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高校サークルで出された報告集一覧・２００７年

2007年7月31日（火）～8月1日（水）　第47回全道数学教育研究大会：小樽市立色内小学校

０１	坂のある街・小樽	・	石黒正行	小樽北照高校	三角比・ｔａｎθの導入として、坂の勾配を生徒に調査させた。小樽は「坂の街」至る所に急な坂がある。どうしてそのような街が形成されたか、地理的・歴史的に解明、それぞれの坂を取り上げて一種の観光案内としての報告。
０２	不動点を求める授業	・	加藤渾一	岩見沢西高校	ずらして重ねられた二枚の合同な長方形を一回の回転でぴったり重ね直すにはどうしたらよいか。この問題を考えさせながら、ランダムドットパターンの重ね合わせ、レギュラードットパターンの重ね合わせを楽しませた。
０３	数学で見る世界の姿～日本の人口の将来を予測する～	・	増島高敬	自由の森学園	1865年から60年毎、3年分の人口資料から、将来の人口を予測させる問題。線形、二次形、指数形と生徒の問題意識に合わせて展開。さらに、渡来人による人口増加など歴史にも及ぶ。
０４	数学のメガネで現実の世界を読み解く～タコ箱漁オーナー確率　～	見る	清水貞人	札幌新川高校	タコ箱オーナー団体枠に新川高校数学科がはいる。わずかの情報から、この投資の損得を１，２学年全員に考えさせた実践。これがHBCに取り上げられ、ＴＶ放映された。
０５	蛸箱問題（再）	・	渡邊　勝	立命館慶祥高校	上記清水実践で問題になった二項分布の確率を推定する問題を尤度関数の最大値を求めることで解決。蛸箱漁の確率・統計問題について授業書の骨子を提示。
０６	いろいろな無理数	見る	真鍋和弘	札幌篠路高校	√2が無理数であることを平方剰余を使って証明する方法。ｌｏｇ２、ｅ、πがが無理数である証明、未だ証明されていない数も紹介。
０７	暗算で何曜日かわかる ”カレンダーの数学”	見る	木村尚士	留萌高校	右手の指の節を使って、任意の年月日の曜日をたちどころに計算してしまう「魔術」。合同式の計算も含む。授業案。
０８	自然数のｋ乗和１^ｋ＋２^ｋ＋３^ｋ＋・・・＋ｎ^ｋ	見る	成田　収	静内高校	平方和から立方和を積分を使って求める方法。その発展。ベルヌーイ数、関孝和の垜積術によるベルヌーイ数の求め方を紹介。
０９	積分法	・	澤尻知徳	札幌星園高	速さと時間から移動距離を求める。その際グラフの面積が移動距離を表すことを使って、積分を丁寧に導入した授業書
１０	(ａ＋ｂ)^３、ａ^３＋ｂ^３、ａ^３－ｂ^３　の三次元モデル	・	須田道春	平取高校	（たて、よこ、たかさ）が（ａ，ａ，ａ－ｂ）、（ｂ，ａ，ｂ）、（ｂ，ａ－ｂ，ｂ）の三立体を作って積み重ねて、ａ^３－ｂ^３＝(ａ－ｂ）（ａ^２＋ａｂ＋ｂ^２）を美事に示したなど。
１１	社会に優しい数学	・	熊谷英則	札幌真栄高校	根室高校三年生対象、二進法と点字の授業書
１２	数学（数楽）通信の発行について	・	熊谷英則	札幌真栄高校	根室高校で、「楽・ｍａｔｈ」と名付けた教科通信を発行して、学習の動機付けに有効であった実践の紹介。特に障害者へ優しい目を向けている。

7月7日（土）7月例会　北海道大学理学部8号館3階302教室

０１	タコ箱漁オーナーと確率	・	清水貞人	札幌新川高校	タコ箱その後の展開の報告。108箱のタコ箱はすでに3回引き上げられ、各回の漁獲数は7,7,4だった。5から20%の確率のうたい文句は正確だったのか、はたして、新川高校のタコ箱にタコが入る日は来るのかが興味の対象に。清水先生は翌日のオーナー見学会（4回目のタコ箱引き上げ）に参加するため、中座し留萌へ。確率の壁を越えて、タコをひきあげることができる？
０２	石取りゲームの必勝法と数	・	北原	北大院生	石が積まれている三つの山から、2人で石を取っていくゲーム。最後の石をとった方が勝ち。一度に1つの山からのみ1個以上任意個の石を取ることができる。このゲームに必勝法はあるのか、が問題。このゲームの解析から、意外な展開で数学そのものが顔を出す。帰納法と群論が絡み合って美しい物語が語られる。1968年に出版された、一松信の「石取りゲームの数理」に紹介されている、三山崩しの理論の紹介。
０３	いろいろな無理数	・	真鍋和弘	札幌篠路高校	高校の教科書には√2 が無理数であることにはふれているが、πやeが無理数だとは書いてあっても、その証明にはふれていない。log₁₀2 が無理数であることなどは簡単であるにもかかわらず記述されていない。そこで、πやeが無理数であることなどを高校生にも分かるように示した報告。これらが証明された後でも、未だ無理数であることの証明が知られていない数がたくさん待ち受けていることが分かる報告、チャレンジ精神をかき立てられる。
０４	「1/nを折る」「1/2のかたち」「整角四角形(langlayの問題)」	・	加藤渾一	岩見沢西高校	折り紙を折ることによって数学をする美しい世界の報告。特に、1/nを折りだすメカニズムは初等的でかつ帰納的なため1を知ると10まで分かるようになっている。そのシステムの中心が中点だというのですから驚き。「1/2のかたち」「整角四角形」も、前回の報告から、かなりの前進があったという報告。
０５	ベクトルの内積風　P の倍数判定法	・	木村尚士	留萌高校	ある数が素数Pの倍数かどうかを判定するユニークな方法の紹介。特に、7と13について深く考察されています。この判定法の奥には、整数の秘密が隠されていることを暗示するワクワクする報告。
０６	CからPへ	・	澤尻知徳	札幌星園高	組み合わせ論の計算では順列より組み合わせのが基本的ではないか、それならば、導入の際も、はじめに組み合わせ(C)を教えて、次に順列(P)を教えるのが良いのではないか。しかし、組み合わせは概念自身は単純でも計算方法の導入に工夫がいる。その方法の紹介。 10人の人の中から、3人の選手と1人の補欠を選ぶ方法に着目。3人組を選んでから補欠を残り7人の中から選んで付け加える10C3×7 と考える方法と、補欠を含む4人組を選んでからその4人中から1人補欠を選ぶ10C4×4と考える方法が等しいと考えると 10C4×4＝10C3×7より 10C4＝7/410C3がわかり、帰納的に 10C4＝7/4×8/3×9/2×10/1 がわかるというもの
０７	PもCもいらない順列組合せ	・	西谷　優	函館遺愛高校	5人から3人を選ぶ組み合わせの方法は、5人を選ばれる組A組にはいる3人と選ばれない組B組にはいる2人に分ける方法と考える。これを[3,2]と表す。計算方法は　(3+2)!/(3!・2!) 5人から3人を選んで並べる方法は、１番目のA組に選ばれる1人と2番目のB組に選ばれる1人と3番目のC組に選ばれる1人と、選ばれないD組に選ばれる 2人に分ける方法と考える。これを、[1,1,1,2]と表す。計算方法は(1+1+1+2)!/(1!・1!・1!・2!)である。こう考えると、PもCもいらず、すべてを統一した考え方でとらえることができるという報告です。この記号（西谷の記号）で2項定理や多項定理を記述するととても単純になります。 (a+b)３=[3,0]a3b0+[2,1]a2b1+[1,2]a1b2+[0,3]a0b3 多項定理を含めても (a+b+c)n＝Σ[i,j,k]aibjck （i+j+k=nとなるすべての組(i,j,k)を動く和）と表すことができます。
０８	自然数のk乗和（	・	成田　収	静内高校	k乗和を表す関数Sk(n)はk-r次の係数がベルヌーイ数Bkを使ってk+1Cr Brとあらわされるnのk+1次の多項式であることから、生徒は簡単にSk(n)を知ることができる。つまり、 (k+1)(1k+2k+3k+…+nk)=k+1C0 B0nk+1+k+1C1 B1nk+…+k+1Ck Bkn であることを知る。

5月9日（土）-10日（日）　６月例会　北海道清水高等学校（清水町北2条西2丁目、JR十勝清水駅下車徒歩20分）

０１	余弦定理説明器	・	清水貞人	札幌新川高校	岩手県の下町先生が考案した教具の紹介。教具でパッと見せたあとで等積変換または数式による証明をすると効果的に使える。
０２	無限級数＜オイラーの挑戦＞	・	眞鍋和弘	札幌篠路高校	オイラーの挑戦には夢がある。無限級数をもっと早い段階（例えば中学生）で取り上げることを提案。最近、付いたあだ名は「オイラー」。
０３	大学入試と大学院入試	・	長谷川貢	清水高校	受験生である息子の受験勉強に付き合っていて発見した、大学入試問題と大学院入試問題に共通する話題の紹介。
０４	タコ箱オーナーと確率	・	清水貞人	札幌新川高校	５千円を支払ってタコ箱のオーナーになることの損得を数学的に判断し、ＨＰ上で公開される漁獲状況（統計的確率）を用いて検証する。
０５	蛸箱問題	・	渡邊　勝	立命館慶祥高校	上記レポートの中で問われた「タコが捕獲される確率５～２０％の平均は単純に足して２で割って良いのだろうか」に対する解答。
０６	全国学力・学習状況調査について	・	菊地三郎	小野幌小学校	「新学力観」への反省がないままの導入、明らかにＰＩＳＡを意識した内容への転換、不適当と思われる問題の存在などの問題点を指摘。
０７	ベルヌーイ数	・	成田　収	静内高校	関孝和の括要算法について、高校生が数字を眺めながらベルヌーイ数を推測できるような教材の構想の紹介。

5月12日（土）　　５月例会　　　札幌南高校百周年記念館研修室（札幌市中央区南18条西6丁目）

０１	部分分数分解の指導法	・	佐々布拓	東京理科大院生	部分分数分解の導入
０２	Σ記号のイメージ教具	・	清水貞人	札幌新川高校	ａ１＋ａ２＋ａ３＋・・・＋ａｎを折りたたんだものがΣａｋであるとして、実際に紙を折りたたんで、授業に持ち込んだ実践の紹介。
０３	タコ箱オーナーの期待値	・	清水貞人	札幌新川高校	タコ箱漁オーナー募集を教材にして、タコ１ぱい１万円、確率が５から２０％のとき、５千円で応募するのが、損か徳か判断する仮題を生徒に課した。期待値をどのように算定したらよいかなど。
０４	Twin　 Twelveの解について	・	井上具規	札幌南高校	正五角錐１２個の頂点を一点に集めて、凹正１２面体を作る。その際、構成要素の正五角錐各面を５色で色塗りする。次の条件で、凹正１２面体をつくる。①隣同士同色②３つめを並べるとき他の２体との色が合うようにする。このような凹正１２面体を２組作るのが問題。その解の求め方の紹介。美しい色が魅了。
０５	期待値の計算＜解決編＞	・	真鍋和弘	札幌篠路高校	４０人から無作為に２名の代表を選ぶ。このとき、ｋ君が選ばれる確率は？生徒が直ちに2/40と解答した。標準の解答とは異なるが、値は正しい。この生徒の解答から、新しい定理を発見した実践。
０６	道順＜パスカルと水たまり＞	・	西谷　優	函館遺愛高校	格子状の道路網でＡ地点からＢ地点への経路数を数え上げる問題。教科書などでは、「北行き」、「東行き」二種の重複組み合わせとしているが、パスカルが解いた方法、各交差点に、そこに到場合の数を書き込んで行く方法の紹介。
０７	factorial magic	・	西谷　優	函館遺愛高校	順列Ｐと組み合わせＣの使用で生徒は混乱する、それを避けるために、Ｐ、Ｃを統一的に扱って「組み分け」を基本概念とする実践を継続している。今回もその実践例；生徒のノートが興味を惹く。
０８	バカロレアＳ06年版日本語訳	・	渡邊　勝	立命館慶祥高校	インターネットで公表されている06年バカロレアＳ（理系）問題を和訳して紹介。
０９	大学院のセミナーでの問題	・	石島　悟	静内農業高校	可換環Ｒの特定の要素ｘに対して、ａｘ＝１であるａを”ｕｎｉｔ”という。ただし、ａは実数である。このａの集合をＺ^×とする。これを求めよ、という問題が出席者に提示された。この他に向学心をくすぐる問題が紹介された。

3月10日（土）-11日（日）　3月例会　　ファミリースクールひまわり（夕張市鹿の谷山手町18）

０１	「３」にまつわる話	・	宮原	釧路北陽高校	身の回りには、「日本三景」「三大○○」「光の三原色」「信号機」など３にまつわるものが多い。
０２	方冪の定理	・	宮原	釧路北陽高校	方べきの定理の教え方、名称のことなど。
０３	ホワイトボックスを作ろう	・	清水貞人	札幌新川高校	東京の足立さんが考案した工作用紙を余すことなく用いて作るブラックボックスの作製。
０４	カレンダーの数学	・	木村尚士	留萌高校	暗算で何曜日かわかる “カレンダーの数学”。一人でも多くの方に曜日を求める楽しさを存分に味わってもらいたい。
０５	エルゴート性	・	真鍋和弘	札幌篠路高校	特定の人物が選ばれる確率ほか、エルゴード性（確率の空間的分布と時間的分布とが一致）を用いると分かりやすい問題の紹介。
０６	原始関数と不定積分	・	成田　収	静内高校	一般にその一方が存在しても他方が存在するとは限らない。ボルテラの反例。
０７	ｐ乗平均	・	関口　隆	元札幌南高校	P乗平均を｛(a^ｐ＋ｂ^ｐ）／２｝^1/pと定義すると、相加平均（p=1）、相乗平均（p=0）、調和平均（p=-1）となる。

2007 年２月３日（土）　２月例会　会場札幌星園高校

０１

命題と条件　

・

真鍋和弘

札幌篠路高校

「ｘは素数である」、「ｘ＞１」　これらはｘに値を代入しないと正しいか正しくないかが定まらないから命題でない。（中略）このような文字ｘを含んだ文や式を、ｘに関する条件という。
以上の教科書の記述に疑問を感じた。最近の教科書はこのような誤解を招く表現が多い。
※「論理と集合」は、教科書通りに授業を進めると生徒も教師も面白くない分野。学び甲斐のある楽しい授業プランの開発が必要。

　　　　　　　　０２

指でかけ算九九

。

木村尚士

留萌高校

１月例会のレポート発表（指を使って曜日を求める）の際、かけ算九九を指で行う方法があることを知り調べてみた。
任意の数ｘ、ｙに対して、常に
ｘｙ＝ｐ（ｘ＋ｙ－ｐ）＋（ｘ－ｐ）（ｙ－ｐ）　（ｐは任意定数）
が成り立つことを利用する。ｐ＝１０とすると、
ｘｙ＝１０（ｘ＋ｙ－１０）＋（ｘ－１０）（ｙ－１０）
　　＝１０{（ｘ－５）＋（ｙ－５）}＋（１０－ｘ）（１０－ｙ）
より、
８×９＝１０{（８－５）＋（９－５）}＋（１０－８）（１０－９）
　　　＝１０（３＋４）＋２×１＝７２
※実際に両手の指を折って計算してみて下さい。恒等式の導入でも使えそう。

２００7年１月１２日(金)、１３日(土)　　　　１月例会　札幌市あけぼの旅館にて　

０１	補助線の幾何	・	加藤渾一	岩見沢西高校	テーマ「折り紙の発想で補助線感覚を養おう」。補助線の引き方を「切り取り移動」と「折り返し移動」に区別し、３つの主要な「折り返し」（角の二等分線、辺の垂直二等分線、辺を対称軸）を使って、ラングレーの問題、整角四角形の問題（１０度単位・３００題）の解き方を紹介
０２	面積から積分へ	。	松本弘文	北広島西高校	「理屈はいいから、とにかく解き方を教えて」と要求してくる生徒たちに、積分の考え方をしっかり教えたいと思いクイズなども入れて作ったプリントの紹介。ニュートン、ライプニッツなどを登場させてモノガタリ風にするというアイディアが出された。
０３	「１７番目の不思議」に取り組んで－フィボナッチ数列の楽しさをあじわう－	・	菊地三郎	小野幌小学校	１行目、２行目に０以外の好きな数を書き、その和の１の位の数を３行目に書く。次に、２行目と３行目の和の１の位の数を４行目に書く。以下これを繰り返すと、１７行目に「２行目の数の７倍の１の位の数」が現れる。この不思議さを小学校６年生にフィボナッチ数列の楽しさをあじわってもらいながら解き明かした。レポートではさらに、黄金比やビネーの公式について触れた。
０４	センターテストとバカロレア	・	渡邊　勝	立命館慶祥高校	日本のセンターテストとフランスのバカロレア（大学入学資格試）の違いを比較、バカロレアは記述式で証明問題が多く論証に重きを置いている。現実の問題を解く場面もあり、問題の記述は決して誤解が生まれないような精密な書き方をしていてる。これは日仏の文化の違いなのかもしれないと。
０５	アルキメデスの数学	・	真鍋和弘	札幌篠路高	アルキメデスによる「放物線の求積」を用いると、積分公式を図形的・直感的に理解させることができ生徒の反応も非常に良かった
０６	無限等比級数の図形的理解	・	成田收	静内高校	１２月の冬期研で、未来大学の学生から出された宿題「公比　　　　２／３の無限級数が２に収束することを小学生にも分かるように図形的に説明することはできないか」に対する解答。さらに、一般の無限等比級数についても、多少変則になるものの図形的理解が可能であることを示している。
０７	カレンダーの数学	・	木村尚士	留萌高校	「数学基礎」における実践報告。右手の人差し指の先を元旦として日にちの流れを定めると、元旦が何曜日か分かっている年において、何月何日が何曜日になるかを求めることができる。また、２００１年の元旦が月曜日であることから、この２００１年を左手の人差し指の先に置いて年の流れを定めると、西暦何年の元旦が何曜日かを求めることができる。
０８	聞くことを知らない生徒たち（子供から大人まで）	・	澤尻知徳	札幌星園高校	生徒たちを学校に定着させるために３年前から構成的グループエンカウンターを取り入れているが、困ったことにエンカウンターで不可欠とされている「聞くこと」ができない生徒が多い。原因は、生徒が自分の話をきちんと聞いてもらった体験が無い（モデルの不足）ことや、訓練しなくても「聞くこと」は自然に身に付くという誤解から、これまで日本の教育の中で「聞くこと」が系統的に扱われてこなかったことが考えられること。効果的な「聞く」に必要情報、態度、知識、技能を実感できる授業を組み立て、実際に授業を行い、その効果測定をして修士論文としてまとめる予定
０９	分数計算の感覚を生かして「互いに素」を理解する　　　　割り算とその余りの幾何学	・	西谷優一	遺愛女子高校	アンリ・ポアンカレの言葉「数学とは、異なるものを同じとみなす技術である」が示す通り、数学をできるだけ統一的に理解しようとすると、「互いに素」という概念が「約分」に還元できたり、多項式を２次式で割ったときの余りを直線の式（１次式）とみなせば、行列Ａのｎ乗の計算や、フィボナッチ数列などに応用できる。大学入試問題の背景にこのような「数学の風景」が見えてくると、入試問題も楽しく解けるようになるという期待が持てそう。