9の倍数と11の倍数

9の倍数の有名な性質。11の倍数の性質。
ラジオ放送局の周波数は9の倍数。
911テロ、2001年9月11日8時46分は11の倍数。 (中学の数学)

911テロ

アメリカン航空11便は乗客81名・乗員11名を乗せて、2001年9月11日8時46分にWTCのツインタワー北棟(110階)に突入し爆発炎上。110は11の倍数。
2001年9月11日8時46分=2001911846=11×11×11×752033×2。
となり、2001年9月11日8時46分は11の倍数です。
都市伝説という本が売れていたり、20ドル札と9.11テロの話がTVで放送されたりしている。 9月+11日=20ドルだとかいう話も都市伝説で、紹介されているので、9の倍数と11の倍数について書く。

9の倍数

ラジオ放送局の周波数

  • NHK第1、594kHzキロヘルツ
  • 文化放送、1134
  • ニッポン放送、1242

594、1134、1242。全て9の倍数である。

9の倍数の有名な性質

各位の数の和が9の倍数なら、元の数も9の倍数である。

  1. 594。5+9+4=18。18は9の倍数。よって、594は9の倍数。
  2. 1134。1+1+3+4=9。9は9の倍数。よって、1134は9の倍数。

9の倍数の厳密でない証明

  1. 594
    =5×100+9×10+4
    =5×(99+1)+9×(9+1)+4「分配法則」を使って。
    =5×99+5×1+9×9+9×1+4
    =5×99+9×9+5+9+4
    (5×99)、(9×9)、(5+9+4)は全て9の倍数だから、全体も9の倍数。
  2. 1134
    =1×1000+1×100+3×10+4
    =1×(999+1)+1×(99+1)+3×(9+1)+4。以下同じ。

9の倍数のやや厳密な証明

4桁の整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとする。
abcd(十)
=a×1000+b×100+c×10+d。以下同じ。

11の倍数

  1. 11の倍数の性質1

    各位を下から2桁ずつ区切り、2桁の数の和が11の倍数なら、元の数も11の倍数である。

    例。1914の場合。
    1914を19と14に区切る。19+14=33(11の倍数)。
    1914は11の倍数。

    11の倍数1の厳密でない証明

    1914
    =19×100+14
    =19×(99+1)+14
    =19×99+19×1+14
    =19×99+19+14
    =19×9×11+19+14
    (19×9×11)も(19+14)も11の倍数だから、全体も11の倍数。

    11の倍数1のやや厳密な証明

    4桁の整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとする。
    abcd(十)
    =a×1000+b×100+c×10+d。
    =100×(a×10+b)+c×10+d。
    =(99+1)×(a×10+b)+c×10+d。
    =99×(a×10+b)+(a×10+b)+(c×10+d)。
    99×(a×10+b)は11の倍数だから、
    (a×10+b)+(c×10+d)も11の倍数ならば、
    元のabcd(十)は11の倍数。

  2. 11の倍数の性質2

    1の位から1桁おきにとった数の和。十の位から1桁おきにとった数の和。
    この二つの和の差が11の倍数なら、元の数も11の倍数である。

    例。1947の場合。
    1の位と百の位の和=7+9=16。十の位と千の位の和=4+1=5。
    二つの和の差=16−5=11、(11の倍数)。
    元の1947は11の倍数。

    11の倍数2のやや厳密な証明

    4桁の整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとする。
    abcd(十)
    1000a+100b+10c+d。
    10×(100a+c)+100b+d。
    =(11−1)×(100a+c)+99b+b+d。
    =11×(100a+c)−(100a+c)+99b+b+d。
    =11×(100a+c)−(99a+a+c)+99b+b+d。
    =11(100a+c)−99a−(a+c)+99b+b+d。
    =11(100a+c)−99a+99b−(a+c)+(b+d)。
    11(100a+c)、99a、99bは11の倍数だから、
    (b+d)−(a+c)も11の倍数ならば、
    元のabcd(十)は11の倍数。

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最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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