1つの実数解と2つの虚数解を持つ三次方程式

三次方程式 X3＋(R－1)X2－(R－1)X－１=０の解が次の二つの条件を満たす時、Rの範囲を求めよ。

  1. 一つの実数解を持つ。
  2. 二つの虚数解を持つ。

因数定理と多項式の除法を使って、
X3＋(R－1)X2－(R－1)X－１を
(X－1)(X2＋RX＋1)と変形する。

二つの虚数解を持つのだから、(X2＋RX＋1)の判別式D<0。

因数定理

三次方程式は因数定理を使って、次数を下げる事がヒントになる場合があります。

f(x)=X3＋(R－1)X2－(R－1)X－１とおく。
２項目と３項目から(R－1)Xをくくり出すと
f(x)=X3＋(R－1)X (X－1)－１。
ここでX=1を代入すると真ん中の項が0になり、f(1)=0となる事に気づけば、因数定理が使えて、次数を下げる事ができます。三次方程式と因数定理

f(x)は(X－1)を因数に持つので、f(x)=(X－1)(X2＋RX＋1)となります。(X2＋RX＋1)を求めるには、多項式の除法を使います。

多項式の除法

多項式の除法は、整数の割り算と同じような方法で行う。組立除法より簡単です。多項式の除法の説明

　　　　Ｘ２＋ＲＸ＋１　　　　　　　　　　
Ｘ－１）Ｘ３＋(Ｒ－１)Ｘ２－(Ｒ－１)Ｘ－１　　　
　　　　Ｘ３　　　　－Ｘ２　 ↓　　　　 ↓
　　　　　　　　　　ＲＸ２－(Ｒ－１)Ｘ　↓
　　　　　　　　　　ＲＸ２　　　－ＲＸ　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ－１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ－１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０

(X2＋RX＋1)の判別式D<0

D=R2－４・１・１<0。これは、二次不等式。
(二乗－二乗=和と差の積)。(R＋2)(R－2)<0。
不等号< の左がCクローズなので、２＜R＜２。

二次不等式の典型的なパターン

a＜bの時

  1. (X-a)(X-b)>0は、X＜a、b＜Xとなる。
    Xが数直線でa,bの外側。オープン。二次不等式の答がオープン
  2. (X-a)(X-b)<0は、a＜X＜bとなる。
    Xが数直線でa,bの内側。クローズ。二次不等式の答がクローズ

二次不等式の解の安直な覚え方オープンとクローズ

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。