二次方程式の解と係数の基本

二次方程式の解と係数の関係と対称式。対称式とは、α+β、αβ、α2+β2などのように、αとβを交換しても値の変わらない式。
XY+YZ+ZXはX、Y、Zについての対称式です。(高校と中学の数学)

二次方程式の解と係数の問題1

二次方程式 X2+bX+c=0の解が、X=2、3の時、係数bと係数cを求めよ。

解答1

解が、X=2、3という事は、
(X−2)(X−3)=0と因数分解されるという事です。 この式を展開すれば、
2−5X+6=0となり、
2+bX+c=0と係数を比較すれば、b=−5、c=6となります。

二次方程式の解と係数の関係 教科書的説明

二次方程式 X2+bX+c=0の解が、αとβの時、 α+β=−b、αβ=cであると、数学の先生は説明します。抽象的で、分かりにくい説明です。

二次方程式の解と係数の問題2

二次方程式 X2−5X+6=0の解が、αとβの時、
α+βとαβを求めよ。

解答2

解が、αとβという事は、
(X−α)(X−β)=0と因数分解されるという事です。 この式を展開すれば、
2−(α+β)X+αβ=0となり、
2−5X+6=0と係数を比較すれば、α+β=5、αβ=6となります。

二次方程式の解と係数の問題3

二次方程式 X2−5X+6=0の解が、αとβの時、

  1. α+βとαβを求めよ。
  2. α2+β2を求めよ。
  3. α3+β3を求めよ。
  4. 1/α+1/βを求めよ。

上の3つの例のように、αとβを交換しても値の変わらない式を、αとβについての対称式と言います。
αとβについての対称式は、必ず、α+βとαβで表す事ができます。

解答3

  1. 二次方程式の解と係数の問題2より、α+β=5、αβ=6。
  2. α2+β2=(α+β)2−2αβだから、α+β=5、αβ=6を代入して、
    α2+β2=(α+β)2−2αβ=52−2×6=13
  3. α3+β3=(α+β)(α2−αβ+β2)因数分解の三乗の公式
    =(α+β)(α2−αβ+β2)=(α+β){(α+β)2−3αβ}
    =5×{(5)2−3×6}=35
  4. (1/α)+(1/β)=β/αβ+α/αβ(分母をαβに通分)
    =(α+β)/αβ=5/6

二次方程式の解と係数の問題4

二次方程式 X2−√11X+2=0の解が、αとβの時、

  1. α+βとαβを求めよ。
  2. α2+β2を求めよ。
  3. α3+β3を求めよ。
  4. α+βの整数部分をA、小数部分をBとする時。
    A、B、(B+3)(B3+6B2+6)の値をそれぞれ求めよ。

解答はサイト内リンク二次方程式の解と係数の問題

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
↑二次方程式の解と係数の基本の一番上へ↑