二次方程式の解と係数の問題

二次方程式 X2−√11X+4=0の解が、αとβの時、

  1. α+βとαβを求めよ。
  2. α2+β2を求めよ。
  3. α3+β3を求めよ。
  4. α+βの整数部分をA、小数部分をBとする時。
    A、 B、 (B+3)(B3+6B2+6)の値をそれぞれ求めよ。

二次方程式の解と係数の問題0

二次方程式 X2−√11X+4=0の解がαとβの時、α+βとαβを求めよ。

解答0

二次方程式の解と係数の関係より、α+β=√11、αβ=4。

二次方程式の解と係数の問題1

二次方程式 X2−√11X+4=0の解が、αとβの時、α2+β2を求めよ。

解答1

α2+β2=(α+β)2−2αβだから、α+β=√11、αβ=4を代入して、
α2+β2=(α+β)2−2αβ=(√11)2−2×4=3

二次方程式の解と係数の問題2

二次方程式 X2−√11X+4=0の解が、αとβの時、α3+β3を求めよ。

解答2

α3+β3=(α+β)(α2−αβ+β2)因数分解の三乗の公式
=(α+β)(α2−αβ+β2)=(α+β){(α+β)2−3αβ}
=√11×{(√11)2−3×4}=−√11
α3+β3がマイナスの値になるのは何故?

補足 判別式

α+β=√11、αβ=4から、α、βはプラスの数と思ってはいけません。
α3+β3がマイナスの値になるのは、
二次方程式 X2−√11X+4=0の判別式b2−4ac<0となり、
=(−√11)2−4×1×4=−5<0
α、βが虚数だからです。

二次方程式の解と係数の問題3

二次方程式 X2−√11X+4=0の解が、αとβで、
α+βの整数部分をA、小数部分をBとする時。
A、 B、 (B+3)(B3+6B2+6)の値をそれぞれ求めよ。

解答3

α+β=√11なので、√11の整数部分をA、小数部分をBとするという事です。
3=√9<√11<√16=4だから、√11=3......=整数部分3+小数部分B
√11=3+B、B=√11−3となります。このB=√11−3を
(B+3)(B3+6B2+6)に代入すれば、答は出ますが、計算が面倒です。
(B+3)=√11だから、そのままにしておいて、
(B3+6B2+6)を(B+3)が出てくるように変形します。
〔B3+6B2+6〕=〔B(B2+6B)+6〕=〔B{(B+3)2−9}+6〕
結局
(B+3)(B3+6B2+6)=(B+3)×〔B{(B+3)2−9}+6〕
(B+3)=√11、B=√11−3を代入すれば、
=(√11)×〔(√11−3){(√11)2−9}+6〕
=(√11)×〔(√11−3){2}+6〕
=(√11)×〔{2}√11−3×{2}+6〕
=(√11)×〔{2}√11〕=22

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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