☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
数の世界

－数の世界－

自然数
自然数とは、１．２，３等、物の個数または順番（有限順序数）を表す一群の数のこと。

（自然数の公理）自然数に０を含まないとする場合、
  1. 自然数１が存在する。
  2. 任意の自然数にはその後者の自然数が存在する。
  3. 異なる自然数は異なる後者の自然数がある。
  4. １はいかなる自然数の後者でもない（１より前の自然数は存在しない）。
  5. １がある性質を満たし、ある数がその性質を満たせば、その後者もその性質を満たす時、すべての自然数はその性質を満たす。

整数
　整数とは、０ と、自然数 １，２，３，・・・および自然数に負号をつけた数 －１，－２，－３，・・・をあわせた数をいう。 １，２，３，・・・は正の整数、－１，－２，－３，・・・は負の整数と呼ばれている。 整数は、数直線上に表わせば等間隔に並び，最大数も最小数もない。無限で、加法・減法・乗法についてすべてで成立する。 ０，±１，±２等は整数であり、自然数は正の整数である。

奇数は、２で割り切れない整数のこと。
１０進法では、１の位が１，３，５，７，９である数は奇数である。

偶数と奇数の和もしくは差は奇数である。奇数と奇数の積も奇数である。
２以外のすべての素数は奇数である。

偶数は、２で割り切れる整数のこと。
１０進法では、１の位が０，２，４，６，８である数は偶数である。
  1. 偶数と偶数の和もしくは差は偶数である。
  2. 奇数と奇数の和もしくは差もともに偶数である。
  3. 偶数と整数（偶数でも奇数でもよい）の積も偶数となる。

素数
素数とは、１と自分自身以外に正の約数を持たない１ではない自然数のこと。
100までの素数
　 2 3　 5　 7　　
11　13　　　17　19
　　23　　　　　29
31　　　　　37　　
41　43　　　47　　
　　53　　　　　59
61　　　　　67　　
71　73　　　　　79
　　83　　　　　89
　　　　　　97　　

世界最大の素数は、「２を７４，２０７，２８１乗し、１を引いた数」、２２，３３８，６１８桁、４９番目のメルセンヌ素数、２０１６年に発見された。

メルセンヌ素数　　Mp = 2p − 1 が素数であるならば、2p−1(2p − 1) は完全数となる。

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 25964951


有理数と無理数
　有理数は、二つの整数ａ，ｂ（但し、ｂは０でない）を用いて、ａ／ｂという分数で表せる。 　有理数は、０および±ａ／ｂ（但し、ａ，ｂは自然数）のこと、ｂ＝１の時は整数となる。
　無理数は、有理数以外の実数である。
　例えば、
√２＝１．４１４２１３５６・・
ｅ＝２．７１８２８１８２８・・
π＝３．１４１５９２６５３５・・


数直線(正の数や負の数は直線上の点によって表すことが可能)
　０（ゼロ）を表す点Ｏと１を表す点Ｅ、点Ｅは点Ｏより右にあるとすると、ＯからＥへ向かう直線の向きを正の方向、その反対の向きを負の方向とし、 ＯＥの長さを単位として、距離を測定する。このようにして、正負の数を対応させた直線は数直線と呼ばれる。
　数直線上の点Ａに実数aが対応する時、aを点Ａの座標と呼び、Ａ(a)で表す。

　実数とは、有理数と無理数を合わせた数のこと、実数は次のように分類される。
実数整数正の整数
０(ゼロ)
負の整数
有理数有限小数
循環する無限小数　
無理数循環しない無限小数　

　実数の絶対値(実数の絶対値とは)
  1. 正の数ａの絶対値は、ａそのものである。
  2. 負の数ａの絶対値は、符号をかえた正の数－ａである。
  3. ０の絶対値は、０である。
  4. 実数ａに対して、その絶対値│ａ│は、次のように表示する。
    　　　　　　　　　　　　ａ　　（ａ≧０の時）
    　　　　　　　　　　　－ａ　　（ａ＜０の時）



複素数
  1. 複素数とは、ａ，ｂを任意の実数として、ａ＋ｂｊで表示される数を複素数と呼ぶ。
  2. 複素数は、実数と負の数の平方根との和である。
  3. 負の数の平方根は虚数と呼ばれ、虚数は虚数単位と実数との積で表示される。
  4. ｊは虚数単位であり、平方して－１になる数、ｊ＝√－１で表し、ｊ2＝－１となる。
  5. 複素数ａ＋ｂｊは、ａを実部、ｂを虚部と呼び、ａ－ｂｊとは共役複素数の関係にある。




以上　　

（２０１７年５月１４日）


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