☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
オイラーの公式
−オイラーの公式−
１．複素平面
複素数は、実数部と虚数部からなる。虚数単位はｉ＝√(−１)、そのべき指数を考えると、
ｉ2＝−１， ｉ3＝−ｉ， ｉ4＝１，・・・
となる。つまり、虚数単位ｉは、自分自身を四回掛けると実数単位の１に戻り、ｉ⇒−１⇒−ｉ⇒１⇒ｉ⇒・・・を循環する。
そこで、複素数の実数部と虚数部を、横軸に実数の実軸、縦軸に虚数の虚軸に取ると、実軸と虚軸で定義される座標平面が得られる。これは複素平面あるいはガウス平面と呼ばれる。
実軸をｘ，虚軸をｙで表示すれば、複素数Ｚは、
Ｚ＝ｘ＋ｉｙ
となる。これは、平面直交座標系(ｘ，ｙ)と極座標系(ｒ，θ)が、
ｘ＝ｒcosθ， ｙ＝ｒsinθ
なる関係にある。したがって、複素数Ｚは、
Ｚ＝ｒ(cosθ＋ｉsinθ)
で表示することができる。これが複素平面の極座標形式である。
２．オイラーの公式
複素平面の極座標形式において、複素数Ｚの三角関数を級数展開すと、
| cosθ＋ｉsinθ＝１＋ｉθ− |
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θ2− |
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ｉθ3＋ |
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θ4＋ |
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ｉθ5＋・・・ |
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となる。ここで、虚数単位の取り扱いに注意して変形し、総和の記号で表示すると、
| １＋ｉθ＋ |
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(ｉθ)2＋ |
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(ｉθ)3＋ |
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(ｉθ)4＋ |
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(ｉθ)5＋・・・ |
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これは、指数関数を級数展開した定義式、
| ＝ |
１＋ｘ＋ |
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ｘ2＋ |
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ｘ3＋ |
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ｘ4＋ |
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ｘ5＋・・・ |
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において、形式的にｘ⇒ｉθに置き換えたものと同じになる。よって、
ｅiθ＝cosθ＋ｉsinθ
を得る。これはオイラーの公式と呼ばれる。ここで、このオイラーの公式に、θ＝πを代入すると、
ｅiπ＝cosπ＋ｉsinπ＝−１
となる。これは、自然対数の底ネイピア数(e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …)と円周率(π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …)と虚数単位(ｉ＝√(−１))を結びつける見事な関係式である。
オイラーの公式の導出(展開を用いない場合)
関数Ａ(x)が次式で与えられているとする。
Ａ(x)＝cosθ＋ｉsinθ
この時、関数Ａ(x)が指数関数であれば、指数法則から、
Ａ(x)Ａ(y)＝Ａ(x+y)
が成立する。ここで、Ａ(x)の導関数を求めると、
|
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＝ |
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(cosｘ＋ｉsinｘ)＝−sinｘ＋ｉcosｘ＝ｉ(cosｘ＋ｉsinｘ) |
となり、次の微分方程式を得る。
この方程式を解くと、
Ａ(x)＝Ｋｅix， (Ｋは定数)
ここで、
Ａ(0)＝cos０＋ｉsin０＝１
であるから、Ｋ＝１となり、次のオイラーの公式を得る。
ｅiθ＝cosθ＋ｉsinθ
三角関数と指数関数の関係式
オイラーの公式は、
ｅiθ＝cosθ＋ｉsinθ
これを、θ＝−θで置き換えると、
ｅ-iθ＝cos(−θ)＋ｉsin(−θ)＝cosθ−ｉsinθ
となる。この正と負の指数を持つオイラーの公式について、辺々加えて、整理すると
ｅiθ＝cosθ＋ｉsinθ
＋） ｅ-iθ＝cosθ−ｉsinθ
ｅiθ＋ｅ-iθ＝２cosθ
となり、次式が求まる。
同様にして、sinθ，tanθも指数関数ｅ±iθで表示することが可能になる。
オイラーの公式の行列表現
以上
（２０１３年３月２４日）
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