約数の逆数の総和の求め方

  1. 18の約数の逆数の総和とは、18の約数の逆数を全部足す事です。18の約数の逆数の総和?(準備)答:13/6
  2. a1×b2の約数の逆数の総和?(本論)答:(a+1)(b2+b+1)/ab2

18の約数の逆数の総和(準備)

18の約数の逆数の総和
=1/1+1/2+1/3+1/6+1/9+1/18。分母を18に通分します。
=18/18+9/18+6/18+3/18+2/18+1/18。
=(18+9+6+3+2+1)/18。

分子は18の約数の総和ですから、答={ (1+2)×(1+3+9) }/18=13/6。18の約数の総和の求め方は約数の総和

a1×b2の約数の逆数の総和(本論)

a1×b2の約数をaとbの累乗の積で表したのが以下のリストです。a1×b2の約数の指数aは0か1。指数bは0か1か2。

  • a=0, b=0の時 約数=a0×b0=1
  • a=0, b=1の時 約数=a0×b1=b
  • a=0, b=2の時 約数=a0×b2=b2
  • a=1, b=0の時 約数=a1×b0=a
  • a=1, b=1の時 約数=a1×b1=ab
  • a=1, b=2の時 約数=a1×b2=ab2

a1×b2の約数の逆数の総和
=1/1+1/b+1/b2+1/a+1/ab+1/ab2分母をab2に通分します。
=ab2/ab2+ab/ab2+a/ab2+b2/ab2+b/ab2+1/ab2
=(ab2+ab+a+b2+b+1)/ab2
分子はa1b2の約数の総和=(a0+a1)(b0+b1+b2)なので答
=(a+1)(b2+b+1)/ab2

検算?

試しに、(a+1)(b2+b+1)/ab2に、a=2,b=3を代入してみると、
(2+1)×(9+3+1)/18=13/6となり、18の約数の逆数の総和の結果と同じになります。

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