●電磁波
●ミリ波帯
●電磁波合成
●モードマッチング法
●矩形導波管

１．まえがき
　プラズマの追加熱に電子サイクロトロン共鳴加熱（ＥＣＲＨ）の研究がなされ、高い電力レベルを持つミリ波帯の電磁波が要求された。 簡便な事例を考えれば、大電力クライストロン等により増幅された電磁波をさらに高い電力レベルにするために、 幾つかの導波管から放射された電磁波を合成する方法がある。

　複数個の導波管から放射された電磁波の放射パターンの解析は、Ｃ．Ｐ．ＷｕとＶ．Ｇａｌｉｎｄｏ が試みている。 その目的はミリ波レーダ等に用いる開口型アンテナの特性を解析することであった 。 また、不連続境界を持つ導波管モードの一般的な解析法は、Ｒ．ＭｉｔｔｒａとＳ．Ｗ．Ｌｅｅ が統一した記述を与えている。 この方法によれば、電磁波の連続性を用いて、不連続境界でのモードマッチングを考慮した無限級数の方程式が得られ、 留数展開による解析が可能になる。 不連続境界を持つポテンシャル場問題の解析法は、Ｈｓｕ−Ｃｈｉｅｈ Ｙｅｈ も研究しており、適切な整理方法によって、 無限の元数を持つ連立一次方程式系を得る方法が示されている。

　ここでは、モードマッチング法による矩形導波管モードの電磁波合成の定式化をして、マトリックス計算を用いて解析する。


２．磁気的HertzベクトルによるＴＥモードの表示
　磁気的Hertzベクトルπ^ｈ を用いて、電界Ｅと磁界Ｈは、

　　　　　　　　　　Ｅ＝−ｊωμ・∇×π^ｈ 　　　　 ････（１）
　　　　　　　　　　Ｈ＝∇×∇×π^ｈ 　　　　　　　 ････（２）

で与えることができる。そして、π^ｈ は、

　 ∇×∇×π^ｈ −∇∇・π^ｈ −ｋ^２π^ｈ ＝∇^２π^ｈ ＋ｋ^２π^ｈ ＝０　 ････（３）

となる。ここで、ｋ^２＝ω^２με＝（２π／λ）^２ である。

　いま、電磁波がｚ方向に伝送するＴＥモードを考えると、磁気的Hertzベクトルは、

　　　　　　　　　π^ｈ ＝ｊＢπ^ｈ(ｘ，ｙ) 　　　　 ････（４）

で表わされ、Helmholtz方程式、

　　　　　　　　　∇ｔ^２ π^ｈ＋ｋｃ^２ π^ｈ ＝０ 　 ････（５）

を満足する。ここで、ｋｃ^２＝ｋ^２＋γ^２である。そして、矩形導波管モードに対して、スカラー関数π^ｈは、

　　π^ｈ_ｍｎ＝ｃｏｓ（ｍπｘ／ａ）・ｃｏｓ（ｍπｙ／ｂ）・ｅｘｐ（±γ_ｍｎｚ）
　　　　　　ｍ＝１，２，･･　　　　ｎ＝１，２，･･　
　　　　　　但し、ｍ＝０　又は　ｎ＝０　の時、　ｍ≠ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（６）

が成立する。そして、伝搬定数γ_ｍｎは、

　　γ_ｍｎ^２＝ｋｃ^２−ｋ^２＝（ｍπ／ａ）^２＋（ｎπ／ｂ）^２−ｋ^２　　　 ････（７）

で与えられ、次に示す電界および磁界の各成分を得る。

　　　　　　Ｅｘ＝−ｊωμ（∂π^ｈ_ｍｎ／∂ｙ）　　 ････（８a）
　　　　　　Ｅｙ＝ｊωμ（∂π^ｈ_ｍｎ／∂ｘ）　　　 ････（８b）
　　　　　　Ｅｚ＝０　　　　　　　　　　　　　　　 ････（８c）
　　　　　　Ｈｘ＝∂^２π^ｈ_ｍｎ／∂ｘ∂ｚ　　　　 　 ････（８d）
　　　　　　Ｈｙ＝∂^２π^ｈ_ｍｎ／∂ｙ∂ｚ　　　　 　 ････（８e）
　　　　　　Ｈｚ＝−（∂^２π^ｈ_ｍｎ／∂ｘ^２＋∂^２π^ｈ_ｍｎ／∂ｙ^２）
　　　　　　　　＝（γ_ｍｎ^２ ＋ｋ^２ ）π^ｈ_ｍｎ　　 ････（８f）


３．解析モデル

図−１　矩形導波管の電磁波合成モデル

　図−１に示すような１６個の矩形導波管内の電磁波（ＴＥ_１０モード）がｚ≧０で大きな矩形導波管内の電磁波モードに 合成される場合を考える。但し、１６個の矩形導波管の境界の肉厚は十分に薄く無視できるものとする。

　そして、ｚ≦０の反射波はＴＥ_ｍｎモードを取り、ｚ≧０の合成波はＴＥ_ｐｑモードを取ると仮定する。 すなわち、ｚ＝０の不連続境界で、入射波（ＴＥ_１０モード）に励起されたところの、高次の減衰モードを伴う反射波と 合成波が発生して、電磁波の連続性を保つと考える。

　また、１６個の導波管内の電磁波（入射波）はすべて同位相、同振幅のＴＥ_１０モードの基本波成分のみが伝送しているとする。 入射波が同位相、同振幅の場合、各領域毎のスカラー関数π^ｈ は、

　０≦ｘ≦ａ/４　および　ａ/２≦ｘ≦３ａ/４　，　ｚ≦０
　　　　π^ｈ_１０＝ｃｏｓ（πｘ／（ａ/４））・ｅｘｐ（−Γ_１０ｚ）　　 ････（９）
　ａ/４≦ｘ≦ａ/２　および　３ａ/４≦ｘ≦ａ/　，　ｚ≦０
　　　　π^ｈ_１０＝−ｃｏｓ（πｘ／（ａ/４））・ｅｘｐ（−Γ_１０ｚ）　　････（１０）

で与えることができる。したがって、各領域毎の入射波の電磁波成分は式（８a）〜（８f）から容易に導入される。 このような入射波の電磁波モードパターンを図−２に示す。

図−２　入射波のモードパターン

　反射波はＴＥ_ｍｎモードの集合と考えられ、スカラー関数を次に示す級数展開式で与えることができる。

　(1)　０≦ｘ≦ａ/４　，　０≦ｙ≦ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１）_ｍｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１１）

　(2)　０≦ｘ≦ａ/４　，　ｂ/４≦ｙ≦ｂ/２　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（２）_ｍｎ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　 　・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１２）

　(3)　０≦ｘ≦ａ/４　，　ｂ/２≦ｙ≦３ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（３）_ｍｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　　　 　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１３）

　(4)　０≦ｘ≦ａ/４　，　３ｂ/４≦ｙ≦ｂ　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（４）_ｍｎ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１４）

　(5)　ａ/４≦ｘ≦ａ/２　，　０≦ｙ≦ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（５）_ｍｎ（−１）ｍｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１５）

　(6)　ａ/４≦ｘ≦ａ/２　，　ｂ/４≦ｙ≦ｂ/２　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（６）_ｍｎ（−１）ｍ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１６）

　(7)　ａ/４≦ｘ≦ａ/２　，　ｂ/２≦ｙ≦３ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（７）_ｍｎ（−１）ｍｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１７）

　(8)　ａ/４≦ｘ≦ａ/２　，　３ｂ/４≦ｙ≦ｂ　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（８）_ｍｎ（−１）ｍ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１８）

　(9)　ａ/２≦ｘ≦３ａ/４　，　０≦ｙ≦ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（９）_ｍｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（１９）

　(10)　ａ/２≦ｘ≦３ａ/４　，　ｂ/４≦ｙ≦ｂ/２　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１０）_ｍｎ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２０）

　(11)　ａ/２≦ｘ≦３ａ/４　，　ｂ/２≦ｙ≦３ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１１）_ｍｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２１）

　(12)　ａ/２≦ｘ≦３ａ/４　，　３ｂ/４≦ｙ≦ｂ　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１２）_ｍｎ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２２）

　(13)　３ａ/４≦ｘ≦ａ　，　０≦ｙ≦ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１３）_ｍｎ（−１）ｍｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２３）

　(14)　３ａ/４≦ｘ≦ａ　，　ｂ/４≦ｙ≦ｂ/２　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１４）_ｍｎ（−１）ｍ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２４）

　(15)　３ａ/４≦ｘ≦ａ　，　ｂ/２≦ｙ≦３ｂ/４　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１５）_ｍｎ（−１）ｍｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２５）

　(16)　３ａ/４≦ｘ≦ａ　，　３ｂ/４≦ｙ≦ｂ　，　ｚ≦０
　　　　　　　_∞　∞
　　π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＡ^（１６）_ｍｎ（−１）ｍ（−１）ｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（Γ_ｍｎｚ）　 ････（２６）

　ここで、反射波の展開級数 Ａ^（ｉ）_ｍｎ のサフィックス（ｉ）は、図−３に示すように、１６個の導波管の位置関係を表している。 また、合成波のスカラー関数に対しても反射波と同じようにして次の級数展開式が成立する。

ｚ≧０
　　　 　　 _{∞　 ∞}
　 π^ｈ_ｍｎ＝ΣΣＢ_ｍｎｃｏｓ（ｍπｘ／（ａ/４））
　　 　　　^{ｎ＝０ ｍ＝０}
　　　　　　　　　 ・ｃｏｓ（ｎπｙ／（ｂ/４））・ｅｘｐ（−γ_ｍｎｚ）　 ････（２７）

そして、式（１１）〜式（２７）のスカラー関数π^ｈ は、式（８a）〜式（８f）を用いてそれぞれの電磁波成分を求めることができる。

　なお、入射波ＴＥ_１０モードの電磁波成分は、Ｅｙ，Ｈｘ，Ｈｚのみが存在する。 しかし、反射波と合成波の電磁波成分は、Ｅｘ，Ｈｙも存在可能である。そして、 この電磁波成分はｙ方向にスタンディング（不整合波）を持つＴＥモードを考えるときに重要な意味を持ってくると思われる。 ここでは、とりあえずＥｙ，Ｈｘ，Ｈｚの電磁波成分についてのみ取り扱うことにする。


４．モードマッチング方程式
　不連続境界（ｚ＝０）において、入射波によって励起される反射波および合成波の電界Ｅ（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）と 磁界Ｈ（Ｈｘ，Ｈｙ，Ｈｚ）は連続条件を満足する。したがって、矩形導波管ＴＥモードの電磁波成分Ｅｙ，Ｈｘ，Ｈｚは、 ｚ＝０において、次のモードマッチング条件式が成立する。

　　　　　　　（合成波）＝（入射波）＋（反射波）　　　　　　　　 ････（２８）

ところが、Ｈｚに対して得られる条件式はＥｙおよびＨｘに対して得られる条件式から導入することができ、 独立な２組の条件式だけが成立する。ここでは、ｙ方向にスタンディング（不整合波）が存在しない場合を考えており、 反射波ＴＥ_ｍｎモードおよび合成波ＴＥ_ｐｑモードにおいて、ｎ＝０，ｑ＝０と置き、ＥｙおよびＨｘに関する式を用いて、 両辺に、

　　　　　　　ｓｉｎ（ｐπｘ／ａ）　　　ｐ＝１，２，３，･･　　　 ････（２９）

を掛けて、ｘに関して０からａまで積分する。そして、Ｅｙについて得られた式の両辺にγ_ｐｑ（ｑ＝０）を掛けてから、 Ｈｘについて得られた式との差と和を取り、それぞれを整理して、反射波の展開係数Ａ^（ｉ）_ｍ および合成波の展開係数Ｂ_ｐ を未知数とする次の２組の方程式を得ることができる。

　　　　　３２π
　　［――――――――　ｓｉｎ（ｐπ／２）｛１＋２ｃｏｓ（ｐπ／４）｝］_ｐ≠４
　　　 ａ（Γ_１＋γ_ｐ）
　　 　　 _∞
　　　＝［Σ（ｍａ／２）（Γ_ｍ＋γ_ｐ）｛（Ａ^（１）_ｍ＋Ａ^（２）_ｍ＋Ａ（^３）_ｍ＋Ａ^（４）_ｍ）
　 　　　^ｍ＝１
　　　　　　　　　＋（−１）ｍ（Ａ^（５）_ｍ＋Ａ^（６）_ｍ＋Ａ^（７）_ｍ＋Ａ^（８）_ｍ）
　　　　　　　　　　　＋（Ａ^（９）_ｍ＋Ａ^（１０）_ｍ＋Ａ^（１１）_ｍ＋Ａ^（１２）_ｍ）
　　　　　＋（−１）ｍ（Ａ^（１３）_ｍ＋Ａ^（１４）_ｍ＋Ａ^（１５）_ｍ＋Ａ^（１６）_ｍ）｝］_{ｐ＝４ｍ
　　 　　 ∞}　　　１６πｍ^２
　　　−［Σ――――――――〈｛（−１）ｍ・ｓｉｎ（ｐπ／４）｝
　 　　　^ｍ＝１　ａ（Γ_１＋γ_ｐ）
　　　　　　　　　　　　　・（Ａ^（１）_ｍ＋Ａ^（２）_ｍ＋Ａ^（３）_ｍ＋Ａ^（４）_ｍ）
　　　　　　＋｛（−１）ｍ・ｓｉｎ（ｐπ／２）−ｓｉｎ（ｐπ／４）｝
　　　　　　　　　　　　　・（Ａ^（５）_ｍ＋Ａ^（６）_ｍ＋Ａ^（７）_ｍ＋Ａ^（８）_ｍ）
　　　　　　＋｛（−１）ｍ・ｓｉｎ（３ｐπ／４）−ｓｉｎ（ｐπ／２）｝
　　　　　　　　　　　　　・（Ａ（９）_ｍ＋Ａ（１０）_ｍ＋Ａ（１１）_ｍ＋Ａ（１２）_ｍ）
　　　　　　＋｛−ｓｉｎ（３ｐπ／４）｝
　　　　　　　　　　・（Ａ^（１３）_ｍ＋Ａ^（１４）_ｍ＋Ａ^（１５）_ｍ＋Ａ^（１６）_ｍ）〉］_ｐ≠４ｍ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　････（３０）

　　ｐ・ａ・γ_ｐ・Ｂ_ｐ＝
　　　　　３２π
　　［――――――――　ｓｉｎ（ｐπ／２）｛１＋２ｃｏｓ（ｐπ／４）｝］_ｐ≠４
　　　 ａ（Γ_１＋γ_ｐ）
　　 　　 _∞
　　　−［Σ（ｍａ／２）（Γｍ−γｐ）｛（Ａ^（１）_ｍ＋Ａ^（２）_ｍ＋Ａ^（３）_ｍ＋Ａ^（４）_ｍ）
　 　　　^ｍ＝１
　　　　　　　　　＋（−１）ｍ（Ａ^（５）_ｍ＋Ａ^（６）_ｍ＋Ａ^（７）_ｍ＋Ａ^（８）_ｍ）
　　　　　　　　　　　＋（Ａ^（９）_ｍ＋Ａ^（１０）_ｍ＋Ａ^（１１）_ｍ＋Ａ^（１２）_ｍ）
　　　　　＋（−１）ｍ（Ａ^（１３）_ｍ＋Ａ^（１４）_ｍ＋Ａ^（１５）_ｍ＋Ａ^（１６）_ｍ）｝］_{ｐ＝４ｍ
　　 　　 ∞}　　　１６πｍ^２
　　　＋［Σ――――――――〈｛（−１）ｍ・ｓｉｎ（ｐπ／４）｝
　 　　　^ｍ＝１　ａ（Γ_１＋γ_ｐ）
　　　　　　　　　　　　　・（Ａ^（１）_ｍ＋Ａ^（２）_ｍ＋Ａ^（３）_ｍ＋Ａ^（４）_ｍ）
　　　　　　＋｛（−１）ｍ・ｓｉｎ（ｐπ／２）−ｓｉｎ（ｐπ／４）｝
　　　　　　　　　　　　　・（Ａ^（５）_ｍ＋Ａ^（６）_ｍ＋Ａ^（７）_ｍ＋Ａ^（８）_ｍ）
　　　　　　＋｛（−１）ｍ・ｓｉｎ（３ｐπ／４）−ｓｉｎ（ｐπ／２）｝
　　　　　　　　　　　　　・（Ａ^（９）_ｍ＋Ａ^（１０）_ｍ＋Ａ^（１１）_ｍ＋Ａ^（１２）_ｍ）
　　　　　　＋｛−ｓｉｎ（３ｐπ／４）｝
　　　　　　　　　・（Ａ^（１３）_ｍ＋Ａ^（１４）_ｍ＋Ａ^（１５）_ｍ＋Ａ^（１６）_ｍ）〉］_ｐ≠４ｍ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（３１）

ここで、入射波、反射波、および合成波の伝搬定数は、

　　　　　入射波　：　　Γ_１^２ ＝（４π／ａ）^２ −ｋ^２　　　　　　　　 ････（３２）
　　　　　反射波　：　　Γ_ｍ^２ ＝（４ｍπ／ａ）^２ −ｋ^２　　　　　　　 ････（３３）
　　　　　合成波　：　　γ_ｐ^２ ＝（ｐπ／ａ）^２ −ｋ^２　　　　　　　　 ････（３４）

から与えられる。

　なお、式（３０）は無限の元数を持つ連立一次方程式であり、反射波ＴＥ_ｍ０モードと合成波ＴＥ_ｐ０モードを 対応付ける関係式になっている。このことはＭ個の反射波ＴＥ_ｍ０モードとＰ個の合成波ＴＥ_ｐ０モードとの間に、

　　　　　　　　　　　　　Ｐ＝４Ｍ　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（３５）

の関係があり、１個の反射波モードに対して、４個の独立な方程式が存在することを意味する。 すなわち、Ｐ元の連立方程式を構成することが可能となり、式（３０）はマトリックス記号を用いて、

　　　　　　　　　　［Ｇ］｛Ａ｝＝｛Ｆ｝　　　　　　　　　　　　　 ････（３６）

で表わされる。そして、解ベクトル｛Ａ｝は展開係数Ａ^（ｉ）_ｍ に対応し、式（３１）に代入すれば、 合成波の展開係数Ｂ_ｐ が得られる。


５．数値計算
　モードマッチング方程式（３０）と式（３１）から、ａ／λを与えることにより、 反射波ＴＥ_ｍ０モードに対応する展開係数Ａ^（ｉ）_ｍ および合成波ＴＥ_ｐ０モードに対応する展開係数Ｂｐ を得ることができる。 そして、反射波ＴＥ_ｍ０モードと合成波ＴＥ_ｐ０モードとの間に次の関係を与えることにより、 式（３５）に対応するｐ元の独立な一次元連立方程式系が形成できる。

　　　　　　　　　Ｐ＝４ｍ，４ｍ−１，４ｍ−２，４ｍ−３
　　　　　　　　　　　（ｍ＝１，２，３，４，･･････）

このことは、例えば、反射波にＴＥ_１０モードを選べば、Ｐ＝４，３，２，１が対応する。 しかしながら、Ｐ＝４ｍ以外は独立な方程式系を形成するために、次の対応関係を満たす任意の次数を選ぶことができる。

　ここでは、低い次数を優先に独立な方程式系を形成するものとして扱うことにする。 この理由は、次数の低い伝送モードの計算精度を維持することにある。

　数値計算は、式（３６）の形で行うが、複素マトリックス計算を施すことになる。すなわち、式（３６）は、

　　　　　　　　　　Ｇ＝Ｒ＋ｊＳ　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（３７a）
　　　　　　　　　　Ａ＝Ｘ＋ｊＹ　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（３７b）
　　　　　　　　　　Ｆ＝Ｕ＋ｊＶ　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（３７c）

とおいて、実数部と虚数部に分離すれば、

［

Ｒ＋Ｓ　　　Ｒ−Ｓ Ｒ−Ｓ　−（Ｒ＋Ｓ）

］

｛

Ｘ Ｙ

｝

＝

｛

Ｕ＋Ｖ Ｕ−Ｖ

｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ････（３８）

が与えられ、２Ｐ元の実数系のマトリックス計算になる。

　具体的な数値例として、

　　　　　　　　　　　　ａ／λ　＝　３．３６９

を取る。これは１６個の矩形導波管の断面の長軸寸法がＲバンド（ミリ波帯）の標準寸法ａ＝７．１１ｍｍとして、 伝送波（入射波）の周波数ｆ＝３５．５ＧＨｚが対応する。この場合、反射波の伝送モードはＴＥ_１０のみとなり、 合成波の伝送モードとしてはＴＥ_１０，ＴＥ_３０，ＴＥ_５０が存在可能となる。 そして、他の多くの高次減衰モードが不連続境界を基準にして、両側に発生すると考えられる。 図−４と図−５は、反射波にＴＥ_ｍ０モードを取り、計算上で考慮するｍの次数を大きくしていった場合の 合成モードの振幅と位相の変化（収束性）を示している。 図−６は全入射電力に対する合成波電力の比を各電磁波モード毎に示している。 なお、伝送電力の計算方法は（Ａｐｐｅｎｄｉｘ）に示しておいた。

　結局、入射波が同位相で同振幅の場合の反射波および合成波への伝送電力の配分は次の結果で示される 。

　なお、ｙ方向のスタンディングを考慮した場合、反射波ＴＥ_ｍｎモードに対応する合成波ＴＥ_ｐｑモードをもって、 不連続境界で入射波との整合を取ることが可能と思われる。例えば、ｙ方向の導波管の振幅が揃っていなかったり、 位相が揃っていなかったりすれば、反射波や合成波はｙ方向にもスタンディングを持つようになり、 ｎやｑの次数が大きな高次の伝送モードや減衰モードの発生が予想される。 この問題は今後さらに検討すべきものの１つと思われる。

６．むすび
　複数個（１６個）の矩形導波管から放出される電磁波の電力合成と励起される導波管伝送モードとの関係を解析し、 各導波管伝送モードに対する電力配分を明らかにした。そして、入射波が同位相、同振幅で、 Ｒバンド（ミリ波帯域）の標準導波管（７．１１ｍｍ×３．５６ｍｍ）を用いて、 周波数ｆ＝３５．５ＧＨｚの電磁波を合成した場合、合成された電磁波は、 大きな矩形導波管をＴＥ_１０、ＴＥ_３０、ＴＥ_５０の導波管モードで伝送し、それぞれの電力配分比が全入射電力に対して、 ８４．３％、９．２％、５．４％となる。また、各導波管内の反射波はＴＥ_１０モードで伝送し、 その電力比は１６個を合せて全入射電力に対し０．９％となる。なお、反射伝送電力は、ｘ方向に対して、 中央にある８個の導波管が両端の８個の導波管よりも大きく、その電力比が１：０．１９であった。

　ここで展開した方法は入射波が同位相、同振幅の場合についてであるが、 異なる位相や振幅を持つ場合についての拡張が可能と思われる。その時、ｙ方向に導波管内の伝送モードの振幅を揃え、 ｘ方向に対して中央にある８個の導波管内伝送モードの振幅を両端の８個の導波管内伝送モードの振幅よりも大きく取れば、 合成波の導波管内伝送モードＴＥ_１０の成分を持つ電力の割合を大きくすることができるであろう。 なお、より厳密な解析を行うには、小さな導波管の間の壁厚の影響を考慮する必要があろう。

Ａｐｐｅｎｄｉｘ

　ＴＥモードの伝送電力は複素ポインティングベクトルを電磁波の通過断面積で積分することによって得られ、

　　　　　　　　Ｐ＝（１／２）∬_Ｓ Ｒｅ（Ｅ×Ｈ^＊）ｊｚ ｄＳ
　　　　　　　　　＝（１／２）Ｚ_ＴＥ∬_Ｓ ｜Ｈ_Ｔ｜^２ ｄＳ　　　 ････（イ）

で与えられる 。ここで、Ｚ_ＴＥ＝ｊωμ／γ_ｍｎ は ＴＥ_ｍｎモードの電磁波インピーダンスである。また、Ｒｅは複素数の実部を取ることを意味し、「＊」は共役複素数、ｊｚはｚ方向の単位ベクトル、Ｈ_Ｔの添字「Ｔ」はｚ軸に垂直な面内の成分を示している。

　式（イ）は、磁気的Hertzベクトルに用いたスカラー関数π^ｈ_ｍｎで表現でき、

　　Ｐ＝−（１／２）ｊωμ・γ_ｍｎ（γ_ｍｎ^２＋ｋ^２）∬_Ｓ｜π^ｈ_ｍｎ｜^２ ｄＳ ････（ロ）

を得る。したがって、入射波が同位相・同振幅の場合の電力Ｐinは、

　　Ｐin＝−（１／４）ｊωμ・（ｂ／ａ）π^２・Γ_１ 　　　　　　　　 ････（ハ）

となる。また、反射波ＴＥ_ｍ０モードの電力Ｐref および合成波ＴＥ_ｐ０モードの電力Ｐmix は、

　　Ｐref＝−（１／４）ｊωμ・（ｂ／ａ）ｍ^２π^２・Γ_ｍ ｜Ａ^（ｉ）_ｍ｜^２　 ････（ニ）

　　Ｐmix＝−（１／４）ｊωμ・（ｂ／ａ）ｐ^２π^２・γ_ｐ ｜Ｂ _ｐ｜^２　 　　････（ホ）

となる。ゆえに、入射波が同位相・同振幅の場合、全入射電力に対する反射波電力および合成波電力の割合は、 式（ハ）、式（ニ）、および式（ホ）を用いて、

　　　　　　　　　　　　　　　　　 _１６
　　Ｒref＝（１／１６）（ｍ^２／Γ_１）ΣΓ_ｍ ｜Ａ^（ｉ） _ｍ ｜^２　 　････（へ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ^ｉ＝１
　　Ｒmix＝（１／１６）（ｐ^２／Γ_１）・γ_ｐ ｜Ｂ_ｐ｜^２　　　 　　　　････（ト）

となる。

　以下、入射波の各種条件について、励起される各導波管内の伝送モードに対する電力配分を求めたので追記する。

導波管の位置関係（ａ／λ＝3.369）

導波管の位置関係（ａ／λ＝3.369）

条件−３　　　　　　　条件−４　　　　　　　条件−５

条件−６　　　　　　　条件−７　　　　　　　条件−８