☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
式と式の計算
式と式の計算
－式と式の計算(算術・算法)－
算術・算法は、数の概念や数の演算、その性質や計算規則あるいは計算法など、その論理的な手続きを明らかにする学問分野である。
方程式とは、等号（＝）を含む数式において、ある値の時に成り立つ等式のこと。典型的な方程式は未知数と呼ばれる項を含んだ等式のことである。 一般には、さまざまな対象の間に成り立つ数学的な関係について、記号を用いて等式などの式によって表したもののことをいう。
② 数と文字の積(掛け算)は、数を先に書く。 例：a×2×b → 2ab
③ 記号π（パイ）が含まれる場合、数→π→文字の順に書く。例：a×π×4 → 4πa
④ 同じ文字を2回以上掛ける時、指数を使う。 例：a×a×a → a3
⑤ 掛ける数・掛けられる数の１は省略する。 例：a×１ → a , (－１)×b → －ｂ
⑥ １つの項の中で、文字はアルファベット順に書く。例：ｃ×ａ×ｂ→ａｂｃ
⑦ 除法(割り算)は「÷」でなく、分数を使う。但し、帯分数は用いない。例：a÷b→ａ/ｂ
注1)真分数(分子が分母より小さい分数)
注2)仮分数(分子が分母と同じor分子が分母より大きい分数)
注3)帯分数(整数部分と分数部分の和からなる分数)
等式の性質
① 等式の両方の辺(両辺)に同じ数を加えても、等式は成り立つ。
② 等式の両辺から同じ数を引いても、等式は成り立つ。
③ 等式の両辺に同じ数を掛けても、等式は成り立つ。
④ 等式の両辺を同じ数で割っても、等式は成り立つ（割る数が0の場合を除く）。
不等式：不等式は不等号を含んだ数式のこと、量や大きさ、序列、値などを評価する。
・数の大小関係
① ａ－ｂ＞０ ならば ａ＞ｂ
② ａ－ｂ＝０ ならば ａ＝ｂ
③ ａ－ｂ＜０ ならば ａ＜ｂ
・不等式の基本性質
① ａ＞ｂ ならば ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ， ａ－ｃ＞ｂ－ｃ
② ａ＞ｂ，ｃ＞０ ならば ａｃ＞ｂｃ， ａ／ｃ＞ｂ／ｃ
③ ａ＞ｂ，ｃ＜０ ならば ａｃ＜ｂｃ， ａ／ｃ＜ｂ／ｃ
④ 任意の実数ａに対してａ２≧０ 特に、ａ２＝０ ⇔ ａ＝０
四則演算を特徴付ける性質には、交換法則、結合法則、分配法則などがある。
① 交換法則 ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ， ａｂ＝ｂａ
② 結合法則 （ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）， （ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）
③ 分配法則 （ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ， ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ
加法と減法
①
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
(＋ａ)＋(＋ｂ)＝ａ＋ｂ
(－ａ)＋(＋ｂ)＝－ａ＋ｂ＝ｂ－ａ
(＋ａ)＋(－ｂ)＝ａ－ｂ＝－ｂ＋ａ
ａ＋(ｂ＋ｃ)＝(ａ＋ｂ)＋ｃ
ａ＋(ｂ－ｃ)＝(ａ＋ｂ)－ｃ
②
ａ－ｂ＝－(ｂ－ａ)
(＋ａ)－(＋ｂ)＝ａ－ｂ
(＋ａ)－(－ｂ)＝ａ＋ｂ
(－ａ)－(＋ｂ)＝－ａ－ｂ＝－(ａ＋ｂ)
(－ａ)－(－ｂ)＝－ａ＋ｂ＝ｂ－ａ
ａ－(ｂ＋ｃ)＝ａ－ｂ－ｃ
ａ－(ｂ－ｃ)＝ａ－ｂ＋ｃ
③
||ａ|－|ｂ||≦|ａ＋ｂ|≦|ａ|＋|ｂ|
||ａ|－|ｂ||≦|ａ－ｂ|≦|ａ|＋|ｂ|
乗法と除法
①
ａ・ｂ＝ｂ・ａ
(＋ａ)・(＋ｂ)＝ａ・ｂ
(＋ａ)・(－ｂ)＝－ａ・ｂ
(－ａ)・(＋ｂ)＝－ａ・ｂ
(－ａ)・(－ｂ)＝＋ａ・ｂ
②
(ａ＋ｂ)・ｃ＝ａ・ｃ＋ｂ・ｃ
(ａ－ｂ)・ｃ＝ａ・ｃ－ｂ・ｃ
(ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ)＝ａｃ＋ｂｃ＋ａｄ＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)(ｃ－ｄ)＝ａｃ＋ｂｃ－ａｄ－ｂｄ
(ａ－ｂ)(ｃ＋ｄ)＝ａｃ－ｂｃ＋ａｄ－ｂｄ
(ａ－ｂ)(ｃ－ｄ)＝ａｃ－ｂｃ－ａｄ＋ｂｄ
③
(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)＝(ａ＋ｂ)2＝ａ2＋２ａｂ＋ｂ2
(ａ－ｂ)(ａ－ｂ)＝(ａ－ｂ)2＝ａ2－２ａｂ＋ｂ2
(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ2－ｂ2
④
|ａ・ｂ|＝|ａ|・|ｂ|
⑤
(ａ＋ｂ)／ｃ＝ａ／ｃ＋ｂ／ｃ
(ａ－ｂ)／ｃ＝ａ／ｃ－ｂ／ｃ
(＋ａｂ)／(＋ａ)＝＋ｂ
(＋ａｂ)／(－ａ)＝－ｂ
(－ａｂ)／(＋ａ)＝－ｂ
(－ａｂ)／(－ａ)＝＋ｂ
⑥
|ａ|／|ｂ|＝|ａ／ｂ|
① （ａ＋ｂｊ）＋（ｃ＋ｄｊ）＝（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）ｊ
② （ａ＋ｂｊ）－（ｃ＋ｄｊ）＝（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）ｊ
③ （ａ＋ｂｊ）（ｃ＋ｄｊ）＝（ａｃ－ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｊ
④ （ａ＋ｂｊ）／（ｃ＋ｄｊ）
＝（ａｃ＋ｂｄ）／（ｃ2＋ｄ2）＋｛（ｂｃ－ａｄ）／（ｃ2＋ｄ2）｝ｊ
⑤ 和の交換法則 ｚ＋ｗ＝ｗ＋ｚ
⑥ 積の交換法則 ｚｗ＝ｗｚ
⑦ 分配法則 ｚ（ｖ＋ｗ）＝ｚｖ＋ｚｗ
幾つかの単項式の和で表される式は多項式、それぞれの単項式は多項式の項という。単項式と多項式を合わせて整式という。
各項の次数で最大のものはその整式の次数であり、文字を含まない項は定数項、多項式の中で文字の部分が同じ項は同類項と呼び、同類項は１つの項にまとめることができる。
整式の乗法：単項式の乗法は、次の指数法則が用いられる。
① ａmａn＝ａ(m＋n)
② （ａm）n＝ａmn
③ （ａｂ）n＝ａnｂn
整式の展開：整式の積を１つの整式で表すことを展開するという。
① ｍ（ａ＋ｂ）＝ｍａ＋ｍｂ
② （ａ＋ｂ）2＝ａ2＋２ａｂ＋ｂ2， （ａ－ｂ）2＝ａ2－２ａｂ＋ｂ2
③ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
④ （ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ，
（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＝ａｃｘ2＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ
⑤ （ａ＋ｂ）3＝ａ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2＋ｂ3，
（ａ－ｂ）3＝ａ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2－ｂ3
⑥ （ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2）＝ａ3＋ｂ3，
（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）＝ａ3－ｂ3
整式の除法：単項式の除法は、次の指数法則が用いられる。
① （ａ／ｂ）ｎ＝ａｎ／ｂｎ
ａ(ｍ－ｎ) （ｍ＞ｎの時）
② ａｍ÷ａｎ＝ａｍ／ａｎ＝ １ （ｍ＝ｎの時）
１／ａ(ｍ－ｎ) （ｍ＜ｎの時）
因数分解：整式を２つ以上の定数でない整式の式で表すことを因数分解するという。
① ｍａ＋ｍｂ＝ｍ（ａ＋ｂ）
② ａ2＋２ａｂ＋ｂ2＝（ａ＋ｂ）2，
ａ2－２ａｂ＋ｂ2＝（ａ－ｂ）2
③ ａ2－ｂ2＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）
④ ｘ2＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ），
ａｃｘ2＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ＝（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）
⑤ ａ3＋３ａ2ｂ＋３ａｂ2＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）3，
ａ3－３ａ2ｂ＋３ａｂ2－ｂ3＝（ａ－ｂ）3
⑥ ａ3＋ｂ3＝（ａ＋ｂ）（ａ2－ａｂ＋ｂ2），
ａ3－ｂ3＝（ａ－ｂ）（ａ2＋ａｂ＋ｂ2）
整式の最大公約数と最少公倍数：整式Ａが整式Ｂで割り切れる時、ＢをＡの約数、ＡをＢの倍数という。
２つ以上の整式に共通な約数をそれらの整式の公約数と呼び、その内で次数の最大なものを最大公約数という。
また、２つ以上の整式に共通な倍数をそれらの整式の公倍数と呼び、その内で次数の最小なものを最小公倍数という。
分数式の加法と減法
① Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｃ＝（Ａ＋Ｂ）／Ｃ
② Ａ／Ｃ－Ｂ／Ｃ＝（Ａ－Ｂ）／Ｃ
分数式の乗法と除法
① Ａ／Ｂ×Ｃ／Ｄ＝ＡＣ／ＢＤ
② Ａ／Ｂ÷Ｃ／Ｄ＝Ａ／Ｂ×Ｄ／Ｃ＝ＡＤ／ＢＣ
比例式 ０でないａ，ｂ，ｃ，ｄがａ／ｂ＝ｃ／ｄを満たす時、
ａ：ｂ＝ｃ：ｄ
と記述でき、これを比例式と呼ぶ。この時、ａ．ｄをその外項、ｂ，ｃをその内項という。
比例式ａ：ｂ＝ｃ：ｄは方程式の１つ。もし、ａｄ＝ｂｃであれば、
① ａ：ｃ＝ｂ：ｄ
ｄ：ｂ＝ｃ：ａ
ｂ：ａ＝ｄ：ｃ
② ａｍ：ｂｍ＝ｃ：ｄ
ａｍ：ｂ＝ｃｍ：ｄ
(ａ：ｍ)：(ｂ：ｍ)＝ｃ：ｄ
(ａ：ｍ)：ｂ＝(ｃ：ｍ)：ｄ
③ ａ：(ａ＋ｂ)＝ｃ：(ｃ＋ｄ)
ｂ：(ａ＋ｂ)＝ｄ：(ｃ＋ｄ)
ａ：(ａ－ｂ)＝ｃ：(ｃ－ｄ)
ｂ：(ａ－ｂ)＝ｄ：(ｃ－ｄ)
④ (ｍａ＋ｎｂ)：(ｍｃ＋ｎｄ)＝(ｐａ＋ｑｂ)：(ｐｃ＋ｑｄ)
比例の特別な場合、
連比例 ａ：ｂ＝ｂ：ｃ
調和比例 (ａ－ｂ)：(ｃ－ｄ)＝ａ：ｄ
連調和比例 (ａ－ｂ)：(ｂ－ｄ)＝ａ：ｄ
比例と分数の関係
比例ａ：ｂは分数ａ／ｂと書くこともできる。とすれば、
(ａ＋ｂ)：ｃ＝(ａ＋ｂ)／ｃ
ａ／ｂ＝(ａｍ)／(ｂｍ)
ａ／ｂ＋ｃ／ｄ＝(ａｄ＋ｂｃ)／(ｂｄ)
ａ／ｂ＋ｃ／ｄ－ｅ／ｆ＝(ａｄｆ＋ｂｃｆ－ｂｄｅ)／(ｂｄｆ)
(ａ／ｂ)・ｃ＝(ａ・ｃ)／ｂ
(ａ／ｂ)・(ｃ／ｄ)＝(ａ・ｃ)／(ｂ・ｄ)
(ａ／ｂ)／ｃ＝ａ／(ｂ・ｃ)
(ａ／ｂ)／(ｃ／ｄ)＝(ａ・ｄ)／(ｂ・ｃ)
一般に、中等教育では、連立一次方程式のことを指す。
２つの文字（ｘとｙ）を含み、２つの式からなる方程式は、２元連立方程式と呼ぶ。
連立方程式の解き方には代入法と加減法がある。
①代入法
片方の式をｘまたはｙについて解き、残りの式に代入する。
(例)
| x+y=3 | ・・・(1) | ||
| 2x+5y=9 | ・・・(2) |
x=-y+3
2(-y+3)+5y=9 ， -2y+6+5y=9
3y=9-6 ，3y=3 ， y=1
x+1=3 ， x=2
②加減法
２つの式のｘまたはｙの係数を揃え（両辺に同じ数を掛け）、２つの式を足すもしくは引くことで、ｘまたはｙの項を消去する。
(例)
| 3x+2y=8 | ・・・(1) | ||
| 2x+5y=9 | ・・・(2) |
(2)式×3 ， 6x+15y = 27
(1)式－(2)式 ， －11y = －11 ， y = 1
3x +2×1 = 8 ， 3x = 6 ， x = 2
以上
（２０１３年３月２４日）