約数の逆数の総和の求め方

18の約数の逆数の総和(準備)

18の約数の逆数の総和
=1/1+1/2+1/3+1/6+1/9+1/18。分母を18に通分します。
=18/18+9/18+6/18+3/18+2/18+1/18。
=(18+9+6+3+2+1)/18。

分子は18の約数の総和ですから、答={ (1+2)×(1+3+9) }/18=13/6。18の約数の総和の求め方は約数の総和

a¹×b²の約数の逆数の総和(本論)

a¹×b²の約数をaとbの累乗の積で表したのが以下のリストです。a¹×b²の約数の指数aは0か1。指数bは0か1か2。

• a=0, b=0の時　約数＝a⁰×b⁰=1
• a=0, b=1の時　約数＝a⁰×b¹=b
• a=0, b=2の時　約数＝a⁰×b²=b²
• a=1, b=0の時　約数＝a¹×b⁰=a
• a=1, b=1の時　約数＝a¹×b¹=ab
• a=1, b=2の時　約数＝a¹×b²=ab²

a¹×b²の約数の逆数の総和
=1/1+1/b+1/b²+1/a+1/ab+1/ab²分母をab²に通分します。
=ab²/ab²+ab/ab²+a/ab²+b²/ab²+b/ab²+1/ab²
=(ab²+ab+a+b²+b+1)/ab²
分子はa¹b²の約数の総和=(a⁰+a¹)(b⁰+b¹+b²)なので答
=(a+1)(b²+b+1)/ab²

検算？

試しに、(a+1)(b²+b+1)/ab²に、a=2,b=3を代入してみると、
(2+1)×(9+3+1)/18=13/6となり、18の約数の逆数の総和の結果と同じになります。

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最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。