因数分解の公式と因数分解の解き方

因数分解の解き方の原則は、次の順に考える。(高校と中学の数学)

  1. 共通因数をくくり出す
  2. 因数分解の公式を使う
  3. 最低次数の文字について整理してから、因数分解する

因数分解の問題 解き方

  1. 因数分解の問題@:3x+18xy+27xy
    共通因数→因数分解の公式。解き方は頁内リンク共通因数
  2. 因数分解の問題A:A+3A+2AB+6B
    共通因数なし→因数分解の公式も使えない→最低次数の文字について整理→共通因数をくくり出す。解き方は頁内リンク最低次数の文字で整理
  3. 因数分解の問題B:(b-c)+(c-a)+(a-b)
    ()を全部展開してaについて整理すると、
    (3ca−3ab)+(3ab−3ca)+(3bc−3bc)。
    3つの()をそれぞれ因数分解すると、共通因数3(c-b)が出て来るので・・・
  1. 共通因数をくくり出す 中学の数学

    因数分解の問題@:3x+18xy+27xy  共通因数は3xだから
    3x+18xy+27xy=3x(x+6xy+9y

    これは、基礎だから簡単ですね。ただし、これを最初に完全にやっておかないと、後が面倒になります。基礎を、おろそかにしては、いけません。
    次に( )の中の(x+6xy+9y)を因数分解します。

  2. 因数分解の公式を使う

    x+6xy+9yに因数分解の公式を使いますが。
    因数分解の公式の中には、覚えてはいけない公式があります。
    また、x+6xy+9y=x+2・3xy+3y
    という事に気がつかなくてはいけません。

    因数分解の公式は1〜3の3つだけ、覚える

    中学の因数分解でも、最初の二つは習ったと思いますが。

    1. +2AB+B=(A+B) 二乗の公式(中学の公式)
      (A+B)(A+B)の( )をはずすと、ABが二つ出てくる事を理解しておこう。
      −2AB+B=(A−B)
      B→(−B)にかえるだけなので、覚えない。
    2. −B=(A+B)(A−B) 和と差の積の公式(中学の公式)
      「二乗ひく二乗は和と差の積」と覚えた方が良い。
    3. +B=(A+B)(A−AB+B 三乗の公式(高校の公式)
      −B=(A−B)(A+AB+B)は
      B→(−B)にかえるだけなので、覚えない。
      ただし、最後の「+B」の所はB→(−B)だから、符号は+のままという事に注意。
    4. +(a+b)X+ab=(X+a)(X+b) (中学の公式)
      これは、X+5X+6の形。
      かけて6、足して5になる2つの数字を見つけるパターンで、
      公式としては覚えない。
      の係数が1でない場合は、たすきがけを使わないで、
      サイト内リンク二次式 高校生の因数分解 たすきがけを使わない方法(準備)へ
      サイト内リンクたすきがけを使わない因数分解の方法(本論)へ
    5. +3AB+3AB+B=(A+B) (高校の公式)
      この因数分解の公式は、あまり使わないから、最初は覚えなくていいかも。(逆は重要)

    どの因数分解の公式を使うのかが、わからない

    と、生徒は言うのだが。

    1. +2AB+B。項が三つで、そのうち2乗の項が二つ
    2. −B。項が二つで2乗
    3. +B。項が二つで3乗
    4. +(a+b)X+ab。項が三つで、そのうち2乗の項が一つ
    5. +3AB+3AB+B。項が四つで、そのうち3乗の項が二つ

    公式より大事な事

    1、4、9、16、等の数字を見た時に、1、2、3、4を思いつくかどうかだ。
    17=289ぐらいまでは覚えておこう。82+152=172
    同様に1、8、27、64が1、2、3、4になっている事に気がつかなくてはいけない。
    +1→A+1に気がつかないと、公式を使う事を思いつかない。

    因数分解の公式を使う前に、置き換えを使うと、分かりやすい

    因数分解の問題:(2A+B)+5(2A+B)+6
    慣れると、このままでも、できるが、
    (2A+B)→Xと置き換えれば。
    +5X+6となって、簡単。

  3. 最低次数の文字について整理してから、因数分解する

    因数分解の公式が使えない時はこれ。最後の手段。
    これを理解していない高校生がいます。
    因数分解の問題A:A+3A+2AB+6Bは
    • 「共通因数」はない。
    • 因数分解の公式は使えない。「項は四つ。3乗の項は一つ」だから。
    • 「置き換え」もできない。
    • よって、最低次数の文字について整理する。

    最低次数の文字とは


    因数分解の問題:A+3A+2AB+6Bの場合。
    (次数は右肩の数字と関係がある。)
    Aは3乗があるが、Bは1乗しかないので、が最低次数の文字。

    最低次数のBについて、整理するとは


    を含む項を集めるを含む項を集める
    を含む項を集めるBを含まない項を集めるのように変形する。
    上の例ではB、Bを含む項はないので、
    +3A+2AB+6B→ 2AB+6B+3Aと変形する。

    ( )の中を因数分解


     の中を、それぞれ因数分解
    1. 共通因数をくくり出す。
    2. 因数分解の公式を使う。に戻って、因数分解する。
    3. 2B(A+3)+A(A+3)となる。

    全体を見て因数分解


    全体を見て
    1. 共通因数をくくり出す。
    2. 因数分解の公式を使う。に戻って、因数分解する。
    3. (A+3)(A+2B)となる。

因数分解の基礎が理解できたらサイト内リンク因数分解の問題 例題

中学の因数分解の公式 高校の因数分解の公式

因数分解の公式の中には、覚えてはいけない公式があります。

中学の因数分解の公式

  1. 二乗の 因数分解の公式
    +2AB+B=(A+B)
    −2AB+B=(A−B)
    B→(−B)にかえるだけなので、覚えない
  2. 和と差の 因数分解の公式
    −B=(A+B)(A−B)
    「二乗ひく二乗は和と差の積」と覚えた方が良い。
  3. 足して、掛けての 因数分解の公式
    +(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)
    こんな公式を覚えてはダメ。
    これは、X+5X+6の形。
    かけて6、足して5になる2つの数字を見つけるパターンで、
    公式としては覚えない

高校の因数分解の公式

  1. 三乗と三乗の和の因数分解の公式
    +B=(A+B)(A−AB+B
    −B=(A−B)(A+AB+B)は
    B→(−B)にかえるだけなので、覚えない
  2. 三乗の展開の公式の逆
    +3AB+3AB+B=(A+B)
  3. たすきがけの因数分解の公式
    abX+(ad+bc)X+cd=(aX+c)(bX+d)
    こんな公式を覚えてはダメ。公式としては覚えないで。
    サイト内リンク二次式の因数分解 たすきがけを使わない方法(準備)へ

因数分解とは(補足)

因数分解とは、いくつかの式の積(掛け算)で表すこと。
+6X+5=(X+3)−4は因数分解とは言いません。
平方完成と言います。

因数分解と平方完成の違い

Y=X+6X+5=(X+3)−4などとして、
放物線の頂点の座標を求める時に使います。平方完成と言います。

  1. サイト内リンク平方完成で二次関数の頂点の座標を求める
  2. サイト内リンク平方完成と二次方程式の解の公式

因数定理は3次方程式の因数分解で使われる。 サイト内リンク因数定理による因数分解

周期表の覚え方については↓をクリック。M君の周期表の覚え方水兵リーベ僕の船 語呂合わせにジャンプします。JavaScriptアプリで、答をクリックすると、元素記号と元素名がポップアップします。 因数分解

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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