二次方程式の解と係数の関係α+β,αβ

二次方程式の解と係数の問題１

二次方程式 Ｘ²＋ｂＸ＋ｃ＝０の解が、Ｘ＝２、３の時、係数ｂと係数ｃを求めよ。

解答１

解が、Ｘ＝２、３という事は、
（Ｘ−２）（Ｘ−３）＝０と因数分解されるという事です。この式を展開すれば、
Ｘ²−５Ｘ＋６＝０となり、
Ｘ²＋ｂＸ＋ｃ＝０と係数を比較すれば、ｂ＝−５、ｃ＝６となります。

二次方程式の解と係数の問題２

二次方程式 Ｘ²−５Ｘ＋６＝０の解が、αとβの時、α＋βとαβを求めよ。

解答２

解が、αとβという事は、
（Ｘ−α）（Ｘ−β）＝０と因数分解されるという事です。この式を展開すれば、
Ｘ²−（α＋β）Ｘ＋αβ＝０となり、
Ｘ²−５Ｘ＋６＝０と係数を比較すれば、α＋β＝５、αβ＝６となります。

二次方程式の解と係数の問題３ 対称式

二次方程式 Ｘ²−５Ｘ＋６＝０の解が、αとβの時、

1. α²＋β²を求めよ。
2. α³＋β³を求めよ。
3. 1/α＋1/βを求めよ。

上の３つの例のように、αとβを交換しても値の変わらない式を、αとβについての対称式と言います。 αとβについての対称式は、必ず、α＋βとαβで表す事ができます。

解答３

1. α²＋β²＝（α＋β）²−２αβだから、α＋β＝５、αβ＝６を代入して、
   α²＋β²＝（α＋β）²−２αβ＝５²−２×６＝１３
2. 因数分解の三乗の公式α³＋β³
   ＝（α＋β）（α²−αβ＋β²）
   ＝（α＋β）｛（α＋β）²−３αβ｝
   ＝５×｛（５）²−３×６｝＝３５
3. （1/α）＋（1/β）＝β/αβ＋α/αβ（分母をαβに通分）
   ＝（α＋β）/αβ＝５/６

二次方程式の解と係数の問題４

二次方程式 Ｘ²−√11Ｘ＋４＝０の解が、αとβの時、

1. α²＋β²を求めよ。
2. α³＋β³を求めよ。
3. α＋βの整数部分をＡ、小数部分をＢとする時。Ａ、Ｂ、（Ｂ＋３）（Ｂ³＋６Ｂ²＋６）の値をそれぞれ求めよ。

解答は二次方程式の解と係数の問題 対称式

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