a²×b¹の約数の個数・総和・総積の問題

a²×b¹の約数の個数

a²×b¹の約数を素因数分解すると、a^e×b^fという形になり、e=0,1,2、f=0,1です。a²×b¹の約数をaとbの累乗の積で表したのが以下の表で、6個あります。

表 a²×b¹の約数

指数e	指数f	累乗の積	a2×b1の約数
0	0	a0×b0	1
0	1	a0×b1	b
1	0	a1×b0	a
1	1	a1×b1	ab
2	0	a2×b0	a2
2	1	a2×b1	a2b

0乗がある為、a²×b¹の約数の個数=(aの指数+1)×(bの指数+1)=(2+1)×(1+1)=6個(答)となります。

約数の個数の公式

Nがp^a×q^b×r^c×s^dと素因数分解される時、Nの約数の個数=(a+1)×(b+1)×(c+1)×(d+1)。
約数の個数の求め方

a²×b¹の約数の総和

(a⁰+a¹+a²)×(b⁰+b¹)の( )を展開すると、３項×２項ですから、６個の項が出てきて、それらは上の表のa²×b¹の約数に過不足なく一致します。

a²×b¹の約数の総和=(a⁰+a¹+a²)×(b⁰+b¹)
=a⁰×b⁰+a⁰×b¹+a¹×b⁰+a¹×b¹+a²×b⁰+a²×b¹
=1+b+a+ab+a²+a²b　最低次数のbで整理して
=b(a²+a+1)+(a²+a+1)
=(a²+a+1)×(b+1)(答)となります。

最低次数については因数分解 最低次数で整理する

約数の総和の公式

Nがp^a×q^b×r^cと素因数分解される時、Nの約数の総和=(p⁰+p¹+p²+…+p^a)×(q⁰+q¹+q²+…+q^b)×(r⁰+r¹+r²+…+r^c)
約数の総和の求め方

a²×b¹の約数の総積

a²×b¹の約数の総積とは、上の表のa²×b¹の６個の約数を全部、掛け合わせる事ですから、a⁶×b³(答)。

中学生でも解るa²×b¹の約数の総積の求め方

a²×b¹の約数は（1，a，b，a²，ab，a²b）の６個。( )の最外側、第２外側、第３外側を掛け合わせると、1×a²b、a×ab、b×a²と、積がa²bになる組が３組あるので、a²×b¹の約数の総積
=(a²b)³=a⁶×b³(答)。

指数を使ったa²×b¹の約数の総積の求め方

(a⁰+a¹+a²)×(b⁰+b¹)の( )を展開すると、(1，b，a，ab，a²，a²b)の６個の項が出てきます。それらは上のリストのa²×b¹の約数に過不足なく一致します。

この６項の中に、a¹、a²は、それぞれ２個。b¹は、３個あります。よって、総積の中には、aが６個(1×２+2×２)、bが３個あるので、a²×b¹の約数の総積=a⁶×b³(答)。

約数の総積の公式

Nがp^a×q^b×r^cと素因数分解される時、
Nの約数の個数=n=(a+1)(b+1)(c+1)。

Nの約数の総積=(p^a×q^b×r^c)^n/2=(p^a×q^b×r^c)^{(a+1)(b+1)(c+1)/2}　この式は無視した方がいいでしょう。次のリンクを見て下さい。 約数の総積の求め方

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最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。