☆☆☆数学の基礎概念☆☆☆
数列と級数

－数列と級数－


１．数列と級数
　数列とは、ａ1，ａ2，ａ3，・・・の形のもので、ａはある一定の規則に従って並んでいる数のことである。ここで、数ａnは、この数列の一般項といわれている。 数列は、有限個の項を持つか、無限個の項を持つかにより、有限数列と無限数列に区別される。数列が作られる規則は、計算すべき項の個数を表す、文字ｎを用いて、計算の規則が表示される。 例えば、自然数も数列であり、奇数や偶数も数列である。次の公式は、代表的な数列の事例である。

公式１．
ａn＝１／ｎ　(ｎ＝１，２，３，・・・)
数列：１，１／２，１／３，１／４，１／５，・・・，１／２n，・・・

公式２．
ａn＝１／２n　(ｎ＝１，２，３，・・・)
数列：１／２，１／４，１／８，１／１６，・・・，１／ｎ，・・・

公式３．
ａn＝１＋２ｎ　(ｎ＝１，２，３，・・・)
数列：３，５，７，９，１１，・・・，１＋２ｎ，・・・

　いま、実数ｒのｎ個の積を指数表記し、ｒnを一般項と見て、ｒ1，ｒ2，ｒ3，・・・，ｒnと並べる。これは指数ｎを添字とする一つの数列である。 ここで、指数ｎはべき数とも呼ばれ、実数ｒは基数あるいは底と呼ばれている。この時、数列の項の数はｎ個、ｎは項の番号でもある。

　さて、１＜ｒならば、ｒn＜ｒn+1、すなわち、
ｒ1＜ｒ2＜ｒ3＜ｒ4＜・・・＜ｒn
が成立する。これは増加数列と呼ばれる。この数列は、どの二項を取っても値が単純に増加して行く。したがって、単調数列ともいう。

　また、０＜ｒ＜１ならば、ｎが大きくなるに従って、積ｒnは減少する。この時、不等号の向きは逆向きｒn＞ｒn+1となる。よって数列は、
ｒ1＞ｒ2＞ｒ3＞ｒ4＞・・・＞ｒn
が成立する。これは減少数列と呼ばれる。この数列は、ｎの増大と共に各項の値は０に近づく。したがって、これも単調数列である。

　次に、定数ｒの無限個の積を考える。これは無限数列である。
lim
n→∞
 ｒn＝ｒ×ｒ×ｒ×ｒ×ｒ×・・・
無限個
項の番号ｎを限りなく大きくすると、第ｎ項の大きさは、
　　① １＜ｒの時、限りなく大きくなる。
　　② ｒ＝１の時、１。
　　③ ｒ＜１の時、０に限りなく近づく。
　　④ ｒ≦－１の時、どのような値にも近づかない。
となる。

　一般に、無限数列ａnにおいて、項の番号ｎを限りなく大きくすると、
　　・ ａnがある有限な値αに近づくならば、極限値αに収束するという。
　　・ ａnが次第に大きくなるならば、正の無限大に発散する。
　　・ また、－ａnの場合は、負の無限大に発散する。
　　・ これらのどちらでもないならば、極限は存在しない。あるいは発散するという。

　さらに、収束する２つの数列を考えた場合、
ｌｉｍ
ｎ→∞
ａn＝α
ｌｉｍ
ｎ→∞
ｂn＝β
この四則計算の規則は、
ｌｉｍ
ｎ→∞
(ａn±ｂn)＝α±β
ｌｉｍ
ｎ→∞
ａnｂn＝αβ
ｌｉｍ
ｎ→∞
(ａn／ｂn)＝α／β
が成立する。ただし、ｂn≠０，β≠０である。


２．級数展開
　級数とは、数列の項を形式的に＋の記号で結んだもので、数列ａ1，ａ2，ａ3，・・・から、
ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn＋・・・
を得る。級数は、総和記号Σを用いて略記できる。

　無限に多くの項の形式的な和は無限級数と呼ばれる。級数がｎ個の項しか持っていない場合は有限級数となる。
ａk＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn
　典型的な事例として、自然数を１から１００までの合計を考える。
ｒ＝１＋２＋３＋・・・＋１００
　この場合、１＋１００＝１０１，２＋９９＝１０１，３＋９８＝１０１，・・・，５０＋５１＝１０１、というように、５０個の１０１が存在する。 すなわち、５０×１０１＝５,０５０が合計となる。これを数式で表現すれば、次式のように、関数で表示できる。
ｒ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ
＝
１
２
ｎ(ｎ＋１) 　　［ｎ＝１００］

　また、代表的な多項式の有限級数として、次に示すような、等差級数、等比級数、等がある。

等差級数
(ａ＋ｋｂ)＝ａ＋(ａ＋ｂ)＋(ａ＋２ｂ)＋・・・＋(ａ＋ｎｂ)
＝
ｎ＋１
２
(２ａ＋ｎｂ)

等比級数
ａｒk＝ａ＋ａｒ＋ａｒ2＋・・・＋ａｒn
＝
ａ(１－ｒn+1)
１－ｒ
＝
ａ(ｒn+1－１)
ｒ－１
　　［ｒ≠１］

(ａ＋ｋｂ)ｒk＝ａ＋(ａ＋ｂ)ｒ＋(ａ＋２ｂ)ｒ2＋ ・・・＋(ａ＋ｎｂ)ｒn
＝
ａ－(ａ＋ｎｂ)ｒn+1
１－ｒ
＋
ｂｒ(１－ｒn)
(１－ｒ)2
　　［ｒ≠１］
注)ｒ＝１の時、等差級数になる。



３．自然数の級数展開・べき和
ｒk＝１k＋２k＋３k＋・・・＋ｎk
ｋ １k＋２k＋３k＋・・・＋ｎk
１
１
２
ｎ(ｎ＋１)
２
１
６
ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)
３
１
４
ｎ2(ｎ＋１)2
４
１
３０
ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)(３ｎ2＋３ｎ－１)
５
１
１２
ｎ2(ｎ＋１)2(２ｎ2＋２ｎ－１)
６
１
４２
ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)(３ｎ4＋６ｎ3－３ｎ＋１)
７
１
２４
ｎ2(ｎ＋１)2(３ｎ4＋６ｎ3－ｎ2－４ｎ＋２)

(－１)r-1ｒk＝１k－２k＋３k－＋・・・＋(－１)n-1ｎk
ｋ １k－２k＋３k－＋・・・＋(－１)n-1ｎk
１
(１／２)(ｎ＋１)　［ｎ：奇数］
－(１／２)ｎ　［ｎ：偶数］
２
(－１)n-1
１
２
ｎ(ｎ＋１)
３
(１／４)(２ｎ－１)(ｎ＋１)2　［ｎ：奇数］
－(１／４)ｎ2(２ｎ＋３)　［ｎ：偶数］
４
(－１)n-1
１
２
ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)(ｎ2＋ｎ－１)

(２ｒ－１)k＝１k＋３k＋５k＋・・・＋(２ｎ－１)k
ｋ １k＋３k＋５k＋・・・＋(２ｎ－１)k
１ ｎ2
２
１
３
ｎ(４ｎ2－１)
３
ｎ2(２ｎ2－１)


４．べき級数
　べき級数は次のような形をとる。
ａkｘk＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａkｘk＋・・・
ａk(ｘ－ｃ)k＝ａ0＋ａ1(ｘ－ｃ)＋ａ2(ｘ－ｃ)2＋・・＋ａk(ｘ－ｃ)k＋・・
　ここで、ａ0，ａ1，ａ2，・・・，ａk，・・・は定数(複素数)、ｃは１つの複素数、ｘは変数である。 この場合、ｘ－ｃのべき級数に対して、この級数は点ｃを中心としたべき級数と呼ばれる。また、このべき級数に対して、次の事実が成立する。
  • このべき級数に対して、定数Ｒ(０≦Ｒ≦∞)が定まり、∣ｘ－ｃ∣＜Ｒを満足するすべてのｘに対して、べき級数は絶対収束する。 また、∣ｘ－ｃ∣＞Ｒを満足する任意のｘに対して、べき級数は発散する。なお、このような定数Ｒはべき級数の収束半径と呼ばれ、円∣ｘ－ｃ∣＜Ｒをべき級数の収束円という。 特に、Ｒ＝０の時はべき級数は点ｘ＝ｃだけで収束し、Ｒ＝∞の時はべき級数はすべてのｘに対して絶対収束する。
  • 収束半径ＲがＲ＞０を満たす時、べき級数はその収束円の内部で、項別に微分、積分ができる。すなわち、収束円の内部でべき級数の和ｆ(ｘ)から、微分すれば次のｆ(ｘ)'が得られる。
    ｆ(ｘ) ＝ａ0＋ａ1(ｘ－ｃ)＋ａ2(ｘ－ｃ)2＋・・＋ａk(ｘ－ｃ)k＋・・
    ｆ(ｘ)'＝[ａ0]'＋[ａ1(ｘ－ｃ)]'＋[ａ2(ｘ－ｃ)2]'＋・・＋[ａk(ｘ－ｃ)k]'＋・・
    ＝ａ1＋２ａ2(ｘ－ｃ)＋・・＋ｋａk(ｘ－ｃ)k-1＋・・
    また、収束円の内部にある任意の曲線Ｃについて、積分すれば、次式が成立する。
    ｆ(ｘ)dｘ ＝ａ0dｘ＋ａ1(ｘ－ｃ)dｘ＋ａ2(ｘ－ｃ)2dｘ＋・・＋ａk(ｘ－ｃ)kdｘ＋・・
  • 収束半径Ｒとすれば、次の極限が存在する。
    １／Ｒ＝ ∣ｂn+1／ｂn∣
    １／Ｒ＝ n√(∣ｂn∣)
(簡単な事例)
ｘk＝１＋ｘ＋ｘ2＋・・・＋ｘk＋・・・
　このべき級数の場合、収束半径Ｒ＝１である。また、収束円∣ｘ∣＜１内で、この級数の和は１／(１－ｘ)となる。


５．テイラー展開
　与えられた関数について、級数展開ができるかどうかを考える。いま、関数ｆ(ｘ)は領域Ｄ内で正則関数であるとする。正則関数とは、複素関数（複素数を変数とし、複素数に値をもつ関数）の内、定義域（対象領域）の全ての点で、微分可能な関数のことである。 そして、領域Ｄ内の任意な１点ｘ＝ａを中心として、この領域Ｄ内にある最大の円の半径Ｒとする時、関数ｆ(ｘ)は、この円の内部∣ｘ－ａ∣＜Ｒにおいて、次のようなべき級数に展開できる。
ｆ(ｘ)＝ｆ(ａ)＋
ｆ(ａ)'
１！
 (ｘ－ａ)＋
ｆ(ａ)''
２！
 (ｘ－ａ)2＋・・・＋
ｆ(ａ)n
ｎ！
 (ｘ－ａ)n＋・・・
　このべき級数は、関数ｆ(ｘ)のａを中心とするテーラー展開と呼ばれている。特に、ａ＝０としたものは、マクローリン展開と呼ばれている。
ｆ(ｘ)＝ｆ(０)＋
ｆ(０)'
１！
 ｘ＋
ｆ(０)''
２！
 ｘ2＋・・・＋
ｆ(０)n
ｎ！
 ｘn＋・・・
　代表的な関数のマクローリン展開を次に示す。
１
１－ｘ
 ＝１＋ｘ＋ｘ2＋・・・＋ｘn＋・・・
ｅx＝１＋ｘ＋
１
２！
 ｘ2＋
１
３！
 ｘ3＋・・・＋
１
ｎ！
 ｘn＋・・・
sinｘ＝ｘ－
１
３！
 ｘ3＋
１
５！
 ｘ5－＋・・・＋(－１)n
１
(２ｎ＋１)！
 ｘ2n+1＋・・・
cosｘ＝１－
１
２！
 ｘ2＋
１
４！
 ｘ4－＋・・・＋(－１)n
１
(２ｎ)！
 ｘ2n＋・・・



５．フーリエ級数
　フーリエ級数は三角関数を用いて周期関数を展開する。特に、任意の周期性を持つ時間関数は三角関数の無限級数の和として表すことができる。
Ｆ(t)＝ａ0＋ａ1cosωｔ＋ａ2cos２ωｔ＋・・・＋ａncosｎωｔ
＋ｂ1sinωｔ＋ｂ2sin２ωｔ＋・・・＋ｂnsinｎωｔ
＝ａ0＋ (ａncosｎωｔ＋ｂnsinｎωｔ)
　ここで、ωは角周波数(rad/sec)と呼ばれ、周波数ｆ(1/sec:Hz)との間に、ω＝２πｆの関係がある。つまり、時間関数は周期関数(周波数関数)に変換できる。 この時、展開係数のａ1，・・・，ａnおよびｂ1，・・・，ｂnは波の振幅の周波数成分に相当する。 なお、ａ0は周波数０成分、すなわち直流の周波数成分となる。

展開係数(振幅の周波数成分)の求め方
  1. 最初に、直流の周波数成分ａ0を求める。波の成分のcos波およびsin波は、１周期(０～２π)を捉えると、その面積が０になる。どんなに複雑な波でも、その波のそれぞれの周期Ｔ＝２π／ω＝１／ｆ(周波数の逆数)について、 １周期(０～２π)分の面積で捉えれば、最終的に、直流の周波数成分ａ0と周期Ｔとの積だけが面積として残る。 つまり、この面積を周期Ｔで割れば、直流の周波数成分ａ0となる。結果的に、展開係数ａ0は、関数Ｆ(t)の周期Ｔにわたる平均を意味する。
    ａ0＝
    １
    Ｔ
    		 Ｆ(t)dｔ
  2. 次に、ａnおよびｂnを求める。波の成分のcos波およびsin波は、同じ周波数の波を掛け算した時以外はすべて面積が０になる。 したがって、ａ1を求める場合、Ｆ(t)にcosωｔを掛け、得られた面積をＴ／２で割る。 他のａnおよびｂnも同様に求まる。
    ａn＝
    ２
    Ｔ
    		 Ｆ(t)cosωｔdｔ
    ｂn＝
    ２
    Ｔ
    		 Ｆ(t)sinωｔdｔ


矩形波のフーリエ級数展開
　矩形波をフーリエ級数に展開する。フーリエ級数は周期２πの周期関数で表現できる。 そこで、時間関数Ｆ(t)を周期関数ｆ(x)で表現し、矩形波も周期２πに設定する。
　したがって、矩形波関数は次式（nは整数）で表示される。
ｆ(x)＝ １　　　０＜ｘ≦π
－１　　　π＜ｘ≦２π
　なお、全領域での矩形波関数は次式（nは整数）のようになる。
ｆ(x)＝ 　１　　　２ｎπ＜ｘ≦(２ｎ＋１)π
－１　　　(２ｎ－１)π＜ｘ≦２ｎπ
　次に、この矩形波関数をフーリエ級数で表した時の、フーリエ係数 ａ0，ａn，ｂn を求める。 そこで、フーリエ係数 ａ0は、周期関数ｆ(x)を用いて、次のように置き換える。
ａ0＝
１
π
 ｆ(x)dｘ
　また、矩形波は、０＜ｘ≦π、π＜ｘ≦２π、で値が違う。そこで、積分する時、２つに分けて計算する。
ａ0＝
１
π
 １dｘ＋
１
π
 －１dｘ
＝
１
π
 ｘ －
１
π
 ｘ ＝０
　結果的に、a0はゼロになる。本来、a0は、その関数の１周期における平均のようなイメージであり、１と－１に振れる矩形波の場合、a0がゼロになるのは当然ともいえる。

　次に、anを求める。anは、cos関数の係数であり、次式から計算する。
ａn＝
１
π
 ｆ(x)cos(ｎｘ)dｘ
　ここでも、積分する時、０＜ｘ≦π、π＜ｘ≦２π、２つに分けて計算する。
ａn＝
１
π
 １・cos(ｎｘ)dｘ＋
１
π
 －１・cos(ｎｘ)dｘ
＝
１
π
１
ｎ
 sin(ｎｘ) －
１
π
１
ｎ
 sin(ｎｘ) ＝０－０＝０
　最後は、ｂnを求める。ｂnは、sin関数の係数であり、次式から計算する。
ｂn＝
１
π
 ｆ(x)sin(ｎｘ)dｘ
ｂn＝
１
π
 １・sin(ｎｘ)dｘ＋
１
π
 －１・sin(ｎｘ)dｘ
＝－
１
π
１
ｎ
 cos(ｎｘ) ＋
１
π
１
ｎ
 cos(ｎｘ)
＝－
１
ｎπ
 cos(ｎπ)－１ ＋
１
ｎπ
 １－cos(ｎπ)
＝
２
ｎπ
 －
２
ｎπ
 cos(ｎπ)
　この場合、cos(ｎπ)は，nが奇数ならば「－１」であり、nが偶数ならば「１」になる。 つまり、ｎが偶数か奇数かで，上式は、「４/ｎπ」になるか「０」になるかが決まる。

　求めたいｂnは、sin関数の係数であり、フーリエ係数は偶数でゼロ、奇数だけが残ればよい。つまり、
ｆ(x)＝ａ0＋ (ａncosｎｘ＋ｂnsinｎｘ)
において、各フーリエ係数は、「ａ0＝０」，「ａn＝０」，「ｂn＝ ４/(２n－１)π」であり、sin関数の奇数のみを残すと、 次式が得られる。
ｆ(x)＝ (４/π){１/(２n－１)}sin{(２ｎ－１)ｘ}
＝ (４/π){sin(ｘ)＋(１/３)sin(３ｘ)＋(１/５)sin(５ｘ)＋(１/７)sin(７ｘ)＋・・・}
　なお、全体にかかっている「4/π」は，単に矩形波の「高さ」を決めているだけを意味する。



６．ウエーブレット解析
　ウエーブレットとは、三角関数や対数関数のような特定の決まった関数ではなく、局在する波を表す様々な関数の総称である。 ウエーブ(wave)は波、レット(lets)は小さなの複合語であり、時間と周波数の小さなさざ波のことをいう。


以上　　

（２０１３年３月２４日）


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