二次方程式の解と係数の関係α+β,αβ
二次方程式 X2+bX+c=0の解が、αとβの時、α+β=−b、αβ=cであると、数学の先生は説明します。抽象的で、分かりにくい説明です。公式を丸暗記しないで、(X−α)(X−β)を展開すれば、X2−(α+β)X+αβとなります。α+β=−b、αβ=cは明らかです。
二次方程式の解と係数の問題1
二次方程式 X2+bX+c=0の解が、X=2、3の時、係数bと係数cを求めよ。
解答1
解が、X=2、3という事は、
(X−2)(X−3)=0と因数分解されるという事です。この式を展開すれば、
X2−5X+6=0となり、
X2+bX+c=0と係数を比較すれば、b=−5、c=6となります。
二次方程式の解と係数の問題2
二次方程式 X2−5X+6=0の解が、αとβの時、α+βとαβを求めよ。
解答2
解が、αとβという事は、
(X−α)(X−β)=0と因数分解されるという事です。この式を展開すれば、
X2−(α+β)X+αβ=0となり、
X2−5X+6=0と係数を比較すれば、α+β=5、αβ=6となります。
二次方程式の解と係数の問題3 対称式
二次方程式 X2−5X+6=0の解が、αとβの時、
- α2+β2を求めよ。
- α3+β3を求めよ。
- 1/α+1/βを求めよ。
上の3つの例のように、αとβを交換しても値の変わらない式を、αとβについての対称式と言います。 αとβについての対称式は、必ず、α+βとαβで表す事ができます。
解答3
- α2+β2=(α+β)2−2αβだから、α+β=5、αβ=6を代入して、
α2+β2=(α+β)2−2αβ=52−2×6=13 - 因数分解の三乗の公式α3+β3
=(α+β)(α2−αβ+β2)
=(α+β){(α+β)2−3αβ}
=5×{(5)2−3×6}=35 - (1/α)+(1/β)=β/αβ+α/αβ(分母をαβに通分)
=(α+β)/αβ=5/6
二次方程式の解と係数の問題4
二次方程式 X2−√11X+4=0の解が、αとβの時、
- α2+β2を求めよ。
- α3+β3を求めよ。
- α+βの整数部分をA、小数部分をBとする時。A、B、(B+3)(B3+6B2+6)の値をそれぞれ求めよ。
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