絶対値を2つ含む不等式の問題と解き方

絶対値を含む不等式 問題1

問題1　|X|＞3。
答　X＞±3。あるいは、答　X＞＋3、X＞―3　は間違いです。
絶対値を外すと±がつくと、考えるのは間違いです。
基本の考え方は、Xがプラスの場合とマイナスの場合に分けて、

• プラスの場合。|X|=X。だから、問題1はX＞3となります。(付帯条件 X≧0)
  連立不等式(X≧0、X＞3)を解いて、
  答 X＞3
  連立不等式の解き方
• マイナスの場合。｜X｜= -X。だから、問題1は-X＞3。よってX＜-3。(付帯条件 X＜0)
  連立不等式( X＜0、X＜-3)を解いて、
  答 X＜-3

上記２つを合わせて、答はX＜-3、3＜X。

絶対値を含む不等式 場合分け2つの問題2

問題2　|X-3|＞5。
答　X-3＞±5は間違いです。絶対値を外すと±がつくと、考えては、いけません。
正しい考え方は、X-3がプラスの場合とマイナスの場合に分けて

• プラスの場合。｜X-3｜=X-3。だから、問題2はX-3＞5。つまり、X＞8。(付帯条件 X-3≧0、つまりX＞3)
  連立不等式(X＞3、X＞8)を解いて、
  答 X＞8
• マイナスの場合。｜X-3｜=-(X-3)。だから、問題2は-(X-3)＞5。つまり、X＜-2。(付帯条件 X-3＜0、つまりX＜3)
  連立不等式(X＜3、X＜-2)を解いて、
  答 X＜-2

上記２つを合わせて、答はX＜-2、8＜X

絶対値を2つ含む不等式 場合分け3つの問題3

問題3　|X-3|＞|X|。
絶対値を外すと±がつくと、考えていると、±(X-3)＞±X。これ解けますか。
「X-3」、「X」の正負はXの値が0と3で変化しますから、
X＜0、0≦X＜3、3≦Xの三つの場合に分けます。

• (条件 X＜0の場合)
  X-3＜0だから、|X-3|=-(X-3)=-X+3。
  X＜0だから。|X|=-X。よって、
  問題3は-X+3＞-Xとなります。
  これを解けば、+3＞0という事になり、
  全ての実数。 ただし、条件があるので、
  答　X＜0
• (条件 0≦X＜3の場合)
  X-3＜0だから、|X-3|=-(X-3)=-X+3。
  X≧0だから。|X|=X。よって、
  問題3は-X+3＞Xとなります。
  これを解けば、+3＞2Xという事になり、
  X＜3/2。(条件 0≦X＜3)を組み合わせて
  連立不等式(0≦X＜3、X＜3/2)を解いて、
  答 0≦X＜3/2
• (条件 3≦Xの場合)
  X-3＞0だから、|X-3|=(X-3)。
  X≧0だから。|X|=X。よって、
  問題3はX-3＞Xとなります。
  これを解けば、-3＞0という事になり、
  解なし。

上記３つを合わせて答はX＜3/2。

問題3　|X-3|＞|X|をグラフで解く

Y=|X-3|のグラフがY=|X|のグラフより上になるのは、X＜3/2。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。