約数の総積の求め方

18の約数の総積とは、18の約数(1、2、3、6、9、18)を全部かける事です。1×2×3×6×9×18＝5832となります。大きな数1800の約数の総積は、どう計算すればよいでしょう。

18の約数の総積

答＝5832=2×2×2×3×3×3×3×3×3

小学生でも解る18の約数の総積の求め方

18の約数は(1，2，3，6，9，18)。( )の最外側、第２外側、第３外側を掛け合わせると、1×18、2×9、3×6、と積が18になる組が３組あるので、18の約数の総積=18×18×18=5832。

指数を使った18の約数の総積の求め方

2⁰=1。指数法則：3¹×3²×3³=3¹⁺²⁺³=3⁶という事を知っているとして説明します。

(2⁰+2¹)×(3⁰+3¹+3²)の( )を展開すると、２項×３項ですから、2⁰×3⁰、2⁰×3¹、2⁰×3²、2¹×3⁰、2¹×3¹、2¹×3²の６個の項が出てきて、これらは18の約数に過不足なく一致します。

よって、18の約数の総積=2⁰×3⁰×2⁰×3¹×2⁰×3²×2¹×3⁰×2¹×3¹×2¹×3² =2¹⁺¹⁺¹×3¹⁺²⁺³=2³×3⁶=5832。

1800の約数の総積

答＝2⁵⁴×3³⁶×5³⁶

中学生でも解る1800の約数の総積の求め方

1800を素因数分解すると、2³×3²×5²。

1800の約数は（1，2，3…600，900，1800）の３６個。《1800の約数の個数＝4×3×3=３６個の理由》は約数の個数の求め方

( )の最外側、第２外側、第３外側…を掛け合わせると、1×1800、2×900、3×600…と、積が1800になる組が１８組(３６個の半分)あるので、1800の約数の総積=1800¹⁸=(2³×3²×5²)¹⁸=2⁵⁴×3³⁶×5³⁶。

指数を使った1800の約数の総積の求め方

(2⁰+2¹+2²+2³)×(3⁰+3¹+3²)×(5⁰+5¹+5²)の( )を展開すると４項×３項×３項ですから、2⁰×3⁰×5⁰、2⁰×3⁰×5¹、2⁰×3⁰×5²、
2⁰×3¹×5⁰、2¹×3¹×5¹、2¹×3¹×5²…2³×3²×5²の３６個の項が出てきて、これらは1800の約数に過不足なく一致します。この３６項の中に、2¹、2²、2³は、それぞれ９個(3項×3項)。3¹、3²は、それぞれ１２個(4項×3項)。5¹、5²は、それぞれ１２個(4項×3項)あります。よって、総積の中には、2が５４個(1×9+2×9+3×9)、3が３６個(1×12+2×12)、5が３６個(1×12+2×12)あるので、18の約数の総積=2⁵⁴×3³⁶×5³⁶。