約数の個数の求め方

18の約数の個数なら小学生でも、1,2,3,6,9,18と数え上げれば6個と判ります。この方法は、1×18、2×9、3×6と組になっているのがポイントですが、大きな数の約数の個数はどうやって、求めたらよいのでしょう。

約数の個数の公式

N=pa×qb×rc×sdと素因数分解された時、Nの約数の個数は、(a+1)×(b+1)×(c+1)×(d+1)。

この公式の一般的な証明は数学者に任せるとして、1800の約数の個数を例として、解説します。

1800の約数の個数

答:4×3×3=36個。

1800を素因数分解すると、23×32×52です。当然、1800の約数を素因数分解すると、2X×3Y×5Zという形になり、X=0,1,2,3、Y=0,1,2、Z=0,1,2です。1800の約数を2と3と5の累乗の積で表すと、以下のリストのようになります。リストはX=0の場合の９通りですが、X=1,2,3の場合を含めると、４倍の36個になります。

  • 約数 1=20×30×50　X,Y,Zの指数=0,0,0
  • 約数 5=20×30×51　X,Y,Zの指数=0,0,1
  • 約数25=20×30×52　X,Y,Zの指数=0,0,2
  • 約数 3=20×31×50　X,Y,Zの指数=0,1,0
  • 約数15=20×31×51　X,Y,Zの指数=0,1,1
  • 約数75=20×31×52　X,Y,Zの指数=0,1,2
  • 約数 9=20×32×50　X,Y,Zの指数=0,2,0
  • 約数45=20×32×51　X,Y,Zの指数=0,2,1
  • 約数225=20×32×52　X,Y,Zの指数=0,2,2

まとめ：1800の約数を素因数分解すると、2X×3Y×5Zという形です。X=0,1,2,3の４通り、Y=0,1,2の３通り、Z=0,1,2の３通りなので、1800の約数は(3+1)(2+1)(2+1)=４×３×３の36個になります。1を足すのは、0乗がある為です。(素因数分解の一意性)

1800の約数の個数 ややこしい説明

(20+21+22+23)×(30+31+32)×(50+51+52)の( )を展開すると、４項×３項×３項ですから、36個の項が出てきて、それらは1800の約数に過不足なく一致します。

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