1から7の数字を入れる円魔法陣の解き方

円魔法陣の説明図円魔法陣とは、右の図のように、３つの円を重ねてできる７つの部分に１から７の数字を入れ、それぞれの円の中の４つの数字の和を等しくするものです。

円魔法陣のパズルは中学数学の教材にも使われています。教科書にも記載されています。

S=一つの円の中の４つの数字の和として、条件を式にすると、S=A+d+f+x。S=B+d+e+x。S=C+e+f+x。全ての数字の和=A+B+C+d+e+f+x=28となり、式が４つ変数が７つなので、単純に連立方程式を解いて、解を出す事は不可能です。

また、これらの方程式には、1≦A≦7などの条件が含まれていませんし、全ての数字は異なるという条件も含まれていません。

かなり面倒ですが、場合分けをして、解いていきます。

Aに入る数字は１から７ですが、A=1の場合でも、解は１４種類あります。A=1の場合の解は１４種類

A=1の場合の解き方

A=1の場合の円魔法陣の説明図まず、A=1として、fの値で、場合分けをします。

『円1の中の４つの数字(A,d,x,f)と円2の中の４つの数字(B,d,x,e)の和は、等しい』が、この円魔法陣の条件です。

円1の中の４つの数字(A,d,x,f)と円2の中の４つの数字(B,d,x,e)を比べると、d,xが共通ですから、1+f=B+eとなります。

f=2とすると1+f=B+eですから3=B+eですが、1,2がすでに使われているので、B+e=3となるB,eの数字の組み合わせはありません。

f=3とすると1+f=B+eですから4=B+eですが、1,3がすでに使われているので、B+e=4となるB,eの数字の組み合わせはありません。

f=4とすると A=1、f=4の場合の円魔法陣の説明図 1+f=B+eですから、5=B+eとなります。B+e=5となる（B,e）の数字の組み合わせは、（2,3）か（3,2）です。

また、円2の中の４つの数字と円3の中の４つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=4+Cとなります。

f=4の場合、解は３種類あります。

（B,e）=（2,3）の場合。
- d=5とすると、C=3となり、不適です。（3が重複）
- d=6とすると、C=4となり、不適です。（4が重複）
- d=7とすると、C=5となり、残りのx=6で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=18です。右図
（B,e）=（3,2）の場合。
- d=5とすると、C=4となり、不適です。（4が重複）
- d=6とすると、C=5となり、残りのx=7で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=18です。右図
- d=7とすると、C=6となり、残りのx=5で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=17です。右図

A=1、f=5の場合の円魔法陣の説明図 1+f=B+eですから、6=B+eとなります。B+e=6となる（B,e）の数字の組み合わせは、（2,4）か（4,2）です。

また、円2の中の４つの数字と円3の中の４つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=5+Cとなります。

f=5の場合、解は２種類あります。

（B,e）=（2,4）の場合。
- d=3とすると、C=0となり、不適です。
- d=7とすると、C=4となり、不適です。（4が重複）
- d=6とすると、C=3となり、残りのx=7で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=19です。右図
（B,e）=（4,2）の場合。
- d=3とすると、C=2となり、不適です。（2が重複）
- d=6とすると、C=5となり、不適です。（5が重複）
- d=7とすると、C=6となり、残りのx=3で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=16です。右図。

A=1、f=6の場合の円魔法陣の説明図 1+f=B+eですから、7=B+eとなります。B+e=7となる（B,e）の数字の組み合わせは、（2,5）か（3,4）か（4,3）か（5,2）です。

また、円2の中の４つの数字と円3の中の４つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=6+Cとなります。

f=6の場合、解は４種類あります。

（B,e）=（2,5）の場合。
- d=3とすると、C=-1となり、不適です。
- d=4とすると、C=0となり、不適です。
- d=7とすると、C=3となり、残りのx=4で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=18です。右図。
（B,e）=（3,4）の場合。
- d=2とすると、C=-1となり、不適です。
- d=5とすると、C=2となり、残りのx=7で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=19です。右図。
- d=7とすると、C=4となり、不適です。（4が重複）
（B,e）=（4,3）の場合。
- d=2とすると、C=0となり、不適です。
- d=5とすると、C=3となり、不適です。（3が重複）
- d=7とすると、C=5となり、残りのx=2で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=16です。右図。
（B,e）=（5,2）の場合。
- d=3とすると、C=2となり、不適です。（2が重複）
- d=4とすると、C=3となり、残りのx=7で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=18です。右図。
- d=7とすると、C=6となり、不適です。（6が重複）

A=1、f=7の場合の円魔法陣の説明図 1+f=B+eですから、8=B+eとなります。B+e=8となる（B,e）の数字の組み合わせは、（2,6）か（3,5）か（5,3）か（6,2）です。

また、円2の中の４つの数字と円3の中の４つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=7+Cとなります。

f=7の場合、解は５種類あります。

（B,e）=（2,6）の場合。
- d=3とすると、C=-2となり、不適です。
- d=4とすると、C=-1となり、不適です。
- d=5とすると、C=0となり、不適です。
（B,e）=（3,5）の場合。
- d=2とすると、C=-2となり、不適です。
- d=4とすると、C=0となり、不適です。
- d=6とすると、C=2となり、残りのx=4で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=18です。
（B,e）=（5,3）の場合。
- d=2とすると、C=0となり、不適です。
- d=4とすると、C=2となり、残りのx=6で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=18です。
- d=6とすると、C=4となり、残りのx=2で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=16です。
（B,e）=（6,2）の場合。
- d=3とすると、C=2となり、不適です。（2が重複）
- d=4とすると、C=3となり、残りのx=5で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=17です。
- d=5とすると、C=4となり、残りのx=3で、これは、解です。一つの円の中の４つの数字の和S=16です。