二次不等式の解き方-全ての実数-解なし

二次不等式の解が「全ての実数」「解なし」になる場合。
これを難しい二次不等式、と思う高校生がいますが、
これも、オープンとクローズで、簡単にできます。 (高校と中学の数学)

二次不等式の一般的な解き方の復習

二次不等式の例題:X−7X+12>0を解く。
左辺を因数分解すると、(X−3)(X−4)>0となります。
(X−3)(X−4)>0の「」は左側が、オープンです。よって
二次不等式の答がオープン
となります。
「ここはXの範囲 3・・・・・4 ここはXの範囲」となっていますから。
     X<3    ,    4<Xです。←解答の仕方。
詳しくは、二次不等式の安直な解法を見てください。

今回の二次不等式についての本論。

二次不等式の答が「全ての実数」「解なし」になる場合

二次不等式の左辺を因数分解した時、( )の二乗になる事があります。
二次不等式の例題:(X−3)>0。これもopenとcloseで、できます。
不等号の向きと=の有無で、次の4つの場合に分類できます。

  1. (X−3)>0。>オープン。=が無いから「3」の所は白○ 二次不等式の答がオープン白丸
    答は、「Xは3をのぞく、全ての実数」です。
    (白○の3をのぞく)
  2. (X−3)=>0。>オープン。=が有るから「3」の所は黒● 二次不等式の答がオープン黒丸
    答は、「Xは、全ての実数」です。
    (黒●の3を含める)
  3. (X−3)<0。<クローズ。=が無いから「3」の所は白○ 二次不等式の答がクローズ白丸
    答は、「解なし」です。
    (白○の3をのぞく)
  4. (X−3)=<0。<クローズ。=が有るから「3」の所は黒● 二次不等式の答がクローズ黒丸
    答は、「X=3」です。
    (黒●の3だけを含めるから)

二次不等式のほとんどは

オープンとクローズ(OC)の解法で、できる。

二次不等式の中で、判別式D<0となる場合

判別式D<0となる二次不等式の場合は、OCで解けない。
二次不等式の問題:X+aX+b>0を
+aX+b=0という二次方程式にかえた時、
判別式D<0となる場合です。

二次不等式の例題:X−6X+11>0。
この時、判別式D=36−44=−8、負なので、左辺は因数分解できません。

この二次不等式の左辺は
(X−3)+2>0と平方完成します。 やさしい平方完成の方法
(X−3)は、どんなXでも、正または0ですから、(X−3)+2は常に正です。
よって、この二次不等式は、どんなXでも成り立ちますから、
答は「全ての実数」となります。

OCで、解けない二次不等式の問題の分類

  1. 二次不等式の問題:(X−3)+2>0
    二次不等式の問題:(X−3)+2=>0
    答は、「全ての実数」
  2. 二次不等式の問題:(X−3)+2<0
    二次不等式の問題:(X−3)+2=<0
    答は、「解なし」

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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