二次関数の頂点の座標は平方完成

平方完成とは

ｙ＝ｘ²−６ｘ＋１０をｙ＝（ｘ−３）²＋１のように変形する事です。でも、

変な平方完成

ｙ＝（ｘ−３）²なら平方完成している雰囲気がありますが、ｙ＝（ｘ−３）²＋１は「＋１」がある分、平方完成しているとは言いにくいですね。そこで、

美しい平方完成

ｙ＝（ｘ−３）²＋１をｙ−１＝（ｘ−３）²と変形すれば平方完成しているように見えます。

平方完成の方法

二次関数の頂点の座標を求めるには平方完成のやり方を理解しなくてはいけません。 平方完成の公式を丸暗記してはダメへ

二次関数の頂点の座標

y-b=(x-a)²の頂点の座標は(a,b)でスッキリ
xを(x-a) yを(y-b)に変えると、頂点(0,0)は(a,b)に移動します。この平行移動の考え方は、二次関数以外でも通用します。

二次関数の頂点の座標をあらわす変な平方完成

ｙ＝（ｘ−３）²＋１の頂点の座標は（３,１)です。なんか、変な気がしませんか。
−３→３とするのに、＋１→１のままです。

二次関数の頂点の座標をあらわす美しい平方完成

ｙ−１＝（ｘ−３）²の頂点の座標は（３,１)です。

これだと、ｘから引いた数字が頂点のｘ座標に、ｙから引いた数字が頂点のｙ座標になって、すっきり、します。ちなみに、

ｙ＋１＝（ｘ−３）²はｙ−（−１）＝（ｘ−３）²と変形できます。
ｘから３、ｙから−1、を引いているので
頂点の座標は（３,−１）です。また、

ｙ−１＝（ｘ＋３）²はｙ−１＝（ｘ−（−３））²と変形できます。
ｘから−３、ｙから1、を引いているので
頂点の座標は（−３,１）です。

グラフの平行移動

ｙ＝ｘ^３をｘ方向に４、ｙ方向に５平行移動すると、ｙ−５＝（ｘ−４）^３となります。

一般的にｙ＝ｆ（ｘ）をｘ方向に４、ｙ方向に５平行移動すると、ｙ−５＝ｆ（ｘ−４）となります。

ｙ＝ｘ^３＋ｘ²＋３ｘをｘ方向に４、ｙ方向に５平行移動すると、
ｙ−５＝（ｘ−４）^３＋（ｘ−４）²＋３（ｘ−４）となります。

二次関数の頂点の座標と平行移動

ｙ＝ｘ²のグラフの頂点は、原点（０,０）です。

ｙ＝（ｘ−（−３））²はｘ軸の方向に（−３）平行移動しているので、頂点の座標は（−３,０）です。

ｙ−（−１）＝（ｘ−（−３））²は、さらにｙ軸の方向に（−１）平行移動しているので、
頂点の座標は（−３,−１）です。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。