星の距離を測る
余弦定理－平面・球面
渡邊勝（札幌琴似工業高校）
数教協
第３７回全道数学教育研究大会
１９９７年７月２８日、２９日
札幌市青葉小学校
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Ⅰ はじめに
問題；地球から牽牛星までは、１７光年、同じく織女星までは、２６光年、二つの星を望む角度は、３４度である。牽牛星と織女星の間の距離を求めよ。
解；
ＡＶ２＝ＶＥ２＋ＥＡ２－２ＶＥ･ＥＡcos34°
＝２６２＋１７２－２・２６・１７・０．８２９０
＝２３２．２
ＡＶ＝１５．２４
この問題は、教科書（三省堂）にも掲載されている優れた問題です。ひとつは、測量の領域を地上から天界へ飛躍していること、牽牛・織女の恋物語が下地にあって、ロマンをかきたてること。一年に一度の逢瀬しか許されない「二人」の距離を求めることが、好奇心をかきたてているのです。
Ⅱ．地球恒星間の距離
１．年周視差を使って測定
ところで、地球から恒星までの距離はどのように測定するのでしょうか？
目的の天体をＡとし、地球が太陽Ｓの周りを公転している円（楕円）の直径の両端をＥ１、Ｅ２ とするとき、観測地と時刻をうまくとることによって、実線の直角三角形ができます。
∠Ｅ１ＡＳ を年周視差と言います。これが、測定できれば、⊿ＡＥ１Ｓ について、
Ｅ１Ｓ＝１．４９５９７８７０×１０１１ｍ（１天文単位＝ＡＵ）が既知なので、辺ＡＥ１を求めることができます。
問： ケンタウル座α星の年周視差は ０．７５秒です。この星までの距離はいくらか？
解： この星をＡ、地球をＥ、太陽をＳとして、三角形ＡＥＳは、∠Ｓが直角、
ＡＥ・sin∠Ａ＝ＥＳ
∠Ａは微少なので、ラジアンで測れば、sin∠Ａ≒∠Ａ
ＥＳ＝１ＡＵ≒１．５０×１０８ｋｍ
∠Ａ＝０．７５０″≒０．７５０×４．８５×１０―６ ≒３．６４×１０－６
ＡＥ≒ＥＳ÷∠Ａ＝４．１２×１０１３ｋｍ
≒４．１２×１０１３ｋｍ÷９．４６×１０１２ｋｍ／光年≒４．３６光年
２．年周視差検出の苦労
コペルニクスが地動説を提唱して（１５４３年）以来、年周視差が測定されるであろうとの見込みで、多くの天文学者がさまざまな苦労と工夫をしながら測定に従事しました。
１６７５年光速を初めて測定したＯ．Ｃ．レーマーが、この問題にも初めて取り組みましたが検出出来ませんでした。
その後、色消しレンズの発明があって（１７３３年、Ｃ．Ｍ．ホール、
１７５５年、Ｊ．ドロンド）、屈折望遠鏡が発達し、１８３８年にＦ．Ｗ．ベッセルが、ヘリオメーターという光学器械を使って、白鳥座の６１番星の年周視差を測定しました。
その角度は、０．２９４秒です。視力１．０の人が見分けるのは、１分＝６０秒といわれています。いかに微少かおわかりいただけると思います。ちなみに、月や太陽の視直径が３０分＝１８００秒です。
現在は、写真撮影のフィルムの比較からこの角度を測定します。ただし、遠い星は、誤差の限界内に入ってしまい測定が不能になります。
また、星雲までの距離を測定する歴史は、一つのドラマを観る思いがいたします。
このあたりは、吉田正太郎著「望遠鏡発達史」上巻（１９９４，誠文堂新光社）、
ジョン・グリビン著野本陽代翻訳「ビッグバンの探求－宇宙はどこからやってきたか」（１９８８年、㈱ティービーエス・ブリタニカ）を参照しました。
Ⅲ．恒星間の視離を求める。
１．位置天文学＝球面天文学のこと
ところで、二星を望む距離が３４度は、どのようにして測定したのでしょうか？トランシットを使って直接測定することもできますが、恒星の「赤経、赤緯」といわれている座標がもとめられていますので、それを基に計算で求めることができます。
地球の自転のために、地上を覆っている天球が、東から西に向かってゆっくりと回転しています。従って、天球上の星は、東から西へ回転しているように見えます。これを「日周運動」と言います。日周運動によってできる最大の円を「天の赤道」と言います。
天球上の天体は、天の赤道に平行に日周運動をしています。天体は一年中赤道に対して位置を変えません。ただし、太陽は、年間を通して、赤道に対して位置を変えていきます。このように年間を通じて、天球上の太陽の通る道を「黄道」（こうどう）と言います。黄道が赤道と交わる点が春分点と秋分点です。
日周運動の軸が天球と交わる点が「天の北極」「天の南極」と呼ばれます。
天の両極を通る大円を子午線と言います。春分点を通る子午線を本初子午線と言います。本初子午線から東に向かって、角度を張り付けます。これを「赤経」と呼びます。普通は六十分法によらず、時間法で表現します。１８０度と言わず１２時と言い、１５度いわず１時間と言います。
一方天の赤道から両極に向けて、角度を張り付けます。これを「赤緯」と言います。北極へはプラスの角度を、南極にはマイナスの角度を使います。
天球上の天体は、赤経と赤緯でその位置を表すことができます。
２．球面三角形
天球上の三点によって、球面三角形を描くことができます。
球の半径を１として、球面上の辺は、角度で表します。内角は、下図のように定義します。
ａ＝∠ＢＯＣ ｂ＝∠ＣＯＡ ｃ＝∠ＡＯＢ
∠Ａ＝∠Ｂ１ＡＣ１ ∠Ｂ＝∠ＡＢ１Ａ１ ∠Ｃ＝∠ＡＣ１Ａ１
（∠ＯＢ１Ａ＝∠ＯＣ１Ａ＝∠Ｒ） （∠ＯＢ１Ａ＝∠ＯＢ１Ａ１＝∠Ｒ） （∠ＯＣ１Ａ１＝∠ＯＣ１Ａ＝∠Ｒ）
３．球面三角形の余弦定理
球面三角形に於いても、「余弦定理」と呼ばれる定理があります。
ＡＢ１＝sinｃ
Ａ１Ｂ１＝ＡＢ１・cosＢ＝sinｃ・cosＢ
ＯＣ１＝cosｂ、ＯＣ２＝cosｃ・cosａ
Ａ１Ｂ１＝sinｃ・cosＢ
Ａ２Ａ１＝Ａ１Ｂ１・sinａ＝(sinｃ・cosＢ)sinａ＝sinｃsinａcosＢ
ＯＣ１＝ＯＣ２＋Ｃ２Ｃ１
＝ＯＣ２＋Ａ２Ａ１
cosｂ＝cosｃcosａ＋sinｃsinａcosＢ （余弦定理）
輪環変換によって、
cosｃ＝cosａcosｂ＋sinａsinｂcosＣ
cosａ＝cosｂcosｃ＋sinｂsinｃcosＡ
４．二星間の視角（視距離）を求める公式造り
天体の座標を（赤経、赤緯）のように表わし、天の北極をＡ、天体をＢ，Ｃして、
Ｂ(α１，δ１)、Ｃ(α２，δ2)とすると、下図のようになります。
求める視角（視距離）をａとして、余弦定理を適用すると
cosａ＝cosｂcosｃ＋sinｂsinｃcosＡ
＝cos(90°－δ２)cos(90°－δ１)＋sin(90°－δ２)sin(90°－δ)cos(α2－α１)
＝sinδ２sinδ１＋cosδ２cosδ１cos(α2－α１)
＝sinδ１sinδ２＋cosδ１cosδ２cos(α2－α１)
問；織女星（１８時３６．９分、３８°４７′）、
牽牛星（１９時５０．８分、８°５２′）です。
二星間の視角（視距離）を求めてみよう。
解：
時分を角度に換算します。
１８時３６．９分＝１８時＋(３６．９÷６０)時＝１８時＋０．６５１時
＝１８.６５１時＝１８.６５１時×１５°／時＝２７９°２
１９時５０．８分＝１９時＋(５０．８÷６０)時＝１９時＋０．８４７時
＝１９．８４７時＝１９．８４７時×１５°／時＝２９７°７
分を度に換算します。
３８°４７′＝３８°＋(４７÷６０）°＝３８°７８
８°５２′＝ ８°＋(５２÷６０）°＝ ８°８７
織女星（２７９°２、３８°７８）、牽牛星（２９７°７、８°８７）
求める視角をａとして、余弦定理を適応すると、
cosａ＝sinδ１sinδ２＋cosδ１cosδ２cos(α2－α１)
＝sin３８°７８sin８°８７
＋cos３８°７８cos８°８７cos(２９７°７－２７９°２)
＝０．０９６６＋０．７３０４＝０．８２７０
ａ＝cos－１０．８２７０＝３４°２１
Ⅳ．問題造りのための資料
１．夏の大三角形
琴座ヴェガVega（織女星）、鷲座アルタイルAltair（牽牛星）、
白鳥座デネブDeneb
位置は Vega（１８時３６．９分、３８°４７′） ２５光年
Altair（１９時５０．８分、０８°５２′） １６光年
Deneb（２０時４１．４分、４５°１７′）１８００光年
度に換算して Vega（２７９°２２５、３８°７８３） ２５光年
Altair（２９７°７００、０８°８６７） １６光年
Deneb（３１０°３５０、４５°２８３）１８００光年
視角は、 ∠Ｖ－Ａ＝３４°２０２
∠Ａ－Ｄ＝３８°０１５
∠Ｄ－Ｖ＝２３°８４９
星座や星の名前はラテン語用います。読み方は「ローマ字読み」です。従って、英語の発音とは、違いますのでご注意下さい。
２．冬の大三角形
子犬座プロキオンProcyon 、大犬座シリウスSirius、
オリオン座ベテルギュウスBetelgeuse
位置は Procyon(０７時３９.３分、５°１４′) １１ 光年
Sirius（０６時４５.１分、－１６°４３′） ８.６光年
Betelgeuse（０５時５５.２分、０７°２４′）５００ 光年
度に換算して Procyon(１１４°８２５、５°２３３) １１ 光年
Sirius（１０１°２７５、－１６°７１７） ８.６光年
Betelgeuse（８８°８００、０７°４００） ５００ 光年
視角は ∠Ｐ－Ｓ＝２５°７１５
∠Ｓ－Ｂ＝２７°０９０
∠Ｂ－Ｐ＝２５°９５３
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