200の約数の個数・総和・総積

200の約数の個数＝12個

200の約数を、素因数分解して２^A×５^Bと表した時、AとBは以下のリストのようになります。(図1と同じ)

1. 200の約数 1の場合 A=0 B=0
2. 200の約数 5の場合 A=0 B=1
3. 200の約数 25の場合 A=0 B=2
4. 200の約数 2の場合 A=1 B=0
5. 200の約数 10の場合 A=1 B=1
6. 200の約数 50の場合 A=1 B=2
7. 200の約数 4の場合 A=2 B=0
8. 200の約数 20の場合 A=2 B=1
9. 200の約数 100の場合 A=2 B=2
10. 200の約数 8の場合 A=3 B=0
11. 200の約数 40の場合 A=3 B=1
12. 200の約数 200の場合 A=3 B=2

つまり、200の約数は、ABという文字列で、一文字目のAは{ 0,1,2,3 }の中から、二文字目のBは{ 0,1,2 }の中から選ぶ事に対応しているので、４×３＝１２種類あります。

200を素因数分解すると２³×５²なので、(0乗も含めて)、Aは(3+１)種類、Bは(2+１)種類あります。

200の約数の総和＝465

図を利用した直感的な説明と式を使った説明の２通りです。

図1を利用しての約数の総和の説明

(2⁰+2¹+2²+2³)×(5⁰+5¹+5²)を展開すると、図1の緑の枠の中の200の約数の和になるのです。

(2⁰+2¹+2²+2³)×(5⁰+5¹+5²)=(1+2+4+8)×(1+5+25)=15×31=465ですから、200の約数の総和＝465となります。

式を使った説明

(2⁰+2¹+2²+2³)×(5⁰+5¹+5²)の( )を展開すると、4項と3項の積ですから12個の項が出てきます。その12項は図1と同じです。

従って(2⁰+2¹+2²+2³)×(5⁰+5¹+5²)を展開して
=(2⁰×5⁰+2⁰×5¹+2⁰×5²)+…+(2³×5⁰+2³×5¹+2³×5²)
=200の約数の総和となります。

一方、(2⁰+2¹+2²+2³)×(5⁰+5¹+5²)=(1+2+4+8)×(1+5+25)=15×31=465ですから、200の約数の総和＝465となります。

200の約数の総積＝2¹⁸×5¹²

200を素因数分解すると、２³×５²。200の約数は（1，2，4，5，…，40，50，100，200）の１２個です。

（　）の最外側、第２外側、第３外側、第４外側…を掛け合わせると、1×200、2×100、4×50、5×40…と、積が200になる組が６組(１２個の半分)あるので、200の約数の総積=200⁶=(２³×５²)⁶=２¹⁸×５¹²。

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最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。