絶対値を2つ含む不等式の問題と解き方
絶対値を含む方程式|X|=3はX=±3で、絶対値を外すと±がつくというのは、正しいです。しかし、絶対値を含む不等式 |X|＞3の場合、この考え方をとると、|X|＞3→X＞±3→X＞+3、X＞-3となり、間違えてしまいます。正しくは以下のように、X＜-3、3＜Xです。
絶対値を含む不等式 |X|＞3
絶対値を含む不等式の基本的な考え方は、絶対値の中がプラスの場合とマイナスの場合に分ける事です。
- X(絶対値の中)≧0の場合。|X|=Xだから、|X|＞3はX＞3となります。(付帯条件 X≧0)。連立不等式(X≧0、X＞3)を解いて、答 X＞3
- X(絶対値の中)＜0の場合。|X|=-Xだから、|X|＞3は-X＞3。よってX＜-3。(付帯条件 X＜0)。連立不等式( X＜0、X＜-3)を解いて、答 X＜-3
上記２つを合わせて、答はX＜-3、3＜X。
|X|＞3をグラフで解く
|X|＞3をグラフで考えると、Y=|X|のグラフがY=3のグラフより上にあるXの範囲が解になるので、下図のように、答は、X＜-3、3＜X、となります。
絶対値を含む不等式 |X-3|＞5
問題 |X-3|＞5。答 X-3＞±5は間違いです。絶対値を外すと±がつくと、考えては、いけません。正しい考え方は、X-3がプラスの場合とマイナスの場合に分けて
- X-3がプラスの場合。｜X-3｜=X-3だから、問題はX-3＞5となり、X＞8。(付帯条件 X-3≧0、つまりX＞3)連立不等式(X＞3、X＞8)を解いて、答 X＞8
- X-3がマイナスの場合。｜X-3｜=-(X-3)だから、問題は-(X-3)＞5となり、X＜-2。(付帯条件 X-3＜0、つまりX＜3)連立不等式(X＜3、X＜-2)を解いて、答 X＜-2
上記２つを合わせて、答はX＜-2、8＜X
絶対値を2つ含む不等式 |X-3|＞|X|
問題 |X-3|＞|X|。絶対値を外すと±がつくと、考えていると、±(X-3)＞±X。これ解けますか。
「X-3」、「X」の正負はXの値が0と3で変化しますから、X＜0、0≦X＜3、3≦Xの三つの場合に分けます。最終的な解は、1の解or2の解or3の解です。
- (条件 X＜0の場合)X-3＜0だから、|X-3|=-(X-3)=-X+3。X＜0だから。|X|=-X。よって、問題は-X+3＞-Xとなります。これを解けば、+3＞0という事になり、Xは全ての実数。(Xの値が何であっても成立する)ただし、条件があるので、答 X＜0
- (条件 0≦X＜3の場合)X-3＜0だから、|X-3|=-(X-3)=-X+3。X≧0だから。|X|=X。よって、問題は-X+3＞Xとなります。これを解けば、+3＞2Xという事になり、X＜3/2。連立不等式(0≦X＜3、X＜3/2)を解いて、答 0≦X＜3/2
- (条件 3≦Xの場合)X-3＞0だから、|X-3|=(X-3)。X≧0だから。|X|=X。よって、問題はX-3＞Xとなります。これを解けば、-3＞0という事になり、解なし。(この不等式を成立させるXの値は、ありません)
上記３つを合わせて答はX＜3/2。
|X-3|＞|X|をグラフで解く
Y=|X-3|のグラフがY=|X|のグラフより上になるのは、下図より、X＜3/2。
最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
