三次方程式・因数定理と剰余の定理

因数定理

因数定理とは、Ｘの多項式 f（Ｘ）に対して、f（ａ）＝0 を満たすａが存在すれば

• f（Ｘ）は（Ｘ-ａ）を因数に持つ
• f（Ｘ）は（Ｘ-ａ）で割り切れる
• f（Ｘ）を（Ｘ-ａ）で割った時の剰余（あまり）は０

因数定理の簡単な説明

Ｘの多項式ｆ（Ｘ）が
ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−ａ）（Ｘの整式）と因数分解されたとする。
ｆ（ａ）＝（ａ−ａ）（Ｘの整式・・・）＝０×（・・・）＝０だから
ｆ（ａ）＝０となる時は

• ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−ａ）（・・・）と因数分解できる。
• ｆ（Ｘ）は（Ｘ−ａ）を因数に持つ。
• ｆ（Ｘ）は（Ｘ−ａ）で割り切れる。

因数定理による三次方程式の解法

3次方程式の問題
3次方程式ｆ（Ｘ）＝Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝０の解を求めよ。

1. ｆ（ａ）＝０となる、ａの候補は定数項−６の約数である1、2、3、6、-1、-2、-3、-6。∵因数分解された（Ｘ−ａ）（・・・＋数字）のかっこを外せば、ａ×数字が定数項−６になるからである。
   定数項とは変数を含まない数字だけの項。
2. ｆ（１）＝０となるので、
   ｆ（Ｘ）＝Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（・・・）と因数分解できる。
3. （・・・）の部分は
   Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６を（Ｘ−１）で割って、（Ｘ^２−５Ｘ＋６）となる。
   多項式の除法
4. Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ^２−５Ｘ＋６）＝０
5. （Ｘ^２−５Ｘ＋６）＝（Ｘ−２）（Ｘ−３）だから
   かけて＋６、足して−５になるのは「−２」と「−３」。
   二次式の因数分解の解き方
6. Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）＝０
7. 解は、Ｘ＝１、２、３。

剰余の定理

剰余の定理とは、多項式 f（Ｘ）を（Ｘ-ａ）で割ったときの剰余（あまり）はf（ａ）であるという定理。

剰余の定理の簡単な説明

１６÷３＝５・・・あまり１、は
１６＝３×５＋１と表現できる。

f（Ｘ）÷（Ｘ-ａ）＝q（Ｘ）・・・あまりR（数字）、は
f（Ｘ）＝（Ｘ-ａ）×q（Ｘ）＋Rと表現できる。
f（ａ）＝（ａ-ａ）×q（ａ）＋R＝０×q（ａ）＋R＝Rとなり、
f（Ｘ）を（Ｘ-ａ）で割ったときの剰余R（あまりR）＝f（ａ）である。

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