☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
円・楕円・双曲線・放物線

－円・楕円・双曲線・放物線－


１．円
　円は、定点を円の中心とする時、定点から同じ距離にある点の軌跡である。
　円上の２点を結ぶ直線で、円の中心を通るものは直径と呼ばれる。
　円の中心と円上の１点を結ぶ直線は半径と呼ばれる。
　円上の点全体は円の円周と呼ばれ、円周は円の面積を囲む。
　円の中心が、座標の原点にあれば、半径ｒの円の方程式は、次式で表示される。
ｘ2＋ｙ2＝ｒ2
または、
ｘ2
ｒ2
 ＋
ｙ2
ｒ2
 ＝１
　円の中心の座標が(ｘm，ｙm)で、半径ｒの円の方程式は、次式で表示される。
(ｘ－ｘm)2＋(ｙ－ｙm)2＝ｒ2
または、
(ｘ－ｘm)2
ｒ2
＋
(ｙ－ｙm)2
ｒ2
＝１


２．楕円(長円)
　楕円(長円)は、２つの定点Ｆ1Ｆ2(焦点)に至る距離の和が等しい点の軌跡である。
　この２つの定点の中点は、楕円の中心である。
　楕円の中心が座標系の原点(０，０)にある場合、楕円の中心方程式は次式で表示される。
ｘ2
ａ2
＋
ｙ2
ｂ2
＝１
　いま、直線Ｆ1Ｆ2をｘ軸に、線分Ｆ1Ｆ2の垂直二等分線をｙ軸にとれば、Ｆ1とＦ2の座標は、ｃ＞０とすると、焦点の座標は、それぞれ、
Ｆ1(－ｃ，０)，　Ｆ2(ｃ，０)
となる。楕円は、ｘ軸、ｙ軸のいずれに関しても対称であり、楕円の中心(原点)に対しても対称である。
　また、ｘ軸を、
Ａ1(－ａ，０)，　Ａ2(ａ，０)
で切り、ｙ軸を、
Ｂ1(０，－ｂ)，　Ｂ2(０，ｂ)
で切る。
　点Ａ1Ａ2と点Ｂ1Ｂ2を頂点と呼び、Ａ1Ａ2を長軸、点Ｂ1Ｂ2を短軸という。これらは総称して主軸と呼ばれる。

　ここで、楕円の中心方程式を求めてみよう。いま、楕円の軌跡の条件に適する点Ｐ(ｘ，ｙ)を考えると、
√{(ｘ＋ｃ)2＋ｙ2}＋√{(ｘ－ｃ)2＋ｙ2}＝２ａ
よって、
√{(ｘ＋ｃ)2＋ｙ2}－√{(ｘ－ｃ)2＋ｙ2}＝(２ｃ／ａ)ｘ
　これらの辺々を加えて２で割ると、
√{(ｘ＋ｃ)2＋ｙ2}＝ａ＋(ｃ／ａ)ｘ
　両辺を２乗して整理すれば、
(ａ2－ｃ2)ｘ2
ａ2
 ＋ｙ2 ＝ａ2－ｃ2
ところが。ｃ＜ａであるから、
ａ2－ｃ2＝ｂ2　(ｂ＞０)
とおけば、つぎの楕円の中心方程式を得る。
ｘ2
ａ2
＋
ｙ2
ｂ2
＝１

　なお、任意の点(ｘm，ｙm)を中心とする時、楕円の方程式は次式で表示される。
(ｘ－ｘm)2
ａ2
＋
(ｙ－ｙm)2
ｂ2
＝１


３．双曲線
　双曲線は、２つの定点Ｆ1Ｆ2(焦点)に至る距離の差が等しい点の軌跡である。
　この２つの定点の中点は、双曲線の中心である。
　双曲線の中心が座標系の原点(０，０)にある場合、双曲線の中心方程式は次式で表示される。
ｘ2
ａ2
－
ｙ2
ｂ2
＝１
　いま、直線Ｆ1Ｆ2をｘ軸に、線分Ｆ1Ｆ2の垂直二等分線をｙ軸にとれば、Ｆ1とＦ2の座標は、ｃ＞０とすると、焦点の座標は、それぞれ、
Ｆ1(－ｃ，０)，　Ｆ2(ｃ，０)
となる。双曲線は、ｘ軸、ｙ軸のいずれに関しても対称であり、双曲線の中心(原点)に対しても対称である。
　また、ｘ軸を、
Ａ1(－ａ，０)，　Ａ2(ａ，０)
で切り、ｙ軸とは、交わらない。
　点Ａ1とＡ2とを頂点と呼び、Ａ1Ａ2を切軸、 Ａ1Ａ2軸の垂直二等分線を共役軸という。これらは総称して主軸と呼ばれる。
　ここで、双曲線の中心方程式を求めてみよう。いま、双曲線の軌跡の条件に適する点Ｐ(ｘ，ｙ)を考えると、
√{(ｘ＋ｃ)2＋ｙ2}－√{(ｘ－ｃ)2＋ｙ2}＝±２ａ
よって、
√{(ｘ＋ｃ)2＋ｙ2}＋√{(ｘ－ｃ)2＋ｙ2}＝±(２ｃ／ａ)ｘ
　これらの辺々を加えて２で割ると、
√{(ｘ＋ｃ)2＋ｙ2}＝±{ａ＋(ｃ／ａ)ｘ}
　両辺を２乗して整理すれば、
(ｃ2－ａ2)ｘ2
ａ2
 －ｙ2 ＝ｃ2－ａ2
ところが。ｃ＞ａであるから、
ｃ2－ａ2＝ｂ2　(ｂ＞０)
とおけば、つぎの双曲線の中心方程式を得る。
ｘ2
ａ2
 －
ｙ2
ｂ2
 ＝１

　なお、任意の点(ｘm，ｙm)を中心とする時、双曲線の方程式は次式で表示される。
(ｘ－ｘm)2
ａ2
－
(ｙ－ｙm)2
ｂ2
＝１


４．放物線
　放物線は、一つの定点(焦点)、一つの定直線(準線)とから等しい距離にある点の軌跡である。 焦点Ｆと準線ｌからの距離はパラメータｐで示され、放物線の標準方程式は、次式で表示される。
ｙ2＝２ｐｘ

　この方程式は、頂点方程式と呼ばれ、この放物線の頂点は、準線に最も近い点となり、座標系の原点になる。 つまり、この放物線は、焦点Ｆ(ｐ／２，０)を持ち、準線は方程式ｘ＝－ｐ／２を持っている。

　放物線の頂点方程式は、頂点を原点にとる場合、軸の向きによって、次の方程式を得る。

　① 放物線の軸がｙ軸で、上に開く場合、
焦点：　Ｆ(０，ｐ／２)
頂点方程式：　ｘ2＝２ｐｙ
準線の方程式：　ｙ＝－ｐ／２

　② 放物線の軸がｙ軸で、下に開く場合、
焦点：　Ｆ(０，－ｐ／２)
頂点方程式：　ｘ2＝－２ｐｙ
準線の方程式：　ｙ＝ｐ／２

　③ 放物線の軸がｘ軸で、右に開く場合。
焦点：　Ｆ(ｐ／２，０)
頂点方程式：　ｙ2＝２ｐｘ
準線の方程式：　ｘ＝－ｐ／２

　④ 放物線の軸がｘ軸で、左に開く場合、
焦点：　Ｆ(－ｐ／２，０)
頂点方程式：　ｙ2＝－２ｐｘ
準線の方程式：　ｘ＝ｐ／２

　放物線の頂点が座標の原点ではなく、座標Ｓ(ａ，ｂ)を原点とする時、

　⑤ 放物線の軸がｙ軸に平行で、上に開く場合。
焦点：　Ｆ(ａ，ｂ＋ｐ／２)
頂点方程式：　(ｘ－ａ)2＝２ｐ(ｙ－ｂ)
準線の方程式：　ｙ＝ｂ－ｐ／２

　⑥ 放物線の軸がｙ軸に平行で、下に開く場合。
焦点：　Ｆ(ａ，ｂ－ｐ／２)
頂点方程式：　(ｘ－ａ)2＝－２ｐ(ｙ－ｂ)
準線の方程式：　ｙ＝ｂ＋ｐ／２

　⑦ 放物線の軸がｘ軸に平行で、右に開く場合。
焦点：　Ｆ(ａ＋ｐ／２，ｂ)
頂点方程式：　(ｙ－ｂ)2＝２ｐ(ｘ－ａ)
準線の方程式：　ｘ＝ａ－ｐ／２

　⑧ 放物線の軸がｘ軸に平行で、左に開く場合。
焦点：　Ｆ(ａ－ｐ／２，ｂ)
頂点方程式：　(ｙ－ｂ)2＝－２ｐ(ｘ－ａ)
準線の方程式：　ｘ＝ａ＋ｐ／２



以上　　

（２０１３年３月２４日）


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