三次方程式が因数分解できない時は(X－解の候補)で割る

1. ｆ（X）=X^３+X^２+２X－４を（X－解の候補）で割る

   小学校の時に習った割り算の筆算と同じようにします。

   ⅰ解の候補X=１の見つけ方は後述。

   X^３+X^２+２X－４=（X－１）（X^２+２X+４）と、因数分解できます。

   多項式の除法　筆算でのやり方

   多項式（Ｘ^３＋Ｘ^２＋２Ｘ－４）を（X－１）で割ります。 組立除法は使いません。小学校の時に習った割り算の筆算と同じようにします。

   1. Ｘ^３＋Ｘ^２＋２Ｘ－４の先頭Ｘ^３とＸ－１の先頭Ｘだけを見てＸ^２を立てます。Ｘ^２とＸ－１をかけて、Ｘ^３－Ｘ^２。引き算して２Ｘ^２、そして、＋２Ｘを下ろします。
   2. ２Ｘ^２＋２Ｘの先頭２Ｘ^２とＸ－１の先頭Ｘだけを見て＋２Ｘを立てます。 ＋２ＸとＸ－１をかけて、２Ｘ^２―２Ｘ。引き算して４Ｘ、そして、－４を下ろします。
   3. ４Ｘ－４の先頭４ＸとＸ－１の先頭Ｘだけを見て４を立てます。４とＸ－１をかけて、４Ｘ－４。引き算して0。
      ｆ（X）=X^３+X^２+２X－４=（X－１）（X^２+２X+４） と、因数分解できました。

   ややこしい感じがしますが、先頭だけを見るという事に注意すれば、小学校の割り算と同じです。組立除法より簡単な理由がここにあります。

   小学校の整数の割り算　筆算でのやり方

   これは、小学生のレベルですから、以下の説明を見る必要はないでしょう。前の多項式の除法との関係で書きました。

   1. ７と３を見て、２を立てます。２と３をかけて、６。引き算し、４を下ろします。
   2. １４と３を見て、４を立てます。４と３をかけて、１２。引き算し、１を下ろします。
   3. ２１と３を見て、７を立てます。７と３をかけて２１。引き算し０。

2. 解の候補の見つけ方 定数項の約数

   三次方程式ｆ（X）= X^３＋……＋定数項=0 の整数解（有理数解）が１個あるとして、それがX=aだとすると

   ｆ（X）= （X－a）（X^２+BX+C）と、因数分解されます。

   ｆ（X）= （X－a）（X^２+BX+C）を展開すると、X³＋……－aCです。よって、

   ｆ（X）= X³＋…＋定数項＝X³＋…－aCとなります。つまり、定数項＝－a×Cですから、解の候補aは定数項の約数になります。

   解の候補と定数項の約数の関係

   • X^３の係数が１の時

     ｆ（X）= X^３+BX^２+CX+定数項D=0の場合、解の候補は定数項Dの約数です。

     例　ｆ（X）=X^３+X^２+X－４=０の場合、解の候補は定数項－４の約数、（±１、±２、±４）です。

     　ｆ（１）=１+１+２－４=０ となるので、解の候補はX=1で、因数定理より、ｆ（X）は（X－１）で割り切れます。

     X^３+X^２+２X－４=（X－１）（X^２+２X+４）と、因数分解できます。（多項式の除法　筆算でのやり方による）

三次方程式が因数分解できない時の解法まとめ

X３の係数が１の時。ｆ（X）=X³+BX²+CX+定数項D=０ を因数分解するには。

1. 三次方程式の定数項Dの約数(d1,d2,…とする)を全て上げる。
2. ｆ（X）が因数分解できるならば、(d1,d2,…)の中に最低１個はｆ（X）に代入した時にｆ（X）=０となるものがある。それをdnとする。
3. 因数定理より、ｆ（X）は（X―dn）を因数に持つ。
4. 多項式の除法で、ｆ（X）を因数（X―dn）で割る。
5. ｆ（X）は、上記の計算の商と（X―dn）の積として因数分解できる。

X３の係数が１でない時。ｆ（X）=AX³+BX²+CX+定数項D=０ を因数分解するには。

1. 三次方程式の定数項Dの約数とそれらをX³の係数Aで割ったもの(d1,d2,d3,d4…とする)を全て上げる。
2. 以下、X３の係数が１の時と同じ。
3. ｆ（X）は、上記の計算の商と（X―dn）の積として因数分解できる。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。