高校サークルで出された報告集一覧・2007年

2007年7月31日(火)〜8月1日(水) 第47回全道数学教育研究大会:小樽市立 色内小学校
01
坂のある街・小 樽

石 黒正行
小樽北照高校
三角比・ tanθの導入として、坂の勾配を生徒に調査させた。
小樽は「坂の街」至る所に急な坂がある。どうしてそのような街が形成されたか、地理的・歴史的に解明、それぞれの坂を取り上げて一種の観光案内としての報 告。
02
不動点を求める授業

加藤渾一
岩見沢西高校
ずらして重ねられた二 枚の合同な長方形を一回の回転でぴったり重ね直すにはどうしたらよいか。この問題を考えさせながら、ランダムドットパターンの重ね合わせ、レギュラードッ トパターンの重ね合わせを楽しませた。
03
数学で見る世界の姿
〜日本の人口の将来を予測する〜

増島高敬
自由の森学園
1865年から60年 毎、3年分の人口資料から、将来の人口を予測させる問題。線形、二次形、指数形と生徒の問題意識に合わせて展開。さらに、渡来人による人口増加など歴史に も及ぶ。
04
数学のメガネで現実の 世界を読み解く
〜タコ箱漁オー ナー確率 〜
見る
清 水貞人 札幌新川高校 タコ箱オーナー団体枠 に新川高校数学科がはいる。わずかの情報から、この投資の損得を1,2学年全員に考えさせた実践。
これがHBCに取り上げられ、TV放映された。
05
蛸箱問題(再)

渡邊 勝
立命館慶祥高校
上記清水実践で問題に なった二項分布の確率を推定する問題を尤度関数の最大値を求めることで解決。
蛸箱漁の確率・統計問題について授業書の骨子を提示。
06
いろいろな無理数
見る
真鍋和弘
札幌篠路高校
√2が無理数であるこ とを平方剰余を使って証明する方法。log2、e、πがが無理数である証明、未だ証明されていない数も紹介。
07
暗算で何曜日かわかる
”カレンダーの数学”
見る
木村尚士
留萌高校
右手の指の節を使っ て、任意の年月日の曜日をたちどころに計算してしまう「魔術」。合同式の計算も含む。授業案。
08
自然数のk乗和
+2+3+・・・ +n
見る
成田 収
静内高校
平方和から立方和を積 分を使って求める方法。その発展。ベルヌーイ数、関孝和の垜積術によるベルヌーイ数の求め方を紹介。
09
積分法

澤尻知徳 札幌星園高 速さと時間から移動距 離を求める。その際グラフの面積が移動距離を表すことを使って、積分を丁寧に導入した授業書
10
(a+b)、 a+b、a− b 
の三次元モデル

須田道春
平取高校
(たて、よこ、たか さ)が(a,a,a−b)、(b,a,b)、(b,a−b,b)の三立体を作って積み重ねて、a− b=(a−b)(a+ab+b) を美事に示したなど。
11
社会に優しい数学

熊谷英則
札幌真栄高校
根室高校三年生対象、 二進法と点字の授業書
12
数学(数楽)通信の発 行について

熊谷英則
札幌真栄高校
根室高校で、「楽・ math」と名付けた教科通信を発行して、学習の動機付けに有効であった実践の紹介。特に障害者へ優しい目を向けている。

7月7日(土)7月例会 北海道大学理学部8号館3階302教室



01



タコ箱漁オー ナーと確率







清 水貞人



札幌新川高校
タコ箱 その後の展開の報告。108箱のタコ箱はすでに3回引き上げられ、各回の漁獲数は7,7,4だった。5から20%の確率 のうたい文句は正確だったのか、はたして、新川高校のタコ箱にタコが入る日は来るのかが興味の対象に。清水先生は翌日のオーナー見学会(4回 目のタコ箱引き上げ)に参加するため、中座し留萌へ。確率の壁を越えて、タコをひきあげることができる?



02



石取りゲームの必勝法 と数







北原



北大院生
石が積まれている三つ の山から、2人で石を取っていくゲーム。最後の石をとった方が勝ち。一度に1つの山からのみ1個以上任意個の石を取ることができる。このゲームに必勝法 はあるのか、が問題。このゲームの解析か ら、意外な展開で数学そのものが顔を出す。帰納法と群論が絡み合って美しい物語が語られる。1968年に出版された、一松信の「石取りゲームの数 理」に紹介されている、三山崩しの理論の紹介。



03



いろいろな無理数








真鍋和弘



札幌篠路高校
高校の教科書には√2 が無理数であることにはふれているが、πやeが無理数だとは書いてあっても、その証明にはふれていない。log102 が無理数であることなどは簡単であるにもかかわらず記述されていない。そこで、πやeが無理数であることなどを高校生にも分かるように示した報告。こ れらが証明された後でも、未だ無理数であることの証明が知られていない数がたくさん待ち受けていることが分かる報告、チャレンジ精神をかき立てられる。


04


「1/nを折る」 「1/2のかたち」
「整角四角形(langlayの問題)」





加藤渾一


岩見沢西高校
折り紙を折ることに よって数学をする美しい世界の報告。特に、1/nを折りだすメカニズムは初等的でかつ帰納的なため1を知ると10まで分かるよう になっている。そのシステムの中心が中点だというのですから驚き。「1/2のかたち」「整角四角形」も、前回の報告から、かなりの前進があったとい う報告。


05


ベクトルの内積風 P の倍数判定法





木村尚士


留萌高校
ある数が素数Pの倍数 かどうかを判定するユニークな方法の紹介。特に、7と13について深く考察されています。この判定法の奥には、整数の秘密が隠されていることを暗示するワ クワクする報告。







06







CからPへ















澤尻知徳







札幌星園高
    組み合わせ論の計算では順列より組み合わせのが基本的ではないか、それならば、導入の際も、はじめに組み合わせ(C)を教えて、次に順列(P)を教えるの が良いのではないか。しかし、組み合わせは概念自身は単純でも計算方法の導入に工夫がいる。その方法の紹介。
    10人の人の中から、3人の選手と1人の補欠を選ぶ方法に着目。3人組を選んでから補欠を残り7人の中から選んで付け加える10C3×7 と考える方法と、補欠を含む4人組を選んでからその4人中から1人補欠を選ぶ10C4×4と考える方法が等しいと考えると
    10C4×4=10C3×7より
    10C4=7/410C3がわかり、帰納的に
    10C4=7/4×8/3×9/2×10/1
    がわかるというもの








07








PもCもいらない順列 組合せ

















西谷 優








函館遺愛高校
   5人から3人を選ぶ組み合わせの方法は、5人を選ばれる組A組にはいる3人と選ばれない組B組にはいる2人に分ける方法と考える。これを[3,2]と表 す。計算方法は (3+2)!/(3!・2!)
   5人から3人を選んで並べる方法は、1番目のA組に選ばれる1人と2番目のB組に選ばれる1人と3番目のC組に選ばれる1人と、選ばれないD組に選ばれる 2人に分ける方法と考える。これを、[1,1,1,2]と表す。 計算方法は(1+1+1+2)!/(1!・1!・1!・2!)である。こう考えると、PもCもいらず、すべてを統一した考え方でとらえることができるとい う報告です。
   この記号(西谷の記号)で2項定理や多項定理を記述するととても単純になります。
    (a+b)3=[3,0]a3b0+[2,1]a2b1+[1,2]a1b2+[0,3]a0b3
  多項定理を含めても
    (a+b+c)n=Σ[i,j,k]aibjck
(i+j+k=nとなるすべての組(i,j,k)を動く和) と表すことができます。




08


自然数のk乗和(





成田 収


静内高校
    k乗和を表す関数Sk(n)はk-r次の係数がベルヌーイ数Bkを使ってk+1Cr Brとあらわされるnのk+1次の多項式であることから、生徒は簡単にSk(n)を知ることができる。
    つまり、  (k+1)(1k+2k+3k+…+nk)=k+1C0 B0nk+1+k+1C1 B1nk+…+k+1Ck Bkn    であることを知る。

5月9日(土)-10日(日) 6月例会 北海道清水高等学校(清水町北2条西2丁目、JR十勝清水駅下車徒歩20分)
01
余弦定理説明器
清 水貞人 札幌新川高校 岩手県の下町先 生が考案した教具の紹介。教具でパッと見せたあとで等積変換または数式による証明をすると効果的に使える。
02
無限級数<オイラーの 挑戦>
眞鍋和弘 札幌篠路高校 オイラーの挑戦には夢 がある。無限級数をもっと早い段階(例えば中学生)で取り上げることを提案。最近、付いたあだ名は「オイラー」。
03
大学入試と大学院入試
長谷川貢
清水高校
受験生である息子の受 験勉強に付き合っていて発見した、大学入試問題と大学院入試問題に共通する話題の紹介。
04
タコ箱オーナーと確率
清水貞人 札幌新川高校 5千円を支払ってタコ 箱のオーナーになることの損得を数学的に判断し、HP上で公開される漁獲状況(統計的確率)を用いて検証する。
05
蛸箱問題
渡邊 勝
立命館慶祥高校
上記レポートの中で問 われた「タコが捕獲される確率5〜20%の平均は単純に足して2で割って良いのだろうか」に対する解答。
06
全国学力・学習状況調 査について
菊地三郎
小野幌小学校 「新学力観」への反省 がないままの導入、明らかにPISAを意識した内容への転換、不適当と思われる問題の存在などの問題点を指摘。
07
ベルヌーイ数
成田 収
静内高校
関孝和の括要算法につ いて、高校生が数字を眺めながらベルヌーイ数を推測できるような教材の構想の紹介。

5月12日(土)  5月例会   札幌南高校百周年記念館研修室(札幌市中央区南18条西6丁目)
01
部分分数分解の 指導法
佐 々布拓 東京理科大院生 部分分数分解の 導入
02
Σ記号のイメージ教具
清水貞人 札幌新川高校 a1+a2+a3 +・・・+anを折りたたんだものがΣakであるとして、実際に紙を折りたたんで、授業に持ち込んだ実践の紹介。
03
タコ箱オーナーの期待 値
清水貞人 札幌新川高校 タコ箱漁オーナー募集 を教材にして、タコ1ぱい1万円、確率が5から20%のとき、5千円で応募するのが、損か徳か判断する仮題を生徒に課した。期待値をどのように算定したら よいかなど。
04
Twin  Twelveの解について
井上具規
札幌南高校
正五角錐12個の頂点 を一点に集めて、凹正12面体を作る。
その際、構成要素の正五角錐各面を5色で色塗りする。次の条件で、凹正12面体をつくる。@隣同士同色A3つめを並べるとき他の2体との色が合うようにす る。このような凹正12面体を2組作るのが問題。その解の求め方の紹介。美しい色が魅了。
05
期待値の計算<解決 編>
真鍋和弘
札幌篠路高校
40人から無作為に2 名の代表を選ぶ。このとき、k君が選ばれる確率は?生徒が直ちに2/40と解答した。標準の解答とは異なるが、値は正しい。この生徒の解答から、新しい定 理を発見した実践。
06
道順<パスカルと水た まり>
西谷 優
函館遺愛高校
格子状の道路網でA地 点からB地点への経路数を数え上げる問題。教科書などでは、「北行き」、「東行き」二種の重複組み合わせとしているが、パスカルが解いた方法、各交差点 に、そこに到場合の数を書き込んで行く方法の紹介。
07
factorial magic
西谷 優
函館遺愛高校
順列Pと組み合わせC の使用で生徒は混乱する、それを避けるために、P、Cを統一的に扱って「組み分け」を基本概念とする実践を継続している。今回もその実践例;生徒のノート が興味を惹く。
08
バカロレアS06年版 日 本語訳
渡邊 勝
立命館慶祥高校
インターネットで公表 されている06年バカロレアS(理系)問題を和訳して紹介。
09
大学院のセミナーでの 問題
石島 悟
静内農業高校
可換環Rの特定の要素 xに対して、ax=1であるaを”unit”という。ただし、aは実数である。このaの集合をZ×と する。これを求めよ、という問題が出席者に提示された。この他に向学心をくすぐる問題が紹介された。
3月10日(土)-11日(日) 3月例会  ファミリースクールひまわり(夕張市鹿の谷山手町18)
01
「3」にまつわ る話

宮 原
釧路北陽高校
身の回りには、 「日本三景」「三大○○」「光の三原色」「信号機」
など3にまつわるものが多い。
02
方冪の定理

宮原
釧路北陽高校
方べきの定理の教え 方、名称のことなど。
03
ホワイトボックスを作 ろう

清水貞人
札幌新川高校
東京の足立さんが考案 した工作用紙を余すことなく用いて作るブラックボックスの作製。
04
カレンダーの数学

木村尚士
留萌高校
暗算で何曜日かわかる “カレンダーの数学”。一人でも多くの方に曜日を求める楽しさを存分に味わってもらいたい。
05
エルゴート性

真鍋和弘
札幌篠路高校
特定の人物が選ばれる 確率ほか、エルゴード性(確率の空間的分布と時間的分布とが一致)を用いると分かりやすい問題の紹介。
06
原始関数と不定積分

成田 収
静内高校
一般にその一方が存在 しても他方が存在するとは限らない。ボルテラの反例。
07
p乗平均

関口 隆
元札幌南高校
P乗平均を{(a+ b)/2}1/pと定義すると、相加平均(p=1)、相乗平均(p=0)、調和平均(p=-1)となる。

2007 年2月3日(土) 2月例会 会 場 札幌星園高校
01  

命題と条件 


真鍋和弘

札幌篠路高校

「xは素数である」、「x>1」 これらはxに値を代入しないと正しいか正しくないかが定まらないから命題でない。(中略)このような 文字xを含んだ文や式を、xに関する条件という。
以上の教科書の記述に疑問を感じた。最近の教科書はこのような誤解を招く表現が多い。
※「論理と集合」は、教科書通りに授業を進めると生徒も教師も面白くない分野。学び甲斐のある楽しい授業プランの開発が必要。

        02

  


指でかけ算九九




木村尚士



留萌高校

1月例会のレポート発表(指を使って曜日を求める)の際、かけ算九九 を指で行う方法があることを知り調べてみた。
任意の数x、yに対して、常に
 xy=p(x+y−p)+(x−p)(y−p) (pは任意定数)
が成り立つことを利用する。p=10とすると、
 xy=10(x+y−10)+(x−10)(y−10)
  =10{(x−5)+(y−5)}+(10−x)(10−y)
より、
 8×9=10{(8−5)+(9−5)}+(10−8)(10−9)
   =10(3+4)+2×1=72
※実際に両手の指を折って計算してみて下さい。恒等式の導入でも使えそう。

2007年1月12日(金)、13日(土)    1月例会 札幌市あ けぼの旅館にて 

01  補助線の幾何

加藤渾一 岩見沢西高校 テーマ「折り紙の発想で補助線感覚を養お う」。補助線の引き方を「切り取り移動」と「折り返し移動」に区別し、3つの主要な「折り返し」(角の二等分線、辺の垂直二等分線、辺を対称軸)を使っ て、ラングレーの問題、整角四角形の問題(10度単位・300題)の解き方を紹介
02
面積から積分へ


松本弘文 北広島西高校 「理屈はいいから、とにかく解き方を教えて」と要求してくる生徒た ちに、積分の考え方をしっかり教えたいと思いクイズなども入れて作ったプリントの紹介。ニュートン、ライプニッツなどを登場させてモノガタリ風にするとい うアイディアが出された。
03 「17番目の不思議」に取り組んで
−フィボナッチ数列の楽しさをあじわう−
 菊地三郎 小野幌小学校 1行目、2行目に0以外の好きな数を書き、その和の1の位の数を3 行目に書く。次に、2行目と3行目の和の1の位の数を4行目に書く。以下これを繰り返すと、17行目に「2行目の数の7倍の1の位の数」が現れる。この不 思議さを小学校6年生にフィボナッチ数列の楽しさをあじわってもらいながら解き明かした。レポートではさらに、黄金比やビネーの公式について触れた。
04 センターテストとバカロレア
渡邊 勝 立命館慶祥高校 日本のセンターテストとフランスのバカロレア(大学入学資格試)の 違いを比較、バカロレアは記述式で証明問題が多く論証に重きを置いている。現実の問題を解く場面もあり、問題の記述は決して誤解が生まれないような精密な 書き方をしていてる。これは日仏の文化の違いなのかもしれないと。
05 アルキメデスの数学

真鍋和弘
札幌篠路高 アルキメデスによる「放物線の求積」を用いると、積分公式を図形 的・直感的に理解させることができ生徒の反応も非常に良かった


06


無限等比級数の図形的理解





成田收


静内高校
12月の冬期研で、未 来大学の学生から出された宿題「公比    2/3の無限級数が2に収束することを小学生にも分かるように図形的に説明することはできないか」に対する解 答。さらに、一般の無限等比級数についても、多少変則になるものの図形的理解が可能であることを示している。


07


カレンダーの数学





木村尚士


留萌高校
「数学基礎」における 実践報告。右手の人差し指の先を元旦として日にちの流れを定めると、元旦が何曜日か分かっている年において、何月何日が何曜日になるかを求めることができ る。また、2001年の元旦が月曜日であることから、この2001年を左手の人差し指の先に置いて年の流れを定めると、西暦何年の元旦が何曜日かを求める ことができる。
08
聞くことを知らない生徒たち
(子供から大人まで)
澤尻知徳 札幌星園高校 生徒たちを学校に定着させるために3年前から構成的グループエンカ ウンターを取り入れているが、困ったことにエンカウンターで不可欠とされている「聞くこと」ができない生徒が多い。原因は、生徒が自分の話をきちんと聞い てもらった体験が無い(モデルの不足)ことや、訓練しなくても「聞くこと」は自然に身に付くという誤解から、これまで日本の教育の中で「聞くこと」が系統 的に扱われてこなかったことが考えられること。効果的な「聞く」に必要情報、態度、知識、技能を実感できる授業を組み立て、実際に授業を行い、その効果測 定をして修士論文としてまとめる予定



09


分数計算の感覚を生かして「互いに素」を理解する
    割り算とその余りの幾何学







西谷優一



遺愛女子高校
アンリ・ポアンカレの言葉「数学とは、異なるものを同じとみなす技術である」が示す通 り、数学をできるだけ統一的に理解しようとすると、「互いに素」という概念が「約分」に還元できたり、多項式を2次式で割ったときの余りを直線の式(1次 式)とみなせば、行列Aのn乗の計算や、フィボナッチ数列などに応用できる。大学入試問題の背景にこのような「数学の風景」が見えてくると、入試問題も楽 しく解けるようになるという期待が持てそう。

リンク→ サークルレポート 06
05
04
03
02 01 00 99 98 97 96 95 道 数協のページ
マ サル のレポート
ホー ムページへ