1つの実数解と2つの虚数解を持つ三次方程式

三次方程式 X3+(R−1)X2−(R−1)X−1=0の解が次の二つの条件を満たす時、Rの範囲を求めよ。

  1. 一つの実数解を持つ。
  2. 二つの虚数解を持つ。

因数定理多項式の除法を使って、
X3+(R−1)X2−(R−1)X−1を
(X−1)(X2+RX+1)と変形する。

二つの虚数解を持つのだから、(X2+RX+1)の判別式D<0。

因数定理

三次方程式は因数定理を使って、次数を下げる事がヒントになる場合があります。

f(x)=X3(R−1)X2(R−1)X−1とおく。
2項目と3項目から(R−1)Xをくくり出すと
f(x)=X3(R−1)X (X−1)−1。
ここでX=1を代入すると真ん中の項が0になり、f(1)=0となる事に気づけば、因数定理が使えて、次数を下げる事ができます。三次方程式と因数定理

f(x)は(X−1)を因数に持つので、f(x)=(X−1)(X2+RX+1)となります。(X2+RX+1)を求めるには、多項式の除法を使います。

多項式の除法

多項式の除法は、整数の割り算と同じような方法で行う。多項式の除法の説明

    X+RX+1          
X−1)X+(R−1)X−(R−1)X−1   
        −X      
          RX−(R−1)X
          RX   −RX  
                  X−1
                  X−1
                    0

(X2+RX+1)の判別式D<0

D=R2−4・1・1<0。これは、二次不等式。
(二乗−二乗=和と差の積)。(R+2)(R−2)<0。
不等号< の左がCクローズなので、2<R<2。

二次不等式の典型的なパターン

a<bの時

  1. (X-a)(X-b)>0は、X<a、b<Xとなる。
    Xが数直線でa,bの外側。オープン。二次不等式の答がオープン
  2. (X-a)(X-b)<0は、a<X<bとなる。
    Xが数直線でa,bの内側。クローズ。二次不等式の答がクローズ

二次不等式の解の安直な覚え方

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。