三角形の面積の最小値を微分で求める

三角形の面積の最小値の問題 数学の質問掲示板の問題より
三角形ABCでAB=AC=15,BC=10である。
AB上に点D,BC上に点Eを取り,
三角形DBEの面積が三角形ABCの半分であるという条件で,
DEの長さ(Z)の最小値を求めよ。

最小値を微分で求める為の準備

AとBCの中点を結ぶと直角三角形が2つできる。
その直角三角形で三平方の定理を使えば△ABCの高さ=10√2となる。
また、SIN b=2√2/3、COS b=1/3となる。

三角形の面積とSINの公式

三角形の面積とSINの公式:S=1/2・SIN A・bcを使って
与えられた条件△DBE=△ABC/2は
1/2SIN b・X・Y=1/2・5・10√2となる。
SIN b=2√2/3を代入すれば
√2/3・X・Y=25√2
XY=75→Y=75/Xとなる。
この条件(XとYについての条件)の基に、Zの値を調べるのだから、
余弦定理(XYZが入っている)をとにかく使ってみる。
答を出す事にこだわらないのがコツ。

余弦定理

=X+Y−2XY・COS b (変数を減らす為に、Y=75/Xを使う。)
=X+Y−150・1/3
=X+Y−50

Z>0だから、Zの最小値を見つける事とZの最小値を見つける事は同値

=X+Y−50に、Y=75/Xを代入して
=X+75/X−50

最大値・最小値を調べる為に微分して

(Z)’=2X−2・75/X
(Z)’=0になるのは、X=5√3

増減表(最大値・最小値を調べる一般的な方法)

0<X<15に注意。

増減表

5√3
15
(Z)’


最小

はX=5√3で最小値となる。
=X+75/X−50に
X=5√3を代入すれば、Z=100
よってZの最小値=10

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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