因数分解の公式は覚えない。2つの公式が重要

因数分解の公式は、できる限り覚えない。というか覚えられない。重要な公式は太字の2つ。

中学の因数分解の公式は4つ

  1. a2+2ab+b2=(a+b)2 2乗公式
  2. a2−2ab+b2=(a−b)2
  3. a2−b2=(a+b)(a−b)2乗引く2乗の公式
  4. X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)

高校の因数分解の公式は5つ

  1. a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) 3乗公式
  2. a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
  3. a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
    パスカルの三角形で公式を導出
  4. a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3
  5. (aX+b)(cX+d)=acX2+(ad+bc)X+bd

覚えない公式と覚える公式

X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)が重要。上記9つの公式について、覚える、覚えない、覚え方を説明します。万人に共通の覚え方はないので、最終判断は個人です。公式を意味を考えずに覚えるのでは、数学を好きになる事はできません。

X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)から 3つの公式

  1. X2+(a+b)X+ab=(X+a)(X+b)
    公式として、この形のままで覚えない。覚えても、複雑すぎて使えないでしょう。
    これは、X2X+=0を因数分解して解く形のパターン。かけて、足してになる2つの数字を見つけるパターンです。
    2×3=6、2+3=5なので、
    X2+5X+6=(X+2)(X+3)と因数分解します。詳しくは 因数分解で、たすきがけは使わない(準備)へ。この方法が身についていれば、次の3つの公式が導出できます。
  2. X2+2bX+b2。かけてb2、足して2bになる2つの文字式を見つけるパターンです。
    b×b=b2、b+b=2bなので、
    X2+2bX+b2=(X+b)(X+b)と因数分解
    Xをaに変えれば、2乗の公式になるので
    a2+2ab+b2=(a+b)2覚えない
  3. a2+2ab+b2=(a+b)2でbを(−b)にかえればいいので、
    a2−2ab+b2=(a−b)2覚えない
  4. X2−b2をX2+0X−b2と思えば。
    かけて−b2、足して0になる2つの文字式を見つけるパターンです。
    b×(−b)=−b2、b+(−b)=0なので、
    X2−b2=(X+b)(X−b)、Xをaに変えれば
    a2−b2=(a+b)(a−b)が導出されます。
    ただし、この形で覚えるのではなく、「二乗引く二乗は和と差の積」あるいは(和と差の積は二乗の差)と覚える方が良い。
    ∵因数分解の公式には似たものが多く混同しやすいので、誤った記憶が再生しやすいからです。

ここから高校の因数分解の公式

  1. a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2) 3乗公式
    これは、覚えるしかないでしょう。
  2. a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)で、bを(−b)にかえればいいので、
    a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)は覚えない
    ただし、最後の「+b2」の所はb2→(−b)2だから、符号は+のままという事に注意。
  3. a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
    この公式は、あまり使わないから、最初は覚えなくていいかも。(逆は重要)パスカルの三角形を知れば、覚えるのは簡単。説明は数行下。
  4. a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3で、bを(−b)にかえればいいので、
    a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3覚えない
  5. (aX+b)(cX+d)=acX2+(ad+bc)X+bd
    覚えられない因数分解たすき掛けを使わない 応用で解説。

パスカルの三角形で展開の公式を導出

パスカルの三角形を知っていると3次式、4次式の展開の公式を覚えやすい。

以下の4行の性質は、右辺のどの項の指数(a、bの指数の和)も、左辺の指数と一致していて、各項の係数がパスカルの三角形により、簡単な足し算で求められる事です。

(a+b)1=            a+b
(a+b)2=        a2+2ab+b2
(a+b)3=    a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

パスカルの三角形の作り方

左右の両端は1です。2段目の二つの1を足して、3段目の2を作ります。3段目の1と2を足して、4段目の3を作ります。4段目の1と3を足して5段目の4を、3と3を足して6を作ります。

         1
        / \
       1   1
      / \ / \
     1      1
    / \ / \ / \
   1         1
  / \ / \ / \ / \
 1            1

これは、2項定理を簡単に表したものです。

このページのトップへ

因数分解の公式が使える簡単な問題

3x3+18x2y+27xy2
共通因数をくくり出す→因数分解の公式。

共通因数をくくり出す

共通因数は3Xだから3x3+18x2y+27xy2=
3x(x2+6xy+9y2)

基礎だから簡単ですね。ただし、これを最初に完全にやっておかないと、後が面倒になります。次に( )の中の(x2+6xy+9y2)を因数分解します。

因数分解の公式を使う

x2+6xy+9y2に因数分解の公式を使いますが、公式の中には、覚えてはいけない公式があります。また、x2+6xy+9y2=x2+2・3xy+32y2という事に気がつかなくてはいけません。9は3の二乗、だけでなく、121が11の二乗だという事を知っておく必要があります。

因数分解のどの公式を使うのかが、
わからないと、生徒は言うのだが

  1. 2+2AB+B2。項が三つで、そのうち2乗の項が二つ
  2. 2−B2。項が二つで2乗
  3. 3+B3。項が二つで3乗
  4. 2+(a+b)X+ab。項が三つで、そのうち2乗の項が一つ
  5. 3+3A2B+3AB2+B3。項が四つで、そのうち3乗の項が二つ

上記のような違いがあるのだから、どの公式を使えばいいか、判ると思うのだが。

公式より大事な事

1、4、9、16、等の数字を見た時に、12、22、32、42を思いつくかどうかだ。
172=289ぐらいまでは覚えておこう。82+152=172
同様に1、8、27、64が13、23、33、43になっている事に気がつかなくてはいけない。
3+1→A3+13に気がつかないと、公式を使う事を思いつかない。

因数分解の公式を使う前に、置き換えを使うと分かりやすい

因数分解の問題:(2A+B)2+5(2A+B)+6
慣れると、このままでも、できるが、
(2A+B)→Xと置き換えれば。
2+5X+6となって、簡単。

因数分解の基礎が理解できたら因数分解の公式が使えない問題

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。