札幌市。あけぼの旅館
基礎資料
単元；数学Ｃ「行列」 、工業数理「予測と計画」－“産業連関表”
指導要領にあるもの；
１．行列の定義、相等、
２．行列の和と実数倍、零行列、行ヴェクトル、列ヴェクトル、
３．行列の積、非可換、零因子、単位行列、
４．逆行列、二次行列逆行列の公式
５．連立一次方程式、二次；逆行列の公式使用、消去法、三元一次→消去法
６．コンピュータによる行列の計算
定数倍；２×３行列、和；２×３行列、積；２×２行列、消去法；三元連立
必要とされる予備知識；上記１～４
この指導案で上記以外に準備するもの
１．転置行列；定義
２．転置行列の逆行列 ＊要点参照
この指導案の特徴点
① 「掃き出し法」を操作だけに終わらせないで、行列と対応させた。
② 「掃き出し法」によって、逆行列も算出できることを示した。
③ 二次行列の場合も、逆行列の公式を使わないで、掃き出し法を徹底する。
④ 普通高校では扱わない産業連関表＝投入産出表をとりあげた。
⑤ 「あなたは経済大臣」の節を設けて、産業連関表をシュミレーションの材料とした。
産業連関表の歴史
１．フランソワ・ケネー；Francois Quesnay（１６９４～１７７４年）
ポンパドール侯爵夫人（渡邊勝氏の高校時代一コ下のマドンナＩ．Ｎ嬢に似ている）の侍医、
ルイ十五世の侍医、「百科全書」に執筆、
１７５８年に「経済表」初版を印刷。（岩波文庫－白４３）
重農学派；重商主義によって疲弊させられた農村の復興、
農業が富の源泉：商工業は不生産的、
自然法の思想
２．カール．マルクス；Karl Marx（１８１８～１８８３年）
マルクスは経済表（範式）を評して、次のように述べている。（剰余価値学説史、第一章第
十四節）。「この表は、資本の全生産遇程を再生産過程として叙述し、流通をただこの再生産
過程の形態として、貨幣流通を資本の流通の一動機として、叙述するの試みであった。同時に
また、この再生産過程の中に、収入の起原、資本と収入との交換、再生産的消費と決定的消費
との関係、というものを包含しょうとするの試みであった。また、資本の流通の中に、消費者
と生産著（事実上、資本と収入）との間の流通を、包含しようとするの試みであった。最後に、
この再生産過程の動機として生産的労働の二大区分－原生産と工業の間の流通を叙述するの試
みであった。そしてこれらすべてを、一つの表の中に、すなわち実際上ただ、六つの出発点と
帰着点とを結ぶ五つの線から成る表の中に、叙述するの試みであった。しかもそれは、十八世
紀の最初の三分の一、すなわち経済学の幼少時代においてである。それはたしかに最も天才的
な思いつきであった。経済学が今までにこれに負うところは少なくない。」
マルクス自身は、「資本論・第二巻・第二部・第三篇・第２０章；単純再生産、第２１章；
蓄積と拡大再生産」の中で、再生産表式を展開している。生産財生産、消費財生産二部門にお
ける剰余価値の生産と部門内取引、二部門間取引を分析している。経済主体の相互関連をマク
ロにみている。
例；単純再生産の場合、添字（サフィックス）の１；生産財部門、２；消費財部門
Ｃ；不変資本、Ｖ；可変資本、Ｍ；剰余価値、Ｗ；生産された商品の価値
３．ソヴィエット革命後
ブハーリンの指導下、「ソ連邦国民経済バランス」１９２６年、
（商品経済消滅→経済学消滅→客観的経済法則の否定→計画経済下の均衡体系を追求）
数理形式主義的偏向があって、スターリンから「数字の遊技である」との批判され、経済バラン
スは中止。産湯を捨てて赤子まで流してしまった。１９２９年
以後ソ連では、経済学の数理的側面を軽視してしまう。
４．ワシリー・レオンチーフ； Wassily Leontief（１９０６～
ソ連からドイツそして米国に移住しハーバード大教授となった経済学者；
「産業連関表」を創案（経済バランスを米国に移植）した。
「アメリカ経済の構造１９１９～２９」１９４２年
依って立つ経済理論は真に科学的経済学でなく、現象論に留まっていた。
５．日本；官庁経済学
１９５７年通産省が「日本経済の産業連関分析」発表、それ以降５年ごとに作成、
産業連関表の問題点
１．剰余価値が隠されてしまっている。剰余価値の生産こそ資本主義的生産の基本動機である
２．「投入量＝産出量」；自動均衡論
３．依って立つ学理；「新古典派」等；経済主体；企業、家計とみる、価格は需給決定論
４．真に科学的な経済学で、表を編成し直すことも可能；ただし、初学者には難しい。
高等学校工業科用「工業数理」実教出版１９９６年
ケネー、戸田正雄・増井健一訳「経済表」岩波文庫（９５１－９５１ａ）１９６６年
関恒義「現代の経済原論」実教出版１９９７年
関恒義「経済学と数学利用」大月書店１９７９年
大阪市立大学経済研究所編「経済学辞典第２版」岩波書店１９７９年
マルクス、資本論翻訳委員会訳「資本論」新日本出版１９９７年
転置行列について要点
Ａ＝[ａｉｊ] Ｂ＝[ｂｉｊ] 両者ともにｎ次正方行列とするとき、
Ａ′＝[ａｊｉ] Ｂ′＝[ｂｊｉ] これらを転置行列とよぶ。
(ⅰ)
(ＡＢ)＝[ａｉｊ][ｂｉｊ]＝[Σａｉｋｂｋｊ] ならば、
(ＡＢ)′＝[Σａｊｋｂｋｉ]＝[Σｂｋｉａｊｋ]＝[ｂｊｉ][ａｊｉ]＝Ｂ′Ａ′
すなわち (ＡＢ)′＝Ｂ′Ａ′ ・・・・・①
(ⅱ)
Ｅ；単位行列 Ｅ′＝Ｅ
(ＡＡ－１)′＝Ｅ′＝Ｅ
(Ａ－１)′Ａ′＝Ｅ
上の式より
(Ａ′)－１＝(Ａ－１)′ ・・・・・②
(ⅲ)
(Ｅ－Ａ′)＝[(δｉｊ－ａｊｉ)]＝[(δｉｊ－ａｉｊ)]′＝(Ｅ－Ａ)′ （δｉｊ；ｸﾛﾈｯｶｰのデルタ）
すなわち (Ｅ－Ａ′)＝(Ｅ－Ａ)′ ・・・③
非負解存在の保障
問題；(Ｅ－Ａ)ｘ＝ｄ の係数行列(Ｅ－Ａ)がはなはだ特殊な形をしている。
(Ｅ－Ａ)＝[ｂｉｊ] ｉ≠ｊのとき、ｂｉｊ＜０ ｉ＝ｊのとき、ｂｉｊ＞０
はたして、ｄの要素が非負のとき、ｘの要素も非負であるか？
一般に
のとき、
が保障されるか？
[定理] Hawkins-Simonの条件（首座小行列式が正値をとる）
[証明]
ｎ＝１のとき ＜Ａ＞は、ｂ１１ｘ１＝ｃ１
＜Ｃ＞より ｂ１１＞０ 、ｘ１＝ｃ１／ｂ１１
ｃ１≧０⇒ｘ１≧０ 即ち＜Ｂ＞が成立
ｎ＝ｋ－１で成立すると仮定 ・・・＜Ｄ＞
掃き出し法の操作を行い
（２）について＜Ｄ＞より
行列式の性質により、＜Ａｋ＞の係数行列Ｂと＜Ａ′ｋ＞の係数行列Ｂ＊の行列式は等しく、
右辺を展開して、
(3)より │Ｂ│＞０、(1)より
＜Ａｋ＞より、ｂ１ｊ≦０，(4)よりｘｊ≧０（ｊ＝２，・・・、ｋ）
まとめて ｎ＝ｋ のとき
ゆえに、すべてのｎ（ｎ；自然数）について成立
二階堂副包「経済のための線型数学」新数学シリーズ22 培風館１９６１年