1から7の数字を入れる円魔方陣の解き方
円魔方陣とは、右の図のように、3つの円を重ねてできる7つの部分に1から7の数字を入れ、それぞれの円の中の4つの数字の和を等しくするものです。
s=円の中の4つの数字の和として、条件を式にすると、s=A+d+f+x。s=B+d+e+x。s=C+e+f+x。全ての数字の和=A+B+C+d+e+f+x=28となり、式が4つ変数が7つなので、単純に連立方程式を解いて、解を出す事は不可能です。
また、これらの方程式には、1≦A≦7などの条件が含まれていませんし、全ての数字は異なるという条件も含まれていません。
かなり面倒ですが、場合分けをして、解いていきます。A=1の場合でも、解は7種類あります。A=1の場合の解は7種類
A=1の場合の解き方
円1の中の4つの数字と円2の中の4つの数字を比べると、d,xが共通ですから、1+f=B+eとなります。
f=2とすると、3=B+eですが、1がすでに使われているので、B+e=3となるB,eの数字の組み合わせはありません。
f=3とすると、4=B+eですが、1がすでに使われているので、B+e=4となるB,eの数字の組み合わせはありません。
そこで、f=4の場合から調べます。
f=4の場合
1+f=B+eですから、5=B+eとなります。B+e=5となる(B,e)の数字の組み合わせは、(2,3)か(3,2)です。
また、円2の中の4つの数字と円3の中の4つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=4+Cとなります。
- (B,e)=(2,3)の場合。
- d=5とすると、C=3となり、不適です。(3が重複)
- d=6とすると、C=4となり、不適です。(4が重複)
- d=7とすると、C=5となり、残りのx=6で、これは解です。
- (B,e)=(3,2)の場合。
- d=5とすると、C=4となり、不適です。(4が重複)
- d=6とすると、C=5となり、残りのx=7で、これは解です。
- d=7とすると、C=6となり、残りのx=5で、これは解です。
f=5の場合
1+f=B+eですから、6=B+eとなります。B+e=6となる(B,e)の数字の組み合わせは、(2,4)か(4,2)です。
また、円2の中の4つの数字と円3の中の4つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=5+Cとなります。
- (B,e)=(2,4)の場合。
- d=3とすると、C=0となり、不適です。
- d=6とすると、C=3となり、残りのx=7で、これは解です。
- d=7とすると、C=4となり、不適です。(4が重複)
- (B,e)=(4,2)の場合。
- d=3とすると、C=2となり、不適です。(2が重複)
- d=6とすると、C=5となり、不適です。(5が重複)
- d=7とすると、C=6となり、残りのx=3で、これは解です。
f=6の場合
1+f=B+eですから、7=B+eとなります。B+e=7となる(B,e)の数字の組み合わせは、(2,5)か(3,4)か(4,3)か(5,2)です。
また、円2の中の4つの数字と円3の中の4つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=6+Cとなります。
- (B,e)=(2,5)の場合。
- d=3とすると、C=-1となり、不適です。
- d=4とすると、C=0となり、不適です。
- d=7とすると、C=3となり、残りのx=4で、これは解です。
- (B,e)=(3,4)の場合。
- d=2とすると、C=-1となり、不適です。
- d=5とすると、C=2となり、残りのx=7で、これは解です。
- d=7とすると、C=4となり、不適です。(4が重複)
- (B,e)=(4,3)の場合。
- d=2とすると、C=0となり、不適です。
- d=5とすると、C=3となり、不適です。(3が重複)
- d=7とすると、C=5となり、残りのx=2で、これは解です。
- (B,e)=(5,2)の場合。
- d=3とすると、C=2となり、不適です。(2が重複)
- d=4とすると、C=3となり、残りのx=7で、これは解です。
- d=7とすると、C=6となり、不適です。(6が重複)
f=7の場合
1+f=B+eですから、8=B+eとなります。B+e=8となる(B,e)の数字の組み合わせは、(2,6)か(3,5)か(5,3)か(6,2)です。
また、円2の中の4つの数字と円3の中の4つの数字を比べると、e,xが共通ですから、d+B=7+Cとなります。
- (B,e)=(2,6)の場合。
- d=3とすると、C=-2となり、不適です。
- d=4とすると、C=-1となり、不適です。
- d=5とすると、C=0となり、不適です。
- (B,e)=(3,5)の場合。
- d=2とすると、C=-2となり、不適です。
- d=4とすると、C=0となり、不適です。
- d=6とすると、C=2となり、残りのx=4で、これは解です。
- (B,e)=(5,3)の場合。
- d=2とすると、C=0となり、不適です。
- d=4とすると、C=2となり、残りのx=6で、これは解です。
- d=6とすると、C=4となり、残りのx=2で、これは解です。
- (B,e)=(6,2)の場合。
- d=3とすると、C=2となり、不適です。(2が重複)
- d=4とすると、C=3となり、残りのx=5で、これは解です。
- d=5とすると、C=4となり、残りのx=3で、これは解です。
A=1の場合の解は7種類
2≦A≦6の場合の解
A=1の場合の解では、の部分に、2から6の数字が入っています。という事は、2≦A≦6で解はあるということです。(上の7種類の解を右へ120度回転させれば、Aの部分に2から6の数字がきます)
A=7の場合の解
A=7の場合の解の例としては、右図のようなものがあります。
最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。