虚数解を持つ三次方程式の問題

三次方程式の解法

1. 問題の文章を式にする。
2. 式を組み合わせる。（連立方程式）
3. 答が出る直前の状態を考える。

問題の文章の条件を式にする

一つの実数解と二つの虚数解という条件を式にする。

一つの実数解

一つの実数解をａとすると、（条件１）
ｆ（Ｘ）＝Ｘ^３＋ＡＸ^２＋（Ａ＋８）Ｘ＋９＝（Ｘ−ａ）（Ｘ^２＋ｂＸ＋ｃ）・・・（１）
と因数分解される。

二つの虚数解

二つの虚数解を持つという事は、（条件２）
（Ｘ^２＋ｂＸ＋ｃ）＝０の判別式が負という事。
判別式D＝ｂ^２−４×（+1）×ｃ＜０・・・（２）
判別式と解の個数

式を組み合わせる

条件を式に直したので、（１）と（２）の式だけを見る。

答が出る直前の状態

Ａの範囲を求めるという事は、Ａ＞？？のような不等式を求めるという事だ。
不等式は（２）のｂ^２−４ｃ＜０だが、Ａがない。
よって、（１）の式からｂ＝？？、ａ＝？？、ｃ＝？？を求めて（２）の式に代入すれば良い。

式の展開、係数を比較

（１）の式からｂ＝？？を求めるには、どうしたら良いだろうか。

右辺を展開

　Ｘ^３　　　　＋ＡＸ^２　＋（Ａ＋８）Ｘ　＋９
＝（Ｘ−ａ）（Ｘ^２＋ｂＸ＋ｃ）
＝Ｘ^３＋（ｂ−ａ）Ｘ^２＋（ｃ−ａｂ）Ｘ−ａｃ

係数を比較

1. Ａ＝ｂ−ａ
2. Ａ＋８＝ｃ−ａｂ
3. ９＝−ａｃ

連立方程式から二次不等式

ここで、ａが整数であるという保証はないのだが、９＝−ａｃから
ｆ（Ｘ）＝Ｘ^３＋ＡＸ^２＋（Ａ＋８）Ｘ＋９＝０となるＸの候補は+1,+3,+9,-1,-3,-9
+の値は０になりそうにないから、-1,-3,-9の順に代入してみると、
ｆ（-1）＝（-1）^３＋Ａ（-1）^２＋（Ａ＋８）（-1）＋９＝０となり、
ｆ（Ｘ）＝（Ｘ−（-1））（・・・）と因数分解できる事が分かる。
因数定理による三次方程式の解法
この時、ａ＝−1、ｃ＝９となるので、1.の式に代入して、
Ａ＝ｂ−ａ＝ｂ−（−1）　→　ｂ＝Ａ−1。ｃ＝９とともに（２）の式に代入すれば、
ｂ^２−４ｃ＜０　は　（Ａ−1）^２−４×９＜０。Ａの二次不等式となる。
（Ａ−1）^２−６^２＜０。二乗−二乗だから、（Ａ−1＋６）（Ａ−1−６）＜０。
（Ａ＋５）（Ａ−７）＜０　→　（Ａ−(−５)）（Ａ−７）＜０。
クローズだから、−５＜Ａ＜７。 二次不等式の安直な解法

この三次方程式の問題は、適切な問題ではないかもしれませんが、数学の問題の解き方のコツを示す例です。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。