電子運動のモデル化
●電子運動
●電子運動のモデル化
●電子運動の軌道方程式
電子運動のモデル化
１．電子運動の支配方程式
電子を力学的概念に基づく荷電粒子と考える。この場合、電子の電荷ｅおよび電子の静止質量ｍ0は、
ｅ＝１．６０２１９×１０−１９ クーロン
ｍ0＝９．１０９５５×１０−３１ ｋｇ
である。運動している電子の質量はｍは、相対論効果による質量変化があり、
ｍ／ｍ0＝１／√｛１−(ｕ２／ｃ２)｝ ・・(１−１)
で与えられる。ここで、ｕは電子の速度ベクトル、ｃは光の速度である。なお、真空中での光の速度は、
ｃ＝２．９９７９２５×１０８ ｍ／ｓｅｃ
である。
電磁界中での電子の運動方程式は、
ｄ(ｍｕ)/ｄｔ＝−ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ) ・・(１−２)
で表される。ここで、右辺はローレンツ力と呼ばれ、Ｅは電界の強さ、Ｂは磁束密度、ｄ／ｄｔは時間ｔについての微分である。
式(１−２)は式(１−１)の関係を用いると、
ｄｕ/ｄｔ＝−(ｅ/ｍ0)√{１−(ｕ２/ｃ２)}{Ｅ＋ｕ×Ｂ−(ｕ/ｃ２)(ｕ・Ｅ)} ・・(１−３)
と表示できる。なお、速度ベクトルｕは、位置ベクトルｒを用いて、ｕ＝ｄｒ／ｄｔである。
この時、電界の強さＥおよび磁束密度Ｂは、スカラーポテンシャル（電位）ＶおよびベクトルポテンシャルＡ
を用いて、
Ｅ＝−gradＶ−∂Ａ/∂ｔ ・・(１−４)
Ｂ＝rotＡ ・・(１−５)
で表され、マクスウエルの電磁方程式を満たし、次のポテンシャル方程式に従う。
(ε･μ)(∂2Ｖ/∂ｔ2)−∇Ｖ＝ρ/ε ・・(１−６)
(ε･μ)(∂2Ａ/∂ｔ2)−∇Ａ＝μｊ ・・(１−７)
ここで、∇(ナブラ)は、直交座標系(ｘ，ｙ，ｚ)の場合∇＝(∂2/∂ｘ2＋∂2/∂ｙ2＋∂2/∂ｚ2)、
円筒座標系(ｒ，θ，ｚ)の場合∇＝｛∂2/∂ｒ2＋(１/ｒ)(∂/∂ｒ)＋(１/ｒ2)(∂2/∂θ2)＋∂2/∂ｚ2｝であり、
εは誘電率、μは透磁率、ρは電荷密度、ｊは電流密度ベクトルである。また、電子の持つ相対論的な運動エネルギーは、
ｍｃ２−ｍ0ｃ２＝ｅＶ ・・(１−８)
で与えられる。式（１−８）に式（１−１）を代入し、電子速度ｕについて整理すると、
ｕ＝ｃ√［１−１/｛ｅＶ/（ｍ0ｃ２）＋１｝２］ ・・(１−９)
を得る。
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Ａｐｐｅｎｄｉｘ
運動量ｐ＝ｍｕとおいて、
ｄｐ/ｄｔ＝−ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ) ・・(イ)
である。これは、
ｄｐ/ｄｔ＝［ｍ/｛１−(ｕ２/ｃ２)｝］(ｄｕ/ｄｔ) ・・(ロ)
となり、
ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝−ｅ｛１−(ｕ２/ｃ２)｝(Ｅ＋ｕ×Ｂ) ・・(ハ)
を得る。ベクトル公式「ｕ(ｕ×Ｂ)＝０」を用いると、
ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝−ｅ｛Ｅ＋ｕ×Ｂ−(ｕ/ｃ２)・ｕ・Ｅ｝ ・・(ニ)
が成立する。式（ハ）において、
ｑ＝−ｅ｛１−(ｕ２/ｃ２)｝ ・・(ホ)
とおけば、
ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＝ｑ(Ｅ＋ｕ×Ｂ) ・・(ヘ)
となる。すなわち、電荷量ｑは速度ベクトルｕが光速ｃに近づくことで、ｑ→０になる。この概念は、荷電粒子の電子の電荷（＝−ｅ）が光速上では、見掛け上(古典的対象として)の電荷量ｑが０(ゼロ)に近付くことを意味する。
（参考）
ｄｐ/ｄｔ＝ｄ(ｍｕ)/ｄｔ＝ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＋(ｄｍ/ｄｔ)ｕ ・・(ト)
ところが、
ｄｍ/ｄｔ＝(ｄｍ/ｄｕ)(ｄｕ/ｄｔ)＝(ｄ｛ｍ0(１−ｕ２/ｃ２)｝−１/２/ｄｕ)(ｄｕ/ｄｔ)
＝ｍ0｛(−１/２)(１−ｕ２/ｃ２)−２／３(−２ｕ/ｃ２)｝(ｄｕ/ｄｔ)
＝(１/ｃ２)ｍ(１−ｕ２/ｃ２)−１ｕ(ｄｕ/ｄｔ)
・・(チ)
式（チ）を式（ト）に代入し、
ｄｐ/ｄｔ＝ｍ(ｄｕ/ｄｔ)＋(ｕ２/ｃ２)(１−ｕ２/ｃ２)−１ｍ(ｄｕ/ｄｔ)
＝［ｍ/｛１−(ｕ２/ｃ２)｝］(ｄｕ/ｄｔ) ・・(ロ)
を得る。
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２．相対論効果を考慮しない場合の運動方程式
相対論効果や電子流によって生じる磁界を考慮しない場合、電子は負の電荷を持つ質量ｍ0の粒子とみなすことができ、
静磁界中での電子運動を取り扱うことにする。この場合、運動方程式は、
ｍ0(ｄｕ/ｄｔ)＝−ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ) ・・(２−１)
となる。ここで、ｕ＝ｄｓ／ｄｔ，ｓは電子の位置ベクトル、ｕは電子の速度ベクトル、Ｅは電界、
Ｂは磁束密度、ｔは時間である。この各成分を直角座標系（ｘ，ｙ，ｚ）で表示すれば、
ｄ2ｘ/ｄｔ2＝−η｛Ｅｘ＋Ｂｚ(ｄｙ/ｄｔ)−Ｂｙ(ｄｚ/ｄｔ)｝ ・・(２−２ａ)
ｄ2ｙ/ｄｔ2＝−η｛Ｅｙ＋Ｂｘ(ｄｚ/ｄｔ)−Ｂｚ(ｄｘ/ｄｔ)｝ ・・(２−２ｂ)
ｄｚ2/ｄｔ2＝−η｛Ｅｚ＋Ｂｙ(ｄｘ/ｄｔ)−Ｂｘ(ｄｙ/ｄｔ)｝ ・・(２−２ｃ)
となる。円筒座標系（ｒ，θ，ｚ）で表示すれば、各速度成分は、
ｕｒ＝ｄｒ/ｄｔ ， ｕθ＝ｒ(ｄθ/ｄｔ) ， ｕｚ＝ｄｚ/ｄｔ ・・(２−３)
であり、運動方程式の各成分は、
ｄ2ｒ／ｄｔ2−ｒ(ｄθ/ｄｔ)２＝−η［Ｅｒ＋ｕθＢｚ−ｕｚＢθ］ ・・(２−４ａ)
(１/ｒ)ｄ(ｒ２ｄθ/ｄｔ)/ｄｔ＝−η［Ｅθ＋ｕｚＢｒ−ｕｒＢｚ］ ・・(２−４ｂ)
ｄ2ｚ/ｄｔ2＝−η［Ｅｚ＋ｕｒＢθ−ｕθＢｒ］ ・・(２−４ｃ)
となる。ここで、η＝ｅ/ｍ0は電子の比電荷である。また、電子の運動エネルギーは、
(１/２)ｍ0｜ｕ｜2−ｅＶ＝０ ・・(２−５)
となる。この結果、定常状態において、電子の速度 ｕ は、スカラーポテンシャル（電位）Ｖによって一義的に決まり、
ｕ＝√(２ηＶ)＝５．９３１×１０5√Ｖ ・・(２−６)
を得る。図−１に相対論効果と非相対論との電子速度の比較を示す。この場合、電位(電子の加速電圧)が約５０ｋＶ以上になると、工学的な知見から、相対論効果を無視できなくなると考えられる。
図−１ 電子速度の比較（相対論効果と非相対論との比較）
３．電子運動の軸対称軌道方程式
電子運動について、円筒座標系(ｒ，θ，ｚ)から、定常状態(保存系)における軸対称系(ｒ，ｚ)での表示を考える。
この場合、電界の強さ（Ｅｒ，Ｅθ，Ｅｚ）および磁束密度（Ｂｒ，Ｂθ，Ｂｚ）は、
スカラーポテンシャル（電位）Ｖおよびベクトルポテンシャル（Ａｒ，Ａθ，Ａｚ）を用いると、
Ｅｒ＝−∂Ｖ/∂ｒ ， Ｅθ＝０ ， Ｅｚ＝−∂Ｖ/∂ｚ ・・(３−３)
Ｂｒ＝−(１/ｒ)∂(ｒＡθ)/∂ｚ ・・(３−４ａ)
Ｂθ＝∂Ａｒ/∂ｚ−∂Ａｚ/∂ｒ＝０ ・・(３−４ｂ)
Ｂｚ＝(１/ｒ)∂(ｒＡθ)/∂ｒ ・・(３−４ｃ)
で表される。ここで、ベクトルポテンシャルの回転方向成分Ａθについて、ψ＝ｒＡθとおくと、
Ｂｒ＝−(１/ｒ)∂ψ/∂ｚ ・・(３−５ａ)
Ｂｚ＝(１/ｒ)∂ψ/∂ｒ ・・(３−５ｃ)
となる。したがって、運動方程式の各成分は、
ｄ2ｒ/ｄｔ2−ｒ(ｄθ/ｄｔ)２＝(ｅ/ｍ0)［∂Ｖ/∂ｒ＋(ｄθ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｒ)］ ・・(３−６ａ)
ｄ(ｒ２ｄθ/ｄｔ)/ｄｔ＝(ｅ/ｍ0)［(ｄｚ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｚ)＋(ｄｒ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｒ)］ ・・(３−６ｂ)
ｄ2ｚ/ｄｔ2＝(ｅ/ｍ0)［∂Ｖ/∂ｚ−(ｄθ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｚ)］ ・・(３−６ｃ)
となる。ここで、式(３−６ｂ)に注目する。微分公式から、
ｄψ/ｄｔ＝(∂ψ/∂ｒ)(ｄｒ/ｄｔ)＋(∂ψ/∂ｚ)(ｄｚ/ｄｔ) ・・(３−７)
であるから、式(３−６ｂ)は、
ｄ(ｒ２ｄθ/ｄｔ)/ｄｔ＝(ｅ/ｍ0)(ｄψ／ｄｔ) ・・(３−８)
となる。式(３−８)は、時間ｔについて積分すると、
(ｒ２)(ｄθ/ｄｔ)＝(ｅ/ｍ0)∫ｄψ＋Ｃ ・・(３−９)
である。これは、ｔ＝０の時、ｒ＝ｒ0、ｄθ/ｄｔ＝(ｄθ/ｄｔ)0、ψ＝ψ0とすれば、
ｄθ/ｄｔ＝(ｅ/ｍ0)｛(ψ−ψ0）/ｒ２｝＋(ｒ0/ｒ)２(ｄθ/ｄｔ)0 ・・(３−１０)
となる。式(３−１０)は、初速度(ｄθ/ｄｔ)0を考慮したBuschの定理と呼ばれる。Buschの定理は、磁束に巻き付くように円運動する荷電粒子の角速度とその円を通る磁束との関係を表している。いま、電子の出発点である陰極面において、初速度(ｄθ／ｄｔ)0＝０ とすれば、
ｄθ/ｄｔ＝(ｅ/ｍ0)｛(ψ−ψ0)/ｒ２｝ ・・(３−１１)
となる。次に、微分公式、
ｄ2ｒ/ｄｔ2＝(ｄ2ｒ／ｄｚ2)(ｄｚ/ｄｔ)２＋(ｄｒ/ｄｚ)(ｄ2ｚ/ｄｔ2) ・・(３−１２)
を用いて、式(３−６ａ)と式(３−６ｂ)を整理する。
(ｄ2ｒ/ｄｚ2)(ｄｚ/ｄｔ)２＋(ｅ/ｍ0)(ｄｒ/ｄｚ)｛∂Ｖ/∂ｚ−(ｄθ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｚ)｝−ｒ(ｄθ/ｄｔ)２
＝(ｅ/ｍ0)｛∂Ｖ/∂ｒ−(ｄθ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｒ)｝ ・・(３−１３)
を得る。また、式(２−３)を変形して、
｜ｕ｜2＝２(ｅ/ｍ0)Ｖ
(ｄｒ/ｄｔ)２＋ｒ２(ｄθ/ｄｔ)２＋(ｄｚ/ｄｔ)２＝２(ｅ/ｍ0)Ｖ
(ｄｚ/ｄｔ)２｛(ｄｒ/ｄｚ)２＋１｝＝２(ｅ/ｍ0)Ｖ−ｒ２(ｄθ/ｄｔ)２ ・・(３−１４)
を得る。式(３−１３)の両辺に｛(ｄｒ/ｄｚ)２＋１｝を掛けて、式(３−１４)を代入すれば、
(ｄ2ｒ/ｄｚ2)｛２(ｅ/ｍ0)Ｖ−ｒ２(ｄθ/ｄｔ)２｝
＋(ｅ/ｍ0)(ｄｒ/ｄｚ)｛(ｄｒ/ｄｚ)２＋１｝｛∂Ｖ/∂ｚ−(ｄθ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｚ)｝
−｛(ｄｒ/ｄｚ)２＋１｝[ｒ(ｄθ/ｄｔ)２＋(ｅ/ｍ0){∂Ｖ/∂ｒ−(ｄθ/ｄｔ)(∂ψ/∂ｒ)}]＝０
・・(３−１５)
となる。さらに、式（３−１１）を式(３−１５)に代入して、整理すれば、
(ｄ2ｒ/ｄｚ2)｛２Ｖ−(ｅ/ｍ0)｛(ψ−ψ0)/ｒ｝２｝
＋｛(ｄｒ/ｄｚ)３＋(ｄｒ/ｄｚ)｝｛∂Ｖ/∂ｚ−(ｅ/ｍ0)｛(ψ−ψ0)/ｒ｝(１/ｒ)(∂ψ/∂ｚ)｝
−｛(ｄｒ/ｄｚ)２＋１｝［∂Ｖ/∂ｒ＋(ｅ／ｍ0)｛(ψ−ψ0)/ｒ｝２ｒ
−(ｅ/ｍ0)｛(ψ−ψ0)/ｒ｝(１/ｒ)(∂ψ/∂ｒ)］＝０
・・(３−１６)
を得る。この式（３−１６）は軸対称系（ｒ，ｚ）での厳密な運動方程式である。
４．電子運動の近軸軌道方程式
次に近軸の仮定を示す。
ｄθ/ｄｔ＝(ｅ/ｍ0)｛(ψ−ψ0)/ｒ２｝≒(１/２)(ｅ/ｍ0)｛Ｂz−Ｂc(ｒc２／ｒ２)｝ ・・(４−１)
Ｖ＝Ｖ(ｒ，ｚ)≒Ｖz−(１/４)(∂2Ｖz/∂ｚ2)(ｒ２) ・・(４−２)
∂Ｖ/∂ｒ≒(１/２)(∂2Ｖz/∂ｚ2＋ρ/ε)ｒ ・・(４−３)
∂Ｖ/∂ｚ≒∂Ｖz/∂ｚ ・・(４−４)
(１/ｒ)(∂ψ/∂ｒ)≒Ｂz ・・(４−５)
(１/ｒ)(∂ψ/∂ｚ)≒(１/２)(∂Ｂz/∂ｚ2)ｒ ・・(４−６)
ρ/ε＝｛１/(πε)｝(１/ｒ0２)｛−Ｉ0/√(２(ｅ/ｍ0)Ｖ0)｝
＝−(１/２)(ｅ/ｍ0)ＢB２ ・・(４−７)
を与えると、式(３−１６)は、
(ｄ2ｒ/ｄｚ2)｛２Ｖz−(１/２)(∂2Ｖz/∂ｚ2)ｒ２−(１/４)(ｅ/ｍ0)(Ｂz−Ｂc(ｒc２/ｒ２)２)ｒ２｝
＋｛(ｄｒ/ｄｚ)３＋(ｄｒ/ｄｚ)｝｛∂Ｖz/∂ｚ−(１/４)(ｅ/ｍ0)｛(Ｂz−Ｂc(ｒc２/ｒ２)ｒ２(∂Ｂz/∂ｚ)｝
−｛(ｄｒ/ｄｚ)２＋１｝［(１/２)(∂２Ｖz/∂ｚ２)−(１/４)(ｅ/ｍ0)｛ＢB２−Ｂz２−Ｂc２(ｒc４/ｒ４)｝］ｒ
＝０ ・・(４−８)
Ｂc＝０の時、
ｄ2ｒ/ｄｚ2＝[Ｉ/{４√２・πε・η1/2・Ｖ3/2}](１/ｒ)−{ｒ/(８Ｖ)}ηＢz２ ・・(４−６)
Ｂc≠０の時、
ｄ2ｒ/ｄｚ2＝[Ｉ/{４√２・πε・η1/2・Ｖ3/2}](１/ｒ)
−{ηＢ0２/(８Ｖ)}{(Ｂc２/Ｂ0２)(ｒc４/ｒ４)−(Ｂz２/Ｂ0２)}ｒ ・・(４−６)
Ｅz≠０，Ｂc≠０の時、
ｄ2ｒ/ｄｚ2＋(１/２)(１/Ｖ)(∂Ｖ/∂ｚ)(ｄｒ/ｄｚ)＋(１/４)(１/Ｖ)[∂2Ｖ/∂ｚ2
−{２/(√(２ηＶ)}(１/(πε))(１/ｒ２)]ｒ
＋{ηＢ0２/(８Ｖ)}{(Ｂc２/Ｂ0２)(ｒc４/ｒ４)−(Ｂz２/Ｂ0２)}ｒ ・・(４−６)
５．近軸軌道方程式の正規化
次に、電子運動の近軸軌道方程式を正規化する。その条件は、
Ｒ＝ｒ/ｒ0 ， Ｚ＝ｚ/ｒ0
α＝Ｂz/ＢB ， β＝Ｖz/Ｖ0
Ｋ＝(Ｂc/Ｂz)(ｒc２/ｒ0２)
とする。したがって、
ｒ＝ｒ0Ｒ ， ｄｒ/ｄｚ＝ｄＲ/ｄＺ ， ｄ2ｒ/ｄｚ2＝(１/ｒ0)(ｄ2Ｒ/ｄＺ2)
Ｖz＝Ｖ0β，∂Ｖz／∂ｚ＝(Ｖ0/ｒ0)(∂β/∂Ｚ)，∂2Ｖz/∂ｚ2＝(Ｖ0/ｒ0２)(∂2β/∂Ｚ2)
Ｂz＝ＢBα ， ∂Ｂz/∂ｚ＝(ＢB/ｒ0)(∂α/∂Ｚ) ， Ｂ0ｒc２＝αＫＢBｒ0２
を得る。式(４−８)を整理すると、
(ｄ2Ｒ/ｄＺ2){２β−(１/２)Ｒ２(∂2β/∂Ｚ2)−(１/４)γ{α−(αＫ/Ｒ２)２}Ｒ２］
＋{(ｄＲ/ｄＺ)３＋(ｄＲ/ｄＺ)}{∂β/∂Ｚ−(１/４)γ{α−(αＫ/Ｒ２)}Ｒ２(∂α/∂Ｚ)}
−{(ｄＲ/ｄＺ)２＋１}［(１/２)(∂2β／∂Ｚ2)−(１/４)γ{１−α２−(α２Ｋ２/Ｒ４)}Ｒ＝０
・・(４−９)
が求まる。ここで、γはビーム系のパービアンスＰから決まる定数であり、
γ＝ｅ/ｍ0ｒ0ＢB２/Ｖ0＝(１/(πε))√(２/(ｅ/ｍ0))Ｐ
Ｐ＝Ｉ0/Ｖ0３/２
１/(πε)＝４ｃ２×１０−７ m2/sec2
である。なお、
近軸軌道方程式を正規化する。ここで、正規化の条件は、
Ｒ＝ｒ/ｒ0 ， Ｚ＝１７４√(Ｐ)・（ｚ／ｒ0）
Ｚ＝{Ｉ/(２√２・πε・η1/2・Ｖ3/2)}1/2・（ｚ/ｒ0）＝１７４√(Ｐ)・（ｚ/ｒ0）
α＝Ｂ0/ＢB ， Ｋ＝(ｒc２/ｒ0２)・（Ｂc/Ｂ0）
Ｆ(z)＝Ｂ/Ｂ0
ｒ ：電子ビーム半径
ｒc：陰極(カソード)半径
ｒ0：基準点での電子ビーム半径
Ｂ0：基準点での軸上磁束密度
ＢB：半径ｒ0，パービアンスＰ，加速電圧Ｖの電子ビームに対するBrillouin値
である。
正規化された電子運動の近軸軌道方程式は、
(ｄ2Ｒ/ｄＺ2)−(１/２)［(１/Ｒ)＋α２Ｒ｛Ｋ２/Ｒ４−Ｆ(z)２｝］＝０
Ｆ(z)＝１＋(１/π){tan−1(１/ＺA)−ＺA/(１＋ＺA２)} ＺA≦０
Ｆ(z)＝(１/π){tan−1(１/ＺA)−ＺA/(１＋ＺA２)} ＺA≧０
ＺA＝ｚ/ｒA ｒA：開口半径
である。
（文責：ｙｕｔ）
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