三角形の面積の最小値を微分で求める

三角形の面積の最小値の問題質問サイトM君の問題より
ＡＢ＝ＡＣ＝15、ＢＣ＝10の三角形ＡＢＣがある。ＡＢ上に点Ｄ、ＢＣ上に点Ｅを取り、三角形ＤＢＥの面積が三角形ＡＢＣの半分であるという条件で、ＤＥの長さＺの最小値を求めよ。

最小値を微分で求める為の準備

ＡとＢＣの中点を結ぶと直角三角形が２つできる。

その直角三角形で三平方の定理を使えば△ＡＢＣの高さ＝１０√２となる。また、sin b＝２√２／３、cos b＝１／３となる。

三角形の面積とsinの公式：Ｓ＝１／２・b・c・sin Ａを使って
与えられた条件の△ＤＢＥ＝１／２・△ＡＢＣは、
１／２・Ｘ・Ｙ・sin b＝１／２・(１／２・１０・１０√２)となる。

sin b＝２√２／３を代入すれば
１／２・Ｘ・Ｙ・２√２／３＝２５√２→ＸＹ＝７５→Ｙ＝７５／Ｘとなる。

この条件（ＸとＹについての条件）の基に、Ｚの値を調べるのだから、余弦定理（ＸＹＺが入っている）をとにかく使ってみる。答を出す事に、こだわらないのがコツ。

Ｚ^２＝Ｘ^２＋Ｙ^２－２ＸＹ・cos b （変数を減らす為に、Ｙ＝７５／Ｘを使う。）
＝Ｘ^２＋(７５／Ｘ)^２－１５０・１／３
＝Ｘ^２＋７５^２／Ｘ^２－５０

最大値・最小値を調べる為に、Ｚ^２＝Ｘ^２＋７５^２／Ｘ^２－５０をＸで微分する。

（Ｚ^２）’＝２Ｘ－２・７５^２／Ｘ^３
（Ｚ^２）’＝０になるのは、
２Ｘ＝２・７５^２／Ｘ^３→Ｘ^４＝７５^２
Ｘ＞０なので、Ｘ＝√７５＝５√３
(Z²)’＝2/X³{(X^２+75)(X+5√3)(X-5√3)}
X>0なので、(Z²)’の正負は(X-5√3)で決まる。

０＜Ｘ＜１５に注意。

Ｚ^２はＸ＝５√３で最小値となる。
Ｚ^２＝Ｘ^２＋７５^２／Ｘ^２－５０に
Ｘ＝５√３を代入すれば、Ｚ^２＝１００
よってＺの最小値＝１０

ちなみに、この時、Ｙ＝５√３となる。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。