☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
代数方程式
－代数方程式－
代数方程式は多変数の多項式を等号で結んだ形で表示される。
１．一次方程式
ａｘ + ｂ = ０ (ａ ≠ ０)
この方程式（ａ，ｂ は実数, ａ ≠ ０ )の解 ｘ は、ｘ = － ｂ／ ａ と表せる。
２．二次方程式
ａx2 + ｂｘ + ｃ = ０ (ａ ≠ ０)
この方程式の解は、２つの解、ｘ1，ｘ2を持っている。
また、２つの解の和と積は、
ｘ1＋ｘ2＝－ｂ／ａ
ｘ1・ｘ2＝ｃ／ａ
となる。
３．三次方程式
ａｘ3 ＋ ｂｘ2 ＋ ｃｘ ＋ ｄ ＝ ０ (ａ ≠ ０)
この両辺を ａ で割り、３Ａ＝ｂ／ａ ３Ｂ＝ｃ／ａ Ｃ＝ｄ／ａ とおけば、一般に、三次方程式は、次のように表示できる。
ｘ3 ＋ ３Ａｘ2 ＋ ３Ｂｘ ＋ Ｃ ＝ ０
ここで、ｘ＝ｚ－Ａ とおけば、ｘ2の項が消去され、
ｚ3 － ３(Ａ2－Ｂ)ｚ ＋ (２Ａ3－３ＡＢ＋Ｃ) ＝ ０
となり、
ｚ3 － ３ｐｚ ＋ ２ｑ ＝ ０
の根を求めれば良い。三次方程式は、３根 ｚ1，ｚ2，ｚ3 を持ち、
(ｑ2－ｐ3)の正負によって、次式で求められる。但し、
ｐ＝Ａ2＋Ｂ
ｑ＝Ａ3－Ａ(３Ｂ／２)＋Ｃ／２
この方程式の３根は、
ｚ1＝ｕ＋ｖ
ｚ2＝ω1ｕ＋ω2ｖ
ｚ3＝ω2ｕ＋ω1ｖ
となる。ここに、ｕ、ｖは、
ｕ＝ 3√(－ｑ＋√(ｑ2＋ｐ3))
ｖ＝ 3√(－ｑ－√(ｑ2＋ｐ3))
であり、ω1、ω2は、１つの共役虚立方根、
ω1＝－(１／２)(１＋ｉ√３)
ω2＝－(１／２)(１－ｉ√３)
を持つ。そして、もとの方程式の係数が実数であるならば、
① (ｑ2－ｐ3)＞０ の場合、１個の実根と２個の共役な虚根を持つ。
② (ｑ2－ｐ3)＝０ の場合、３個の実根を持ち、その中の２個は相等しい。
③ (ｑ2－ｐ3)＜０ の場合、３個の実根を持つが、複素数の立方根を取り扱う。
この場合の解は、次の通りである。いま、
cosｕ＝ｑ／（ｐ√(－ｐ)）、 ０＜ｕ＜１８０°
とすれば、３根は、
ｚ1＝２√(－ｐ)・cos(ｕ／３)
ｚ2＝２√(－ｐ)・cos(ｕ／３＋１２０°)
ｚ3＝２√(－ｐ)・cos(ｕ／３＋２４０°)
となる。
４．四次方程式
ａｘ4 + ｂｘ3 + ｃｘ2 + ｄｘ + ｅ ＝ ０ (ａ ≠ ０)
一般に、四次方程式は、
ｚ4 + ａｚ3 + ｂｚ2 + ｃｚ + ｄ ＝ ０
と表示できる。そして、ｚ＝ｘ－ａ／４、と置くことで、三次の項の無い形、
ｘ4 + ｐｘ2 + ｑｘ + ｒ ＝ ０
に直すことができる。この場合、三次方程式、
ｙ3 ＋ ２ｐｙ2 ＋ (ｐ2－４ｒ)ｙ＋ｑ2 ＝ ０
の３根を、ｙ1、ｙ2、ｙ3 とする時、この四次方程式の根は、
ｘ1＝(１／２)(√(ｙ1＋√(ｙ2＋√(ｙ3))
ｘ2＝(１／２)(√(ｙ1－√(ｙ2－√(ｙ3))
ｘ3＝(１／２)(－√(ｙ1＋√(ｙ2－√(ｙ3))
ｘ4＝(１／２)(－√(ｙ1－√(ｙ2＋√(ｙ3))
と表示される。
５．高次方程式
五次以上の代数方程式は「代数的に解けない」ことが知られている(アーベル-ルフィニの定理)。この場合、数値解法によって解くことは可能である。
以上
（２０１３年３月２４日）
戻る
|