3次方程式の問題と解法

三次方程式の問題
三次方程式X+AX+(A+8)X+9=0の解が
次の二つの条件を満たす時、Aの範囲を求めよ。

  1. 一つの実数解を持つ。条件1
  2. 二つの虚数解を持つ。条件2

三次方程式の解法

数学の問題の解き方のコツ

  1. 問題の文章を式にする。
  2. 式を組み合わせる。(連立方程式)
  3. 答が出る直前の状態を考える。

問題の文章の条件を式にする

一つの実数解と二つの虚数解という条件を式にする。

一つの実数解

一つの実数解をaとすると、(条件1)
f(X)=X+AX+(A+8)X+9=(X−a)(X+bX+c)・・・(1)
と因数分解される。

二つの虚数解

二つの虚数解を持つという事は、(条件2)
(X+bX+c)=0の判別式が負という事。
判別式D=b−4×(+1)×c<0・・・(2)
サイト内リンク判別式と解の個数

式を組み合わせる

条件を式に直したので、(1)と(2)の式だけを見る。

答が出る直前の状態

Aの範囲を求めるという事は、A>??のような不等式を求めるという事だ。
不等式は(2)のb−4c<0だが、Aがない。
よって、(1)の式からb=??、a=??、c=??を求めて(2)の式に代入すれば良い。

式の展開、係数を比較

(1)の式からb=??を求めるには、どうしたら良いだろうか。

右辺を展開

 X    +AX +(A+8)X +9=(X−a)(X+bX+c)
=X+(b−a)X+(c−ab)X−ac

係数を比較
  1. A=b−a
  2. A+8=c−ab
  3. 9=−ac

連立方程式から二次不等式

ここで、aが整数であるという保証はないのだが、9=−acから
f(X)=X+AX+(A+8)X+9=0となるXの候補は+1,+3,+9,-1,-3,-9
+の値は0になりそうにないから、-1,-3,-9の順に代入してみると、
f(-1)=(-1)+A(-1)+(A+8)(-1)+9=0となり、
f(X)=(X−(-1))(・・・)と因数分解できる事が分かる。
サイト内リンク因数定理による三次方程式の解法
この時、a=−1、c=9となるので、1.の式に代入して、
A=b−a=b−(−1) → b=A−1。c=9とともに(2)の式に代入すれば、
−4c<0 は (A−1)−4×9<0。二次不等式となる。
(A−1)−6<0。二乗−二乗だから、(A−1+6)(A−1−6)<0。
(A+5)(A−7)<0 → (A−(−5))(A−7)<0。
クローズだから、−5<A<7。 サイト内リンク二次不等式の安直な解法

この三次方程式の問題は、適切な問題ではないかもしれませんが、数学の問題の解き方のコツを示す例です。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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