三角形の魔方陣の解き方

三角形の魔方陣の問題「1～6の数字を１回ずつ使って、三角形のどの辺の数字の和も等しくする」というパズルです。

辺の合計Sが９の時、
頂点の数字は(1,2,3)。
10の時(1,3,5)。
11の時(2,4,6)。
12の時(4,5,6)となります。合計が13以上の時は解なしです。

三角形の魔方陣は3×3魔方陣より難しいです。

頂点の合計(X+Y+Z)と辺の合計Sの関係

頂点の数字の合計 (X+Y+Z)は、(辺の合計S-7)×3となります。小学生にも中学生にも説明するのは、難しいですが、

例えば、１つの辺の合計が9の時、３つの辺の合計は27。一方、６つの数字の合計は21。この差6は、頂点の数字を２回ずつ重複して数えるからです。つまり、頂点の数字の合計は6で、6=(辺の合計9-7)×3となります。

図のように、頂点に入る数字を(X,Y,Z)、辺の真ん中に入る数字を(a,b,c)とします。辺の合計S=X+a+Y=Y+b+Z=Z+c+Xです。

S=X+a+Y、S=Y+b+Z、S=Z+c+Xを辺々足すと(左辺同士、右辺同士を足す)、3S=2X+a+2Y+b+2Z+cとなります。この式から、1～6の合計、21=X+a+Y+b+Z+cを辺々引くと、3S-21=X+Y+Z。3をくくり出して、X+Y+Z=(辺の合計S-7)×3となります。

頂点の数字の合計：(X+Y+Z)=(9-7)×3=6です。1～6の中から、３つの異なる数字を選んで合計が6になるのは、(1,2,3)だけです。

三角形の魔方陣の頂点が(1,2,3) 辺の合計が9ですから、白い丸の中の数字は、(6,4,5)に決まります。これは解です。

頂点の数字の合計：(X+Y+Z)=(10-7)×3=9です。1～6の中から、３つの異なる数字を選んで頂点の数字の合計=9になるのは、(1,2,6) (1,3,5) (2,3,4)だけです。これを過不足なく、数え上げるには次のように考えます。

1番小さい数字が1の時。
(頂点の数字の合計は9だから)
- 2番目に小さい数字が2→3つ目は6
- 2番目に小さい数字が3→3つ目は5
- 2番目に小さい数字が4→3つ目は x
1番小さい数字が2の時。
(頂点の数字の合計は9だから)
- 2番目に小さい数字が3→3つ目は4
- 2番目に小さい数字が4→3つ目は x
1番小さい数字が3の時。
(頂点の数字の合計は9だから)
- 2番目に小さい数字が4→3つ目は x