－関数とグラフ－
１．直交座標(直角座標)と極座標
座標：平面上の一点Ｐの位置を定めるためには、平面上に２本の相交わる直線を引き、交点から、それぞれの直線に平行に測定して、その距離ｘおよびｙを与える。 このｘおよびｙはＰ点の座標と呼ひ、Ｐ(ｘ，ｙ)と表記する。また、２本の直線を座標軸(ｘ軸およびｙ軸)、交点を座標の原点という。一般には、この座標軸が直交する直交座標系(直角座標系)が用いられる。
極座標：直交座標系(直角座標系)の代わりに、極座標(ｒ．θ)を用いることもある。ｒは定点(極あるいは原点)からＰ点までの距離(動径)、θは線分ＯＰと定点Ｏを通る定直線(原線)とのなす角(偏角)である。 直交座標系(直角座標系)との間には、次の関係がある。
２．関数
関数：関数とは、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のこと。
いま、２つの変数ｘとｙがあり、ｘに対してｙの値を決定する規則（ｘに特定の値を代入すると、ｙの値が確定）が与えられている時、変数ｙは、ｘを独立変数とする関数、あるいは簡単にｘの関数という。
その対応規則を明示する時は、
ｙ＝ｆ(ｘ)
と記述する。一般に、記号ｆは関数・functionの頭文字を用いる。
３．変数と定数
変数：変数とは、未知あるいは不定の数や対象を表す文字記号のこと。特別な値をとることがあらかじめ期待されている場合、未知数とも呼ばれる。
定数に対する言葉と解され、値が変化するものとみなされる。
定数：数学上の定数とは、変数に対して、値の変らない数のこと。一般に、その実体は実数または複素数となるが、必ずしもその値が具体的に特定される必要はない。
４．１次式（比例式）と１次関数
１次式（比例式）：ｙ＝ａｘ＋ｂ （ａ．ｂは定数、ａ≠０）
変数ｙが変数ｘの１次式で表される時、ｙをｘの１次関数という。
この１次式は変数ｘに１つの値を与えた時、それに対応する変数ｙがどのように定まるかを具体的に示した規則とみなすことができる。
このような対応の規則を関数と呼び、ｙはｘの関数であるともいう。そして、このｘは独立変数、ｙは従属変数と呼ばれる。
ｙ＝ｘ
ｙ＝－ｘ
ｙ＝３ｘ＋２
ｙ＝－２ｘ＋５
５．分数式（反比例式）と分数関数
分数式（反比例式）：ｙ＝ａ／ｘ（ｘ≠０），ｙ＝ａ／（ｘ－ｐ）＋ｑ（ｘ≠ｐ）
分数関数とも呼ばれ、変数ｘの分数式で表され、グラフは原点に対称で直角双曲線となる。
一般に、ある関数のグラフ上の点Ｐが原点から遠ざかるに従って、１つの直線に限りなく近づく時、この直線をこのグラフの漸近線という。
ｙ＝ａ／ｘ
（ａ＞０，ｘ≠０）
ｙ＝ａ／ｘ
（ａ＜０，ｘ≠０）
ｙ＝ａ／（ｘ－ｐ）＋ｑ
（ｘ≠ｐ）
ｙ＝１／（ｘ－２）＋３ → ｙ＝（３ｘ－５）／（ｘ－２）
６．２次式と２次関数
２次式：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ （ａ．ｂ．ｃは定数、ａ≠０）
２次式で表される関数を２次関数という。
ｙ＝ａｘ２ （ａ≠０）
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）２ （ａ≠０）
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）２＋ｑ （ａ≠０）
ｙ＝ｘ２
ｙ＝２ｘ２
ｙ＝（１／２）ｘ２
ｙ＝－ｘ２
ｙ＝－２ｘ２
ｙ＝－（１／２）ｘ２
ｙ＝(ｘ＋５)２
ｙ＝(ｘ＋５)２＋６
ｙ＝(ｘ＋５)２－６
ｙ＝－(ｘ－５)２＋６
一般に、２次関数、
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）２＋ｑ
のグラフは、ｙ＝ａｘ２ のグラフをｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑだけ平行移動した放物線である。
軸は直線ｘ＝ｐ、頂点は点（ｐ，ｑ）、ａ＞０の時は下に凸、ａ＜０の時は上に凸で描かれる。
また、２次関数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃは、変形すると、
ｙ＝ａ｛ｘ２＋（ｂ／ａ）ｘ＋（ｂ／２ａ）２－（ｂ／２ａ）２｝＋ｃ
＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）２－（ｂ２－４ａｃ）／４ａ
となる。したがって、２次関数、
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
のグラフは、ｙ＝ａｘ２ のグラフをｘ軸方向に－ｂ／２ａ、ｙ軸方向に（ｂ２－４ａｃ）／４ａだけ平行移動した放物線となる。
軸は直線ｘ＝－ｂ／２ａ、頂点は点｛－ｂ／２ａ，（ｂ２－４ａｃ）／４ａ｝である。
２次関数は、必ずｙ＝ａ（ｘ－ｐ）２＋ｑの形の式に変えることができ、これを２次関数の標準形という。
２次関数と２次方程式：２次関数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）のグラフにおいて、ｘ軸との共有点、つまりｘ座標は、ｙ＝０を満たすｘの値である。
すなわち、
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０）
この等式はｘの２次方程式と呼ばれる。
ｘの２次関数、
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）２－（ｂ２－４ａｃ）／４ａ
のグラフがｘ軸と共有点を持つ（交差もしくは接触する）のは、
ａ＞０でｂ／２ａ≧０ ならば、 －（ｂ２－４ａｃ）／４ａ≧０
ａ＜０でｂ／２ａ＜０ ならば、 －（ｂ２－４ａｃ）／４ａ≦０
の場合であり、ともにｂ２－４ａｃ≧０の時である。この場合にｘ軸との共有点のｘ座標は、２次方程式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０の解となる。
したがって、
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）２－（ｂ２－４ａｃ）／４ａ＝０
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）２＝（ｂ２－４ａｃ）／４ａ
（ｘ＋ｂ／２ａ）２＝（ｂ２－４ａｃ）／４ａ２
これから、
ｘ＋ｂ／２ａ＝±√（ｂ２－４ａｃ）／２ａ
∴ ｘ＝｛－ｂ±√（ｂ２－４ａｃ）｝／２ａ
となる。これを２次方程式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式という。
２次方程式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０は２つの解ｘ１．ｘ２を持ち、
もしｂ２－４ａｃ＞０ならば解は実数で異なり、
もしｂ２－４ａｃ＝０ならば解は実数で等しく、
もしｂ２－４ａｃ＜０ならば解は共役複素数となる。
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
以上
（２０１３年３月２４日）