二次不等式の解が「全ての実数」「解なし」になる
二次不等式の解が「全ての実数」「解なし」になる場合。これを難しい二次不等式、と思う高校生がいますが、これも、オープンとクローズで、簡単にできます。不等号>の左が開いていたらオープンです。
オープンとクローズについては二次不等式の解の安直な覚え方を見てください。
(X-3)2=0の判別式D=0です。
- 二次不等式(X-3)2>0の解は、3を除く全ての実数
- 二次不等式(X-3)2≧0の解は、全ての実数
- 二次不等式(X-3)2<0の解は、解なし
- 二次不等式(X-3)2≦0の解は、X=3
図で表せば、下のようになります。
「全ての実数」「解なし」になる場合は4通り
二次不等式の左辺を因数分解した時、( )の二乗になる事があります。(X−3)2>0と(X−3)2<0を例にして説明します。
不等号の向きと=の有無で、次の4つの場合に分類できます。
- (X−3)2>0。左が開いているオープン。=が無いから「3」の所は白○
解は、「Xは3をのぞく、全ての実数」です。(白○の3をのぞく)
- (X−3)2≧0。左が開いているオープン。=が有るから「3」の所は黒●
解は、「Xは、全ての実数」です。(黒●の3を含める)
- (X−3)2<0。左が閉まっているクローズ。=が無いから「3」の所は白○
解は、「解なし」です。(白○の3をのぞくから)
- (X−3)2≦0。左が閉まっているクローズ。=が有るから「3」の所は黒●
解は、「X=3」です。(黒●の3だけを含めるから)
二次不等式のほとんどは、オープンとクローズ(OC)の解法で、できる。
二次不等式の中で、判別式D<0となる場合
判別式D<0となる二次不等式の場合は、オープンとクローズで解けない。
二次不等式の問題:X2+aX+b>0をX2+aX+b=0という二次方程式にかえた時、判別式D<0となる場合です。
二次不等式の例題:X2−6X+11>0。この時、判別式D=36−44=−8、負なので、左辺は因数分解できません。
この二次不等式の左辺は、(X−3)2+2>0と平方完成します。平方完成の公式を丸暗記してはダメへ
(X−3)2は、どんなXでも、正または0ですから、(X−3)2+2は常に正です。
よって、この二次不等式は、どんなXでも成り立ちますから、解は「全ての実数」となります。
判別式の正負と解の関係
二次不等式の左辺=0とした時の判別式Dの正負0と解が「全ての実数」、「解なし」等になるのは、以下の通りです。
判別式が負の場合
例:二次不等式の左辺が(X−3)2+2の場合、(X−3)2+2=X2−6X+11=0とした時の判別式D=62−4×11=−8で、負となります。
- (X−3)2+2>0。解は、「全ての実数」
- (X−3)2+2≧0。解は、「全ての実数」
- (X−3)2+2<0。解は、「解なし」
- (X−3)2+2≦0。解は、「解なし」
判別式が0の場合
例:二次不等式の左辺が(X−2)(X−2)の場合、(X−2)(X−2)=X2−4X+4=0とした時の判別式D=(−4)2−4×4=0で、0となります。
- (X−2)(X−2)>0。解は、「X=2以外の全ての実数」
- (X−2)(X−2)≧0。解は、「全ての実数」
- (X−2)(X−2)<0。解は、「解なし」
- (X−2)(X−2)≦0。解は、「X=2」
判別式が正の場合
例:二次不等式の左辺が(X−2)(X−3)の場合、(X−2)(X−3)=X2−5X+6=0とした時の判別式D=(−5)2−4×6=+1で、正となります。
- (X−2)(X−3)>0。解は、「X<2、3<X」
>オープン。
=がないのでX=2,X=3は含まれない。 - (X−2)(X−3)≧0。解は、「X≦2、3≦X」
≧オープン。
=があるのでX=2,X=3も含まれる。 - (X−2)(X−3)<0。解は、「2<X<3」
<クローズ。
=がないのでX=2,X=3は含まれない。 - (X−2)(X−3)≦0。解は、「2≦X≦3」
≦クローズ。
=があるのでX=2,X=3も含まれる。
最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。