倍数の判定法の例題

11の倍数の判定法の例題

1. 例題：2桁の整数ab(10a+bの意味)が11の倍数でなく、3桁の整数a0b(100a+10×0+bの意味)が11の倍数になるのは、どんな時か。(a,b)の組み合わせを全て求めよ。

   答：(2,9) (3,8) (4,7) (5,6) (6,5) (7,4) (8,3) (9,2)

   解説：１桁ずつ区切り引く方法でも、２桁ずつ区切り足す方法でも、a0bが11の倍数である事は、a+bが11の倍数(0を含む)である事と同値です。a+bが11の倍数になるのは、上の答に限りますが、どの場合も、abは11の倍数になりません。

   ３桁ずつ区切る方法では、できません。

2. 例題：6桁の数字、『１３５□７９』の□に0～9の数字を入れて、11の倍数にするには、何を入れたら良いでしょう。

   答：１

   解説：引く方法で解きます。□に入る数字をＸとします。偶数桁目の数の和－奇数桁目の数の和＝（１+５+７）－（３+Ｘ+９）＝１－Ｘ。これが、０か１１か－１１になるので、Ｘ＝１。

3. 例題：5桁の数字、『２４６□□』の□に0～9の数字を入れて、22の倍数にするには、何を入れたら良いでしょう。

   答：２４６□□は(^は乗という意味)

   • 24618=2×3×11×373
   • 24640=2^6×5×7×11
   • 24662=2×11×19×59
   • 24684=2^2×3×11^2×17

   解説：□□に入る数字をＸとＹとします。2の倍数であるために、Ｙは0,2,4,6,8である必要があります。

   • ２桁ずつ区切り、足す方法。

     2+46+10Ｘ+Ｙ=44+4+10Ｘ+Ｙ。4+10Ｘ+Ｙが11の倍数。つまり、10Ｘ+Ｙは(11の倍数－４)。0≦10Ｘ+Ｙ≦98かつ10Ｘ+Ｙは偶数なので、10Ｘ+Ｙ＝１８、４０、６２、８４。

   • １桁ずつ区切り、引く方法。

     下から奇数桁目の数の和=Ｙ+6+2。偶数桁目の数の和=Ｘ+4。この二つの和の差=4+Ｙ-Ｘ=0か11。

     • Ｙ=0の時(4+0-X=0か11)Ｘ=4
     • Ｙ=2の時(4+2-X=0か11)Ｘ=6
     • Ｙ=4の時(4+4-X=0か11)Ｘ=8
     • Ｙ=6の時(4+6-X=0か11)解なし
     • Ｙ=8の時(4+8-X=0か11)Ｘ=1

4. 例題：10桁の整数:2001911093のどこかに0を入れて、11桁の11の倍数にする。

   答：9と3の間に0を入れる。20019110903=11x17x9067x11807

   解説：２桁ずつ区切り足す方法で、2+00+19+11+09+03=44なので、20019110903は11の倍数。この方法で調べると、他の場所に0を入れても、11の倍数にはならない。

4の倍数と6の倍数の判定法の例題

1. 例題：1から1000までの整数のうち、4の倍数は、何個ありますか。

   答：２５０

   解説：１番目：4×1=4。２番目：4×2=8。２５０番目：4×250=1000。

2. 例題：1から1000までの4の倍数のうち、小さい方から100番目の数は何ですか。

   答400：

   解説：１番目：4×1=4。２番目：4×2=8。…100番目：4×100=400。

3. 例題：1から1000までの整数のうち、4の倍数でもあり、6の倍数でもある数は、何個ありますか。

   答８３個：

   解説：4の倍数でもあり、6の倍数でもある数は、4と6の最小公倍数12の倍数。12×83=996。12×84=1008（これは1000を超えている）。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。