漸化式

　　　ａ_ｎ＋１＝２ａ_ｎ＋１

を理解する実験です。教科書では漸化式がが最後に登場し、しかも入試問題として扱われることが多く、徒たちには不人気です。しかし、高橋哲男さんのプランのように、漸化式を最初から導入しておけぱ抵抗も少なくなると考えられます。例えぱ初項a。,公差dの等差数列の定義は、

　　ａ_ｎ＋１＝ａ_ｎ＋ｄ

となります。ｎ＝０，１，２，３，・・・を代入していくと、漸化式によって次々とと等差数列が作られていく様子がわかります。

④再び微積分マスターテストの取り組みについて

渡邊勝(立命館慶祥高校）

　渡邊さんが講師として勤務する立命館慶祥高校は、札幌でも人気を集めている新設の中高一貫の進学校ですが、数学の授業は習熟度別でおこなっているそうです。今回の報告は、文系の2年生に対しておこなった微穫分の授業のとりくみです。渡邊さんは微積分学習の最終目標として徴分方程式をとりあげ、ニュートン,ライプニッツに代表される17世紀の科学革命との関係を重視しています.

　マスターテストとは各節におげる到達目標を明示した10段階に分類された連続テスト(A級は微分の概念、J級は簡単な微分方程式)のことです.生徒はどの級から始めてもよく,全級合格を目標としています。ほとんどの生徒が目標に達しましたが,「微分の概念や微分と積分の関係」などの概念を問う問題の出来が悪かったそうです。その原因として,センターテストに代表される大学入試が求値問題に偏重し

ていることを指摘しています。

⑤市民講座　数学・対数の世界

成田収(静内高校)

　市民講座の中で、対数の歴史・内容・進化までを扱おうという壮大なレポートの紹介です。

　教科書に登場する対数は現実から遊離した形式的な扱いとなっており、高校生に感動を与えるものになっていません。氏家英夫さんの対数のプランでは、指数構造を比例構造に対応させる対数の働きが生き生きと描かれています、成田さんのレポ一トでも対数の導入に便われています。今回新しく付け加えられた内容は、
1)ネピアによる対数の発見

2)ブリッグスの常用対数

3)一般の場合の底の変換公式＊

4)手作りの常用対数表

5)２^ｎの先頭の数と常用対数との関係

などで,対数の全貌が明らかにされています.まだ未完成の部分が残っており,早い完成が望まれます.

　最近になって筆者は、対数関数を指数関数の逆関数として認識したのはオイラーが初めてであるということを知りました。そのことは彼の主著『無限解析入門』に書いてあり、オイラーの対数関数をはじめとする一連の研究が関数概念

を一気に発展させたそうです。(W.ダンハム著『オイラー入門』シュプリンガー・フェアラーク東京)。対数はまさに高校数学のかなめと言ってもよいでしょう.

＊筆者注:オイラーはこの公式を「黄金法則」と呼んだんだ.

⑥原始根が操る数の世界

真鍋和弘(札幌篠路高校）

　原始根とは筆者が最近興味をもっている整数論の中にでてくる概念です。一言で述べるのは難しいのですが、素数pが7の場合を例に説明します。正の整数の集合を7で割った余りに注目すると,Oから6までの7つの部分集合に分かれます。これらを7を法とする剰余類と呼びます。
いま、数列　３^０，３^１，３^２，・・・、３^ｎ

を7で割った余りを[３^ｎ]で表すと,

　　　[３^０]＝１、[３^１]＝３

　　　[３^２]＝２、[３^３]＝６,

　　　[３^４]＝４、[３^５]＝５,

　　　[３^６]＝1、…

となって周期6で繰り返すことがわかります。

このように、ある整数a（aは7の倍数ではない)のべきを7でわった余り[a^ｎ] が0以外のすべての余りを生成するとき、aのことを7の原始根と呼びます。ｐ＝７の場合、3と5が原始根となります。原始根はフェルマーによって発見され、オイラーやガウスによって整数論(＝算数）の基礎として位置づけられました。すべての素数pに原始根が存在することはガウ

スによって初めて証明されました。

　原始根は算数の世界を支配しています。例えばpを素数とするとき1÷pの循環小数の節の長さは10がpの療始根になるかどうかで決まります。10は7の原始根ですが13の原始根ではありません。したがって、1÷7の循環節の長さは最大の6ですが、1÷13の循環節は最大の12ではなくその半分の6です。一般に1÷pの循環節の長さば必ずp－1の約数となることが証明できます.

　また,若きガウスが正17角形が定規とコンパスだけで作図できることを証明した際にも,原始根が使われています。そのためにガウスはZの17次方程式

　　z^１７－１＝(z－1)(z^１６＋ z^１５＋・・・＋1)＝0

を解いたときに現れる16個の虚数解が分数と平方根だけで表現できることを証明しました。このときに3が17の原始根である,つまり３^０，３^１，３^２，・・・、３^１５を 17で割った余りが1か

ら16までのいずれかに等しくなるという事実を利用したのです。そのときにガウスは１７が素数であり、かっまた
　　　１７＝２^４＋１
と書けることが決定的に重要だということに気づいたのです.

　ご存じない方が多いと思いいますが、来年2005年は「世界物理年」です。これは物理学者アインシュタンによる特殊相対論、光電効果、ブラウン運動という三大論文の発表から100周年を記念して設定されたものです。1905年は物理学にとって奇跡の年と呼ばれています。各国の物理学会では、高校生など若い人たちを対象として物理学や数学(アインシュタンを数学者とみる国も多い)の面白さを伝えるとりくみが計画されています。来年から日本も国際物理オリンビックに参加するそうです.

　最近市内の書店の自然科学書コーナーに行くと,数学の一般書が平積みになっていることに驚かされます。それに比べると物理関係の一般書が少ないような気がして、物理出身の筆者としては寂しい思いがします。日本の高校生が読める数学系の雑誌としては、昔から『数学セミナー』や『大学への数学』がありますが物理系の雑誌は少ないと思います。これも現在の高校物理Ⅱの履修者が10%を下回る状況ではいたし方ないのかもしれませんが….

　これに比べて,ロシアや東欧では数理科学系の雑誌が広く読み継がれています。筆者が好きな旧ソ違出身の数学者ギンディンキンが書いた『ガウスが切り開いた道』(原題は『物理学者と数学者の物語』)はもとは高校生向けのロシア語の数理雑誌『クヴァント』(量子の意味)に連載されたものです。また、多くの数学者,物理学者を生み出したハンガリーでは現在でも『ケマル』という数学雑誌が発行されています。この雑誌については、日本在住のハンガリー出身の数学者P.フランクルがNHKのTV講座のテキスト『人間講座　数学の愛しかた』の中でふれています。

　先日、北大でひらかれた日本数学会主催の市民講演会に成田さんと保田君の3人で参加してきました。会場には女子高校生の姿もありました。講師の三輸哲二さん（京都大)の「数学者が見ている”数学の風景”は時代や国境を越えてまったく同じものであると確信できる」という言葉にほ説得力がありました。講演終了後に例のホコホコ感(何となく心が暖まるような気鋳ち)を再び感じることができました。（真鍋）

２００４札幌子育て・教育・文化フェスティヴァル	１０月１０日 (日)～１１日(月) 札幌市社会福祉総合センター(札幌市中央区西１９丁目）二日目の「ワンデーすくーる」で道数協の会員が下記の内容で数学の市民講座をおこないます。子ども達の参加もお願いします。　９：５０～１０：５０　講師　菊池三郎　「魔法陣から、完全？魔法陣へ」(小学～大学、一般）１１：００～１２：００　講師　真鍋和弘　「素数からの出発～オイラーの完全数解明の夢」(中学～一般) １３：００～１５：００　講師　成田　収　「対数の誕生」(中学～一般）
２００４年合同教育研究全道集会	１１月１２日(金)　１７：３０～２１：００　共済ホール　　　　　　　　　　記念講演　高橋哲哉氏（東京大学総合文化）「平和と平等をあきあらめない」１１月１３日(土)　　９：３０～１７：００　札幌大学　テーマ討論・分科会１１月１４日(日)　　９：３０～１５：００　札幌大学　分科会
２００４道数協冬期研究会	１２月２７日(月）～２８日(火)　あけぼの旅館一日目　１４：３０～２１：００　小・中・高の実践交流　杉本先生(平取小学校）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小西先生(中札内中学校）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高橋先生（稚内北星大学）二日目　　９：００～１２：００　分科会、（小学校、中高校）

7月29日～30日札幌星園高校第44回道数協全道大会の報告　文責・真鍋
◆わくわく講座整数の世界(真鍋和弘) 参加者は1～2名だろうと予想していたら、6名もの参加がありました準傭不足で中身も支離滅裂なものとなり反省しています。　内容は「魔方陣」「ひとふで書き」「1で始まる数」「1で終わる数」「循環小数;ガウスの正17角形の作図」「平方剰余の相互法則」などです。　これまでサークルで報告したものや,成田さんから教えてもらったものです。小学生にぜひ整数諭の面白さを教えてみたいと考えています。 ◆大会記念講演「算数・教学教育の目標野崎昭弘(数教協委員長・大妻女子大学) 　私は数学者で，数学教育に関してはずぶの素人です、という柔らかい切り出しで始まりました。　講演は「数学」が本来持っている教育力を丁寧にわかり易く説明されましたとても68歳とば思えない力強く明噺なお語でした。　大会前日には、校サークルの何人かで、会場近くのビアガーデンや郷土料理店で一緒にお酒を飲む機会があり、先生の人柄に直接触れることもできました。　先生は東大を出られた後、山梨大学やICUを経て、現在の大妻女子大で数学や情報理論に関する授業をもたれています。　山梨大は4年間でしたが、美味しいワインや果実など随分よい思いをしたそうです。　フランスのグルノーブル大学で授業された経験もあり、日本とフランスの学生気質の違いを強調されていました。日本の学生ほ意見が言えても、なぜそうなのかを説明できないが、フランスの学生は間違った意見でも、なぜそうなのかを全員が説明できる。　以前、先生が『数学教室』に書かれたことで手紙で質問したら、丁寧な返事がきて、翌月の同誌にきちんとコメントして頂いたことがありました。今回、直接お会いできて、ますます先生の魅力にひかれました。 ◆高校分科会　野崎委員長も含めて全部で16名が参加しました.最初に基調報告が成田牧さんからありました（大会要項参照）。レポートは6本と少なめでしたが、議論が盛り上がり、もっと時間が欲しいという感想が多くありました。　以下、発表順にレポートの概要を報告します. ①組み合わせから順列へ澤尻知徳(札幌星園高校）教科書の記述とは反対に、組合せから順列へ _ｎＰ_ｒ＝ｒ！・_ｎＣ_ｒとして順列へ進むプランの報告です。この流れの方が生徒にとって自然であると澤尻さんほ主張します。岩波ジュニア新書『数学はともだち』もこの順に展開しているそうです。いろいろな楽しい例題を通して_ｎＣ_ｒを計算し、パスカルの3角形の性質 _ｎＣ_ｒ＝_ｎＣ_ｎ－ｒ _ｎＣ_ｒ＝_ｎ－１Ｃ_ｒ－１＋_ｎ－１Ｃ_ｒを導きます。次にn＝6の場合の規則性を考察します。この段の_ｎＣ_ｒの値が _６Ｃ_０＝１ _６Ｃ_１＝１×(6／1) _６Ｃ_２＝１×(6／1)× (5／2) _６Ｃ_３＝１×(6／1)× (5／2)×(4／3) 　　　・・・・・・・・・・・・・・・・ _６Ｃ_６＝１×(6／1)× (5／2)×(4／3)×・・・×(1／6) と書けることから, _ｎＣ_ｒ＝n／1×(n－1) ／2×…×(n－r＋1)／r を推測することは可能です。議論のなかでは,順列・組合せの教科書の内容が公式を暗記し,例題を解いて終わりとなっていることに批判が集中しました。公式を自分で発見する喜びを大切にすることが重要であるという指摘がありました。 ②三角比の授業について清水貞人(札幌新川高校）　この報告は,清水さんが新川高校で実際におこなっている三角比＋三角関数の授業をまとめたものです。　タンジェントの導入として、古代ギリシヤのエラトステネスによる地球半径の算出をあっかっています。また、ヒッパルコスがおこなったとされる地球と月との距離の算出によって、サインとコサインを導入しています。　手作りの三角関数表をはじめ、生徒が三角比を体感できるよう随所に工夫がこらされています。　　今回ほとくに、正弦定理と余弦定理の導入について詳しい説明がありました。教科書での天下り的な取り扱いに対して,正弦定理では、与えられた円に内接する三角形を描き、角度と辺の長さを測定することによって定理を予感することができるようになっています。　余弦定理では、任意の三角形の各辺を一辺とする正方形の面積を測定することにより、余弦定理が「ピタゴラスの定理」の拡張(スーパーピタゴラスの定理）であることが、自然に了解できるようになっています。　後段は正弦・余弦定理に限らず、一般に定理の証明を授業でどう扱うかということに議論が集中しました。生徒や学生に証明がなかなか受け入れられない現状で、どうしたら証明してみたいという気持ちにさせることができるか？様々な工夫が求められています。		③確率の実段河田憲二(虻田高校) 　　TVドラマや授業では導入が大切であるという河田さんの考えに基づいて、コインや画びょうの表裏、サイコロや将棋の駒の各面がでる確率を最初に実験によってもとめた実践の報告です。確率を実験回数を無限大としたときの相対度数の極限として定義しています。確率とは可能性の割合を表すアバウトなものであるという河田さんの主張が貫かれています。野崎委員長も指摘するように、学生に「確率が1/2とはどういうこと？」と質問すると、「2回のうち必ず1回は起こる場合をいう」と答える者が多いそうです。確率の法則とは個々の現象にあてはまるものではなく、統計的現象に適用されるものです。　後段は,ハノイの塔のゲームによって漸化式　　　ａ_ｎ＋１＝２ａ_ｎ＋１を理解する実験です。教科書では漸化式がが最後に登場し、しかも入試問題として扱われることが多く、徒たちには不人気です。しかし、高橋哲男さんのプランのように、漸化式を最初から導入しておけぱ抵抗も少なくなると考えられます。例えぱ初項a。,公差dの等差数列の定義は、　　ａ_ｎ＋１＝ａ_ｎ＋ｄとなります。ｎ＝０，１，２，３，・・・を代入していくと、漸化式によって次々とと等差数列が作られていく様子がわかります。 ④再び微積分マスターテストの取り組みについて渡邊勝(立命館慶祥高校）　渡邊さんが講師として勤務する立命館慶祥高校は、札幌でも人気を集めている新設の中高一貫の進学校ですが、数学の授業は習熟度別でおこなっているそうです。今回の報告は、文系の2年生に対しておこなった微穫分の授業のとりくみです。渡邊さんは微積分学習の最終目標として徴分方程式をとりあげ、ニュートン,ライプニッツに代表される17世紀の科学革命との関係を重視しています. 　マスターテストとは各節におげる到達目標を明示した10段階に分類された連続テスト(A級は微分の概念、J級は簡単な微分方程式)のことです.生徒はどの級から始めてもよく,全級合格を目標としています。ほとんどの生徒が目標に達しましたが,「微分の概念や微分と積分の関係」などの概念を問う問題の出来が悪かったそうです。その原因として,センターテストに代表される大学入試が求値問題に偏重していることを指摘しています。　 ⑤市民講座　数学・対数の世界成田収(静内高校) 　市民講座の中で、対数の歴史・内容・進化までを扱おうという壮大なレポートの紹介です。　教科書に登場する対数は現実から遊離した形式的な扱いとなっており、高校生に感動を与えるものになっていません。氏家英夫さんの対数のプランでは、指数構造を比例構造に対応させる対数の働きが生き生きと描かれています、成田さんのレポ一トでも対数の導入に便われています。今回新しく付け加えられた内容は、 1)ネピアによる対数の発見 2)ブリッグスの常用対数 3)一般の場合の底の変換公式＊ 4)手作りの常用対数表 5)２^ｎの先頭の数と常用対数との関係などで,対数の全貌が明らかにされています.まだ未完成の部分が残っており,早い完成が望まれます. 　最近になって筆者は、対数関数を指数関数の逆関数として認識したのはオイラーが初めてであるということを知りました。そのことは彼の主著『無限解析入門』に書いてあり、オイラーの対数関数をはじめとする一連の研究が関数概念を一気に発展させたそうです。(W.ダンハム著『オイラー入門』シュプリンガー・フェアラーク東京)。対数はまさに高校数学のかなめと言ってもよいでしょう. ＊筆者注:オイラーはこの公式を「黄金法則」と呼んだんだ. ⑥原始根が操る数の世界真鍋和弘(札幌篠路高校）　原始根とは筆者が最近興味をもっている整数論の中にでてくる概念です。一言で述べるのは難しいのですが、素数pが7の場合を例に説明します。正の整数の集合を7で割った余りに注目すると,Oから6までの7つの部分集合に分かれます。これらを7を法とする剰余類と呼びます。いま、数列　３^０，３^１，３^２，・・・、３^ｎを7で割った余りを[３^ｎ]で表すと, 　　　[３^０]＝１、[３^１]＝３　　　[３^２]＝２、[３^３]＝６, 　　　[３^４]＝４、[３^５]＝５, 　　　[３^６]＝1、… となって周期6で繰り返すことがわかります。このように、ある整数a（aは7の倍数ではない)のべきを7でわった余り[a^ｎ] が0以外のすべての余りを生成するとき、aのことを7の原始根と呼びます。ｐ＝７の場合、3と5が原始根となります。原始根はフェルマーによって発見され、オイラーやガウスによって整数論(＝算数）の基礎として位置づけられました。すべての素数pに原始根が存在することはガウスによって初めて証明されました。　原始根は算数の世界を支配しています。例えばpを素数とするとき1÷pの循環小数の節の長さは10がpの療始根になるかどうかで決まります。10は7の原始根ですが13の原始根ではありません。したがって、1÷7の循環節の長さは最大の6ですが、1÷13の循環節は最大の12ではなくその半分の6です。一般に1÷pの循環節の長さば必ずp－1の約数となることが証明できます. 　また,若きガウスが正17角形が定規とコンパスだけで作図できることを証明した際にも,原始根が使われています。そのためにガウスはZの17次方程式　　z^１７－１＝(z－1)(z^１６＋ z^１５＋・・・＋1)＝0 を解いたときに現れる16個の虚数解が分数と平方根だけで表現できることを証明しました。このときに3が17の原始根である,つまり３^０，３^１，３^２，・・・、３^１５を 17で割った余りが1から16までのいずれかに等しくなるという事実を利用したのです。そのときにガウスは１７が素数であり、かっまた　　　１７＝２^４＋１と書けることが決定的に重要だということに気づいたのです.