☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
ベクトルとマトリクス(行列)
－ベクトルとマトリクス(行列)－
それぞれの大きさだけを表すただ１つの数値の量は、スカラーまたはスカラー量と呼ばれる。例えば、線分の長さ、２直線間の角度、三角形の面積、などはスカラーまたはスカラー量である。
また、物理学上の物質の質量、時間、温度などは、それらを測る単位を指定すれば、それぞれの大きさを表すただ１つの数値で表現され、スカラーまたはスカラー量となる。
これに対して、幾何学上の有向(向きを持つ)線分、平行移動などは、その大きさを表す数値だけでなく、その向きを指定しなければ、その性質を完全に表現することができない。
物理学上では、速度、加速度、力など、その大きさを表す数値と向きを指定しなければ、完全に表現することができない。
これらは、スカラーまたはスカラー量と異なるしかるべき演算規則に従わなければならない。数値と向きを伴うこれらの量は、ベクトルまたはベクトル量と呼ばれる。
マトリクス(行列)とは、行と列に要素(成分)を持つ量のことである。ベクトルもマトリクスの仲間、一列しかないマトリクス、あるいは一行しかないマトリクスのことである。
したがって、一列しかないマトリクスは列ベクトル、一行しかないマトリクスは行ベクトルとも呼ばれる。また、要素(成分)が一つしかないベクトル(あるいはマトリクス)は、スカラーと呼ばれている。
マトリクスもベクトルも複数の数値を表したもの、重要なのは、マトリクスとベクトル、あるいはマトリクスとマトリクスの演算則にある。
そこには、一般の代数学で用いる演算則と異なるルールに基づく、合理的な規則性が存在する。そのルールと規則性を正しく理解することで、
複雑な仕組みや現象を単なる連立方程式に置き換えることができ、数学的な手法を自然現象や社会現象を解読することに用いることも可能になる。
１．ベクトル
空間に２つの点、ＰとＱがある時、ＰからＱに至る有向線分をベクトルという。ベクトルはＰからＱに至る矢印を持つ線分で表し、点Ｐをベクトルの始点、点Ｑをベクトルの終点という。
また、一般に、ベクトルは、ａ，ｂ，ｕ，ｖなど、太文字で表記される。
ベクトルｖを３次元座標で考えると、その始点と終点には、座標Ｐ(ｘ1，ｙ1，ｚ1)と座標Ｑ(ｘ2，ｙ2，ｚ2)が与えられる。
そして、その長さは、∣ｖ∣と表記され、座標系に関する次の成分を持ち、
ｖx＝ｘ2－ｘ1， ｖy＝ｙ2－ｙ1， ｖz＝ｚ2－ｚ1
ピタゴラスの定理から、次式が得られる。
∣ｖ∣＝√(ｖx2＋ｖy2＋ｖz2)
もしも、２つのベクトルｕ，ｖが等しければ、
ｕ＝ｖ
異なるならば、
ｕ≠ｖ
と表記する。なお、長さが１のベクトルは単位ベクトルと呼ばれる。
ベクトルの和は、２つのベクトルｕ，ｖが与えられた時、ｕの終点にｖの始点を一致させ、
ｕの始点からｖの終点に引いたベクトルｗがベクトルｕとｖの和として定義される。
| ｗ＝ｕ＋ｖ |
 |
ベクトルの差は、ベクトルｕとベクトルｖの逆向きベクトル(－ｖ)との和を意味し、ｗ＝ｕ＋(－ｖ)＝ｕ－ｖとして定義される。
| ｗ＝ｕ＋(－ｖ)＝ｕ－ｖ |
 |
また、ベクトルの加法は、交換則と結合則が成立する。すなわち、ベクトル和ｗは、ベクトルｖの終点にｕの始点を一致させ、
ｖの始点からｕの終点に引いたベクトルとも等しく一致する。このことから、次のベクトル和の交換則が得られる。
| ｕ＋ｖ＝ｖ＋ｕ |
 |
同様に、ベクトルｕ．ｖ，ｗを考えると、次の結合則も成立する。
| ｕ＋ｖ＋ｗ＝(ｕ＋ｖ)＋ｗ＝ｕ＋(ｖ＋ｗ) |
 |
なお、零ベクトル０を考えると、任意のベクトルｕに対して、
ｕ＋０＝０＋ｕ＝ｕ
が成立する。つまり、零ベクトル０は、次のように定義でき、
０＝ｕ－ｕ
すべての要素(成分)が０で、向きを持たないベクトルとも言える。
さらに、ベクトルの和から、
ｕ＋ｕ＝２ｕ
である。この場合、スカラーａを用いて、ａ＝２、ｕ＋ｕ＝ａｕとなる。スカラーａは任意の定数であり、スカラーとベクトルの関係は、次の配分則と結合則が成立する。
(ａ＋ｂ)ｕ＝ａｕ＋ｂｕ
ａ(ｕ＋ｖ)＝ａｕ＋ａｖ
ａ(ｂｕ)＝(ａｂ)ｕ
ベクトル算法の計算規則
| 交換則 | ｕ＋ｖ＝ｖ＋ｕ |
| 結合則 | ｕ＋ｖ＋ｗ＝(ｕ＋ｖ)＋ｗ＝ｕ＋(ｖ＋ｗ) |
| 配分則 | (ａ＋ｂ)ｕ＝ａｕ＋ｂｕ |
| 配分則 | ａ(ｕ＋ｖ)＝ａｕ＋ａｖ |
| 結合則 | ａ(ｂｕ)＝(ａｂ)ｕ |
ベクトルの内積と外積
向きの異なる２つのベクトルとベクトルとの掛け算はできない。そこで、ベクトルの向きを考慮してベクトルの掛け算（積）ができるようにした計算規則が考えられた。それがベクトルの内積と外積である。
ベクトルの内積
ベクトルの内積は、スカラー積とも呼ばれ、その定義式は、同じ始点を持つ２つのベクトルｕとｖとのなす角θとすると、次式で与えられる。
ｕ・ｖ＝∣ｕ∣∣ｖ∣ cosθ
| ｕ・ｖ＝∣ｕ∣∣ｖ∣ cosθ |
 |
すなわち、ベクトルｖの成分が、ベクトルｕの向きと同じ方向にある時、その絶対値の掛け算(積)として、ベクトルの内積(スカラー積)が表示される。
したがって、ベクトルの内積、つまりスカラー積の値は、実数(スカラー)となる。
ベクトルの内積(スカラー積)は、交換法則が成り立ち、ベクトルの和に対して分配法則が成立する。
ｕ・ｖ＝ｖ・ｕ
ｕ・(ｖ＋ｗ)＝ｕ・ｖ＋ｕ・ｗ
内積(スカラー積)の成分表示
２次元平面ベクトルの場合、
ｕ＝(ｕx，ｕy)， ｖ＝(ｖx，ｖy)
ｕ・ｖ＝ｕxｖx＋ｕyｖy
３次元平面ベクトルの場合、
ｕ＝(ｕx，ｕy，ｕz)， ｖ＝(ｖx，ｖy，ｖz)
ｕ・ｖ＝ｕxｖx＋ｕyｖy＋ｕzｖz
ベクトルの外積
ベクトルの外積は、ベクトル積とも呼ばれ、その定義式は、同じ始点を持つ２つのベクトルｕとｖとのなす角θとすると、次式で与えられる。
ｗ＝ｕ×ｖ
∣ｗ∣＝∣ｕ×ｖ∣＝∣ｕ∣∣ｖ∣ sinθ
ｗ＝ｕ×ｖ
∣ｗ∣＝∣ｕ×ｖ∣＝∣ｕ∣∣ｖ∣ sinθ |
 |
すなわち、ベクトルの外積(ベクトル積)は、２つのベクトルｕとｖが作る面積がベクトルの大きさとなり、その面積に垂直な向きを持つベクトルｗで与えられる。
この場合、ベクトルの外積(ベクトル積)は、右手座標系が用いられている。
右手座標系とは、ベクトルｕとｖで構成するｘ－ｙ平面を、右手の親指と人差指に対応付け、薬指にベクトルｗの向きを与え、ｚ軸とする直交座標系が用いられる。
したがって、ベクトルの外積(ベクトル積)は、交換法則が成立せずに、次式が成立する。
ｕ×ｖ＝－(ｖ×ｕ)
一方、外積(ベクトル積)において、ベクトルの和に対しては、分配法則が成立する。
ｕ×(ｖ＋ｗ)＝(ｕ×ｖ)＋(ｕ×ｗ)
(ｕ＋ｖ)×ｗ＝(ｕ×ｗ)＋(ｖ×ｗ)
特に、一般的に、外積(ベクトル積)は、
ｕ×(ｖ×ｗ)≠(ｕ×ｖ)×ｗ
であることに注意すべきである。
外積(ベクトル積)の成分表示
ｕ＝(ｕx，ｕy，ｕz)， ｖ＝(ｖx，ｖy，ｖz)
ｕ×ｖ＝(ｕyｖz－ｕzｖx，ｕzｖx－ｕxｖz，ｕxｖy－ｕyｖx)
２．マトリックス
マトリクス(行列)は、横と縦にｍｎ個の要素(成分)を配列したもの、要素(成分)ａijは元とも呼ばれ、実数、複素数、あるいはそれらを変数とする関数のどれでもよい。
ｍｎ個の元ａij (i=1,2,3,･･･,m， j=1,2,3,･･･,n)は、次の形に配列され、ｍｎ次の行列と呼ばれており、太大文字Ａで代表され、次式で表示される。
| Ａ＝[Ａij]＝ |
 | ａ11 | ａ12 | ・・・ | ａ1n |  |
| ａ21 | ａ22 | ・・・ | ａ2n |
| | ・・・ | ・・・ | |
| ａm1 | ａm2 | ・・・ | ａmn |
|
マトリクス(行列)は、正方の時もあれば、矩形の時もある。また、行列が１行、あるいは１列の時は、ベクトルと呼ばれ、行ベクトル、あるいは列ベクトルを構成する。
マトリクス(行列)Ａの行と列を入れ替えたマトリクス(行列)は、転置行列と呼ばれ、ＡTと表示する。
| ＡT＝ |
| ａ11 | ａ21 | ・・・ | ａm1 | |
| ａ12 | ａ22 | ・・・ | ａn2 |
| | ・・・ | ・・・ | |
| ａ1n | ａ2n | ・・・ | ａmn |
|
マトリクス(行列)の計算
行列の和と差は、対応する位置の数の加減となる。したがって、行数と列数が同じ行列同士でなければ、足し算、引き算ができない。
マトリクス(行列)が２行２列の場合の計算事例
| ａ11 | ａ12 | |
| ａ21 | ａ22 |
|
＋ |
| ｂ11 | ｂ12 | |
| ｂ21 | ｂ22 |
|
＝ |
| ａ11＋ｂ11 | ａ12＋ｂ12 | |
| ａ21＋ｂ21 | ａ22＋ｂ22 |
|
| ａ11 | ａ12 | |
| ａ21 | ａ22 |
|
－ |
| ｂ11 | ｂ12 | |
| ｂ21 | ｂ22 |
|
＝ |
| ａ11－ｂ11 | ａ12＋ｂ12 | |
| ａ21－ｂ21 | ａ22＋ｂ22 |
|
| α |
| ａ11 | ａ12 | |
| ａ21 | ａ22 |
|
＝ |
| α ａ11 | α ａ12 | |
| α ａ21 | α ａ22 |
|
| ａ11 | ａ12 | |
| ａ21 | ａ22 |
|
× |
| ｂ11 | ｂ12 | |
| ｂ21 | ｂ22 |
|
＝ |
| ａ11ｂ11＋ａ12ｂ21 | ａ11ｂ12＋ａ12ｂ22 | |
| ａ21ｂ11＋ａ22ｂ21 | ａ21ｂ12＋ａ22ｂ22 |
|
| ａ11 | ａ12 | ａ13 | |
| ａ21 | ａ22 | ａ23 |
|
× |
| ｂ11 | ｂ12 | |
| ｂ21 | ｂ22 |
| ｂ31 | ｂ32 |
|
＝ |
| ａ11ｂ11＋ａ12ｂ21＋ａ13ｂ31 | | ａ11ｂ12＋ａ12ｂ22＋ａ13ｂ32 | |
| ａ21ｂ11＋ａ22ｂ21＋ａ22ｂ21 | | ａ21ｂ12＋ａ22ｂ22＋ａ23ｂ31 |
|
マトリクス(行列)算法の計算規則
| 交換則 | Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ |
| 結合則 | Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ＝Ａ＋(Ｂ＋Ｃ) |
| 配分則 | (ａ＋ｂ)Ａ＝ａＡ＋ｂＡ |
| 配分則 | ａ(Ａ＋Ｂ)＝ａＡ＋ａＢ |
| 結合則 | ａ(ｂＡ)＝(ａｂ)Ａ |
| 積の交換則 | ＡＢ≠ＢＡ(行列の積は不可換) |
| 積の結合則 | ＡＢＣ＝(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ) |
| 積の結合則 | Ａ(Ｂ＋Ｃ)＝ＡＢ＋ＡＣ) |
| 積の結合則 | (Ａ＋Ｂ)Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣ |
行列のべぎ乗 Ａ1＝Ａ， Ａ2＝ＡＡ， Ａ3＝Ａ2Ａ，・・・
単位行列とゼロ行列
正方行列Ａの主対角線上の上側と下側の要素(成分)のすべてが０の時、すなわちｊ≠ｋならばａjk＝０である時、正方行列Ａは対角行列と呼ばれる。
この対角行列の主対角線上の要素(成分)のすべてが１の時、これを単位行列Ｉという。また、すべての要素(成分)が０の時、これをゼロ行列０という。
| Ｉ＝ |
| １ | ０ | ０ | |
| ０ | １ | ０ |
| ０ | ０ | １ |
|
|
０＝ |
| ０ | ０ | ０ | |
| ０ | ０ | ０ |
| ０ | ０ | ０ |
|
単位行列とゼロ行列は、任意の正方行列Ａに対して、次の計算規則が成立する。
| ゼロ行列の計算規則 | Ａ＋０＝０＋Ａ＝Ａ |
| ゼロ行列の計算規則 | Ａ＋(－Ａ)＝(－Ａ)＋Ａ＝Ａ－Ａ＝０ |
| ゼロ行列の計算規則 | ０Ａ＝Ａ０＝０ |
| 単位行列の計算規則 | ＩＡ＝ＡＩ＝Ｉ |
| 単位行列の計算規則 | Ａ0＝Ｉ |
逆行列と正則行列
正方行列Ａに対して、ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉとなるような正方行列Ｂが存在する時、ＢをＡの逆行列と呼び、Ａ-1で表示する。
この時、正方行列Ａは正則であるとされ、Ａを正則行列という。つまり、正則行列とは、逆行列が存在する行列のことである。
ｎ次の正則行列は、次の計算規則が成立する。
| 正則行列の計算規則 | ∣Ａ-1∣＝∣Ａ∣-1 |
| 正則行列の計算規則 | (Ａ-1)-1＝Ａ |
| 正則行列の計算規則 | (ＡＢ)-1＝Ａ-1Ｂ-1 |
正方行列と行列式
行の数と列の数が等しい行列、つまり、ｎ＝ｍの行列をｎ次の正方行列と呼び、ｎはその次数である。行列式は、ｎ次の正方行列Ａに対して、
| detＡ＝∣Ａ∣＝ |
 | ａ11 | ａ12 | ・・・ | ａ1n | |
| ａ21 | ａ22 | ・・・ | ａ2n |
| | ・・・ | ・・・ | |
| ａn1 | ａn2 | ・・・ | ａnn |
|
と記述する。この場合、２次の行列式は、文字記号を変更して表示すると、
| ａ1 | ｂ1 | |
| ａ2 | ｂ2 |
|
＝ａ1ｂ2－ａ2ｂ1 |
と展開される。３次の行列式の場合は、下記のように展開される。
展開の方法は、下図のように、実線上の元(要素、成分)、ａ1ｂ2ｃ3、ａ2ｂ3ｃ1、ａ3ｂ1ｃ2
には＋の符号を付与し、破線上の元(要素、成分)、ａ1ｂ3ｃ2、ａ2ｂ1ｃ3、ａ3ｂ2ｃ1
には－の符号を付与する。
| ａ1 | ｂ1 | ｃ1 | |
| ａ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｃ3 |
|
＝ａ1ｂ2ｃ3＋ａ2ｂ3ｃ1＋ａ3ｂ1ｃ2－ａ1ｂ3ｃ2－ａ2ｂ1ｃ3－ａ3ｂ2ｃ1 |
行列式の展開
行列式において、１つの要素を含む行と列を除いた残りの要素で作った行列式はその要素の小行列式という。
また、サイズｎ×ｎの正方行列Ａにおいて、第ｉ行と第ｊ列の成分をすべて０で置き換え、
ただし第 (i,j) 成分だけは１で置き換えて得られる行列の行列式|Ａ|の第(i,j)余因子という。
この場合、余因子は、第ｉ行と第ｊ列を消去して得られるサイズ(ｎ－１)×(ｎ－１)の行列の行列式に(－１)i+jを掛けたものに等しい。
行列式|Ａ|は、余因子を使用して、展開することができる。例えば、３次の行列式を余因子展開すると、
|
ａ1 | ｂ1 | ｃ1 |
|
| ａ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｃ3 |
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＝ａ1 |
|
ｂ2 | ｃ2 |
|
| ｂ3 | ｃ3 |
|
－ｂ1 |
|
ａ2 | ｃ2 |
|
| ａ3 | ｃ3 |
|
＋ｃ1 |
|
ａ2 | ｂ2 |
|
| ａ3 | ｂ3 |
|
＝ａ1ｂ2ｃ3＋ａ2ｂ3ｃ1＋ａ3ｂ1ｃ2－ａ1ｂ3ｃ2－ａ2ｂ1ｃ3－ａ3ｂ2ｃ1
となる。
連立１次方程式のマトリクス(行列)表示と行列式
連立１次方程式はマトリクス(行列)を用いて表示することができる。また、その解は行列式で与えられる。２元１次の連立方程式の場合、
 |
ａ1ｘ1＋ｂ1ｘ2＝ｙ1 |
| ａ2ｘ1＋ｂ2ｘ2＝ｙ2 |
|
であり、その解は、ａ1ｂ2－ａ2ｂ1≠０ならば、すなわち不能や不定でなければ、行列式で表示すると、
となる。３元１次の連立方程式の場合は、
|
ａ1ｘ1＋ｂ1ｘ2＋ｃ1ｘ3＝ｙ1 |
| ａ2ｘ1＋ｂ2ｘ2＋ｃ2ｘ3＝ｙ2 |
| ａ3ｘ1＋ｂ3ｘ2＋ｃ3ｘ3＝ｙ3 |
|
| ａ1 | ｂ1 | ｃ1 | |
| ａ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｃ3 |
|
| ｘ1 |  |
| ｘ2 |
| ｘ3 |
|
＝ |
| ｙ1 | |
| ｙ2 |
| ｙ3 |
|
となり、その解は、それが不能や不定でなければ、
| ｘ1＝ |
| ｙ1 | ｂ1 | ｃ1 | |
| ｙ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ｙ3 | ｂ3 | ｃ3 |
|
 |
| ａ1 | ｂ1 | ｃ1 | |
| ａ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｃ3 |
|
| ｘ2＝ |
| ａ1 | ｙ1 | ｃ1 | |
| ａ2 | ｙ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｙ3 | ｃ3 |
|
|
| ａ1 | ｂ1 | ｃ1 | |
| ａ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｃ3 |
|
| ｘ3＝ |
| ａ1 | ｂ1 | ｙ1 | |
| ａ2 | ｂ2 | ｙ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｙ3 |
|
|
| ａ1 | ｂ1 | ｃ1 | |
| ａ2 | ｂ2 | ｃ2 |
| ａ3 | ｂ3 | ｃ3 |
|
|
|
で与えられる。いずれにしても、連立１次方程式は、マトリクス(行列)表示を用いて、
Ａｘ＝ｙ
となる。ここで、Ａは、連立１次方程式の係数をマトリクス(行列)表示したものであり、ｘは未知数となる１列の列ベクトルである。ｙは定数項を意味する１列の列ベクトルである。
連立１次方程式の解法(ガウスの消去法、掃き出し法)
最初に、具体的な数値事例に基づき、次の３元連立１次方程式Ａｘ＝ｙについて、ガウスの消去法、すなわち掃き出し法を使って解いてみる。
ガウスの消去法(掃き出し法)とは、ある式を何倍かして、他の式から引く等の処理を施して、１つの式に含まれる変数の数を減らしながら解く方法である。
与えられた３元連立１次方程式は、
|
２ｘ1－ ｘ2＋２ｘ3＝ ２ |
| ｘ1＋１０ｘ2－３ｘ3＝ ５ |
| －ｘ1＋ ｘ2＋ ｘ3＝－３ |
とする。これは次のようにマトリクス(行列)で表示される。
|
２ | －１ | ２ |
|
| １ | １０ | －３ |
| －１ | １ | １ |
|
|
ｘ1 |
|
| ｘ2 |
| ｘ3 |
|
＝ |
|
２ |
|
| ５ |
| －３ |
|
この方程式の解は、マトリクス(行列)表示で、次のようになる。
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１ | ０ | ０ |
|
| ０ | １ | ０ |
| ０ | ０ | １ |
|
|
ｘ1 |
|
| ｘ2 |
| ｘ3 |
|
＝ |
|
２ |
|
| ０ |
| －１ |
|
ｘ1＝２， ｘ2＝０， ｘ3＝－１
次に、掃き出し法の具体的な手順を示す。最初に、方程式の左辺の係数と右辺の定数項について、次のような拡張されたマトリクス(行列)で表示する。
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２ | －１ | ２ | ２ |
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| １ | １０ | －３ | ５ |
| －１ | １ | １ | －３ |
① 連立方程式は行を入れ替えても影響はない。そこで、１行１列目を１(単位数)にするため、１行目を２行目と入れ替える。つまり、１番目の式と２番目の式を入れ替える。
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１ | １０ | －３ | ５ |
|
| ２ | －１ | ２ | ２ |
| －１ | １ | １ | －３ |
② １行目の２倍を２行目から引く。
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１ | １０ | －３ | ５ |
|
| ０ | －２１ | ８ | －８ |
| －１ | １ | １ | －３ |
③ １行目を３行目に加える。
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１ | １０ | －３ | ５ |
|
| ０ | －２１ | ８ | －８ |
| ０ | １１ | －２ | ２ |
④ ３行目の２倍を２行目に加える。
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１ | １０ | －３ | ５ |
|
| ０ | １ | ４ | －４ |
| ０ | １１ | －２ | ２ |
⑤ ２行目の１１倍を３行目から引く。
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１ | １０ | －３ | ５ |
|
| ０ | １ | ４ | －４ |
| ０ | ０ | －４６ | ４６ |
⑥ ３行目を－４６で割る。
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１ | １０ | －３ | ５ |
|
| ０ | １ | ４ | －４ |
| ０ | ０ | １ | －１ |
⑦ ２行目の１０倍を１行目から引く。
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１ | ０ | －４３ | ４５ |
|
| ０ | １ | ４ | －４ |
| ０ | ０ | １ | －１ |
⑧ ３行目の４３倍を１行目に加える。
|
１ | ０ | ０ | ２ |
|
| ０ | １ | ４ | －４ |
| ０ | ０ | １ | －１ |
⑨ ３行目の４倍を２行目から引く。
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１ | ０ | ０ | ２ |
|
| ０ | １ | ０ | ０ |
| ０ | ０ | １ | －１ |
⑩ 以上、４列目が与えられた方程式の解になる。
以上
（２０１３年３月２４日）
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