１．まえがき
　進行波管などに用いられるPPM(Periodic Permanent Magnet)集束は周期磁界を形成して、磁気レンズ効果による収束作用と電子ビームの発散とを平衡状態にできる。 この時、電子ビームの安定性は一様磁界と比較して劣る。周期磁界中での電子ビームの安定性は、近軸軌道方程式から導出されるMathieu方程式によって、 近似的な検討が可能である。また、周期磁界と一様磁界との対応は磁界の二乗平均値(r･m･s値)を等しくすることによって得られる。
　ここでは、周期磁界における電子ビーム系の安定性および電子銃近傍での磁界パターンとの整合について、理論的な検討を行って、 PPM集束を用いた電子ビーム系の設計法に対して適正な指針を与えている。

２．近軸軌道方程式
　等電界中での正規化された電子の近軸軌道方程式は、
で与えられる。ここで、 　，　 　， 　
である。この場合、ｋ₁＝174.0892713、ｋ₂＝26.25363799 で与えられる。 なお、μｐは、電極の構造によって決まるマイクロ・パービアンス(perveance)と呼ばれる定数で， 電流の流れやすさを示している。 電子銃の陰極から熱電子放出される電子は、陽極に引き出されるが、陽極電圧を高くすれば無制限に電子が引き出されるわけではない。 陰極と陽極の間の空間に電子が存在し、この空間電荷が電子流の流れを妨げ、電流が制限される。 この場合、電流Ｉは電圧Ｖの３／２乗にほぼ比例する。すなわち、
Ｉ＝μ_p･Ｖ^3/2 の関係にある。この比例定数μ_pがマイクロ・パービアンスと呼ばれる。

３．磁界パターンのモデル化
　軸方向の磁界の強さを正規化関数で表示する。一様磁界の場合はＦ(z)＝１、磁界が存在しない領域ではＦ(z)＝０となる。 また、磁気開口近傍の磁界パターンは、次のようにモデル化される。 ここで、Ｚ_A＝ｚ/ｒ_Aであり、ｒ_Aは開口半径である。 これを正規化された座標系に変換すれば、
Ｚ_A＝(ｚ/ｒ₀)/(ｒ_A/ｒ₀) Ｚ＝174√(μP)･(ｚ/ｒ₀)＝174√(μP)･(ｒ_A/ｒ₀)･Ｚ_A＝ｋＲ_AＺ_A Ｚ_A＝Ｚ/(ｋＲ_A)　，　Ｒ_A＝ｒ_A/ｒ₀ となる。 また、周期磁界は、
で与えられると仮定する。

４．Mathieu方程式
　正規化された近軸軌道方程式から、σ＝Ｒ、ρ＝２πＺ/Ｌとおいて変形すると、 を得る。これは、右辺を「０(ゼロ)」と置くと、次の斉次方程式になる。 この方程式は、Mathieu方程式であり、ａ＝２ｑ＝α²(Ｌ/２π)²/４ のある範囲内の値に対し、周期的あるいは準周期的な安定解が存在する。

Mathieu方程式の解の安定性
　一般的な進行波管に用いられるPPM集束系では、次の第一安定域が使われている。 しかしながら、安定域内においても、周期磁界中での電子ビームはうねり(リップル)があり、周期磁界の波長の影響を受ける。

　最初に、周期磁界の影響を受けない一様磁界(Ｆ_(z)＝1.0)の場合を考える。 この場合、電子ビームのうねり(リップル)を最小にする平衡条件は、 とおいて、これを近軸軌道方程式に代入すると、次の条件式が得られる。 一様磁界中での電子ビームのうねり(リップル)は、この条件式から外れると起こる。 の時は、基準ビーム径より小さいところで、電子ビームがうねる。 の時は、基準ビーム径より大きいところで、電子ビームがうねる。 一様磁界中での電子ビームのうねり具合いを次の図で示す。


　この事例では、α²＝４の時、α²Ｋ²＝３で、α²＝１＋α²Ｋ² を満たし、電子ビームが基準ビーム径Ｒ＝１ で平衡になる。 α²＝４の時、α²Ｋ²＝１or２ ならば、α²＞１＋α²Ｋ² となり、基準ビーム径より小さいところで、電子ビームがうねる。 α²＝４の時、α²Ｋ²＝４or５ ならば、α²＜１＋α²Ｋ² となり、基準ビーム径より大きいところで、電子ビームがうねる。 α²＝６ならば、α²Ｋ²＝２or３or４ の時、α²＞１＋α²Ｋ² となり、基準ビーム径より小さいところで、電子ビームがうねる。 α²＝６ならば、α²Ｋ²＝６or７or８ の時、α²＜１＋α²Ｋ² となり、基準ビーム径より大きいところで、電子ビームがうねる。

　次に、周期磁界中での電子ビームのうねり具合いを考える。 この場合、電子ビームのうねり(リップル)を最小にする平衡条件は、 　の時　 とおいて、 に代入すると、次の平衡条件式を得ることができる。 この条件式は、周期磁界中で成立する。 の時は、基準ビーム径(σ＝１)より小さいところで、電子ビームがうねる。 の時は、基準ビーム径(σ＝１)より大きいところで、電子ビームがうねる。 周期磁界中での電子ビームのうねり具合いを次の図で示す。


　この事例では、周期磁界の波長Ｌ＝１．４の場合であり、α²＝１０の時、α²Ｋ²＝４ ならば、α²＝２(１＋α²Ｋ²) となり、基準ビーム径近傍で電子ビームのうねりが最小になる。 α²＝１０の時、α²Ｋ²＝２or３ ならば、α²＞２(１＋α²Ｋ²) となり、基準ビーム径より小さいところで、電子ビームがうねる。 α²＝１０の時、α²Ｋ²＝５or６ ならば、α²＜２(１＋α²Ｋ²) となり、基準ビーム径より大きいところで、電子ビームがうねる。

　磁気開口を有する周期磁界中での電子ビームのうねり具合は次の図で示す。 この事例では、Ｌ＝２．３、α²＝４の時、α²Ｋ²＝０．２５，１．０，４．０ を変化させた場合である。

　次に、周期磁界の波長の変化を考慮した電子ビームのうねり(リップル)について検討する。いま、電子ビームは、平衡条件式を満足しているとする。 すなわち、任意の周期磁界の波長において、うねり(リップル)が最小になる条件が整っていることになる。また、電子ビーム系は、第１安定域に存在するとすれば、 が成立する。つまり、αＬの値が電子ビーム系の安定性を決定していることを示している。ここで、αＬの値を変化させた場合の電子軌道を解析してみる。





　Mathieuの第１安定域の平衡条件を満たす範囲において、理想的な電子ビーム流で起こり得る周期磁界内でのリップル(うねり)の大きさは、αＬの値に依存する。 次の図は、この場合リップル(うねり)の大きさの変化を示している。

　結局、周期磁界内で安定した実用的な電子ビーム流を得るためには、Mathieuの第１安定域を満たすだけでは不十分であり、 少なくとも電子ビームのうねり(リップル)を１５％以内にするためには、 を満足させる必要がある。

５．周期磁界と電子ビームとの整合
　周期磁界と一様磁界との対応は、磁束密度の持つエネルギー平衡から考えられ、二乗平均値(r･m･s 値)の概念で説明できる。 いま、正規化された一様磁界をＦ₀、周期磁界をＦ＝Ｂ/Ｂ₀＝cosρとおき、周期磁界の一波長(ρ＝0〜2π)の間で、二乗平均値(r･m･s 値)を考える。 この場合、 が成立する。この式から、 が得られる。これは、実効値の概念と同じである。この概念は、ρ＝0〜2πについても成立する。この概念を次図に示す。


　次に、これを電子銃近傍において考えてみる。一般のPPM集束の電子ビーム系のカソード位置は、正常な周期磁界の外に置かれている。 この場合、カソード磁界Ｂcと周期磁界のピーク値Ｂ₀は、連続的にある。 したがって、この磁界パターンと電子ビーム流との対応は、一様磁界と同じように取り扱うことが困難である。

　一様磁界の場合、電子銃の静電集束系から得られる電子ビーム流のビーム半径ｒと磁界パターンとの関係は、
で与えられる。そして、最小ビーム半径ｒ_min のところから一様磁界Ｂ₀ に接続される。 この時、正規化された磁界パターンはＦ_(z) となる。

　一方、周期磁界におけるカソードからの最初のピーク値Ｂ_maxまでの磁界パターンをＦ_(z)とおいて、 カソード面でｚ＝０、最初のピーク値Ｂ_maxの位置でｚ＝ｚ₀と置き、先に説明した二乗平均値の概念を適用すると次式が成立する。 この場合、Ｆ＝Ｂ／Ｂ_max，Ｆ₀＝Ｂ₀／Ｂ_maxと置いて、上式が成立する。 また、一様磁界の場合は、Ｂ_c＝Ｂ･ｒ²/ｒ_c² の関係が成立するので、このことから、電子銃近傍における周期磁界パターンと電子ビーム流との整合を取ることが可能になる。

　以上の手順について、具体的な事例に基づいて説明する。 いま、14GHz帯PPM集束の結合空洞型進行波管の電子銃近傍の電子ビーム流とその時の理想磁界パターンを考える。 次の図は、電子銃近傍の電子ビーム流と一様磁界に至る理想磁界パターンである。

　次に、周期磁界に至るまでの、現実の磁束密度分布を示す。

　問題は、一様磁界に至る理想磁界パターンと周期磁界に至る現実の磁束密度分布の関係にある。 これを磁束密度の二乗平均値の関係で対応付け、それを次の図で示す。

　つまり、磁束密度の面積が、Ａ₁＝Ａ₂，Ａ₃＝Ａ₄を満たすように調整する。 このことで、かなりリップル(うねり)の少ない電子ビーム系が得られる。

　これらのことから、周期磁界において、電子銃近傍で電子ビーム流と磁界パターンとの整合を取る方法は、基本的に二つの方法が考えられる。 一つの方法は、電子ビーム流を形成する電極構造と磁界パターンを形成するポールピースを含む磁気集束系との相対位置をｚ軸上でスライドして、 二乗平均値の整合関係を満たすやり方である。

　もう一つの方法は、周期磁界におけるカソードからの最初の磁束密度のピーク値の強さを変更する方法である。 この方法は、磁束密度のピーク値を弱くすることで、前述の図において、Ａ₂の面積をＡ₁の面積よりも小さくすることができる。 しかも、電子ビーム流の電極構造と磁気集束系が固定されている場合、外部から比較的容易に調整することが可能である。 しかし、最初の磁束密度のピーク値が変動することで、第二、第三の磁束密度のピーク値との関係をも考慮しなければならない。

　さらに、磁束密度の二乗平均値の関係で対応付けられた磁束密度の面積Ａ_iの絶対量は、ｚ軸方向へ縮めて小さくすることにより、 先に示した電子ビームのリップルを小さくする平衡条件αＬのＬを小さくすることに相当する。 すなわち、磁束密度の面積Ａ_iの絶対量は、できるだけ小さくすべきである。 このためには、電子銃部のポールピースの内径をできるだけ小さくするなどが必要である。

６．電子銃設計と静電集束電子ビーム系



　この時、一様磁界Ｂ₀とカソード上の磁界Ｂ_cとBrillouin磁界Ｂ_B、 および電子ビーム半径ｒ₀とカソード半径ｒ_cとの関係は、次式で与えられる。
　　

　　

　そして、カソード磁界Ｂ_cは、最小ビーム半径ｒ_minの位置から、一様磁界Ｂ₀に接続される。 この時、正規化された磁界パターンは Ｆ_(z) とする。

　一方、静電集束の電子ビーム系は、電子ビーム流と理想磁界パターンとの関係式が で与えられ、周期磁界と一様磁界との対応関係から、 の関係にある。たがって、カソード磁界は、 となる。この場合、カソード磁界Ｂ_cは、理想的な電子ビーム系を得るために、等しくすべきである。 このことから、最小ビーム半径ｒ_minは、 なる関係によって得られる。また、この式にBrillouin磁束密度Ｂ_Bの式を代入して変形すれば、 が導入できる。これらのことから、最小ビーム半径ｒ_minと基準ビーム半径ｒ₀の関係を得ることができる。 このためには、電子ビーム系の完全なラミナー性およびビーム径断面が均等な電子密度を有していなければならない。 また、先の第一安定域内での電子ビームのリップル(うねり)の図で示したような周期磁界によるリップル(うねり)や 周期磁界中での電子ビームのうねり具合いを示す図のように平衡条件からのズレによるリップル(うねり)、 さらに、制作誤差などによる寸法精度のバラツキや永久磁石の偏磁などを考慮すると、考え方に最小ビーム半径はやや小さめに設定すべきであろう。

７．むすび
　以上、周期磁界における電子ビーム系の安定性および電子銃近傍での磁界パターンと電子ビーム流との整合について述べた。 この結果、
(1) 電子ビームの平衡条件は で表せる。 この平衡条件から外れると、電子ビームのリップル(うねり)は大きくなる。
(2) 周期磁界中において、電子ビーム流の安定性は、Mathieu方程式の第一安定域を満足するだけでは不十分である。 実用的には の領域を満足すべきである。
(3) 周期磁界と一様磁界とは、二乗平均値(r･m･s値)で対応付けられる。ここでは、この考え方に基づいて、周期磁界と電子ビーム流とを整合させる方法を確立した。
と云える。しかし、周期磁界中において、最適な電子ビーム流を得るためには、ここで述べた以外の設計パラメータについても検討しなければならない。

　次の資料は、この報告に基づき、周期磁界を用いた過去の代表的なＮ社の進行波管の電子ビーム系の安定性に関するパラメータを示している。 既存ＴＷＴの電子ビーム安定性 　この資料によると、実用的な電子ビーム系の安定性を得るための領域 (６．０＜αＬ) から外れている幾つかは、電子ビーム系の不安定性からくるトラブルを起こしている。 または、電子ビームの透過調整が極めて困難な状態にあるものと考えられる。