二次関数の決定 3点 頂点 軸

二次関数の一般式は２つあります。

  1. Y＝aX２＋bX＋c
  2. Y＝a(X－b)２＋c

二次関数の決定をわかりやすく説明すると、上の二次関数の一般式のどちらかで、a,b,cを決定するという事です。どちらを使うかは、「頂点」「軸」という言葉がポイントになります。

その過程で連立方程式を解く事になりますが、a,b,cの３つを決定するので、基本的には、式が３つの三元連立方程式（a,b,cについての）を解く事になります。式を３つ作るには条件が３つ必要です。

式を作るための条件

  1. 二次関数のグラフが（x1,y1）を通る。
    →二次関数の一般式にX＝x1,Y＝y1を代入して、式を作ります。
    二次関数に限らず、「（x1,y1）を通る」という事は、その関数を表す式にX＝x1,Y＝y1を代入して良いという事です。
  2. 二次関数のグラフの頂点が（x1,y1）。
    →Y＝a(X－b)２＋cの、bに頂点のX座標を、cに頂点のY座標を代入して、式を作ります。条件２個分になります。
    「頂点」「軸」という言葉がある時は必ず、一般式 Y＝a(X－b)２＋cを使います。ない時は、Y＝aX２＋bX＋cを使います。
  3. 二次関数のグラフの軸がX＝x1。
    →Y＝a(X－b)２＋cの、bに軸のx1を代入して、式を作ります。
    軸がx1という事は、頂点のX座標がx1という事です。

上の条件のうち、３つが問題文中に書いてあります。

二次関数の決定の問題

  1. 3点を通る二次関数
  2. 頂点と一つの点を通る二次関数
  3. 軸と２つの点を通る二次関数

問題１　三つの点を通る二次関数

3点（0,1）（1,2）（2,7）を通る。
「頂点」「軸」という言葉がないから、Y＝aX２＋bX＋cを使います。
（0,1）を通るから、X=0、Y=1を代入してc＝１が決まります。
X=1、Y=2を代入した式とX=2、Y=7を代入した式の２元連立方程式を解いて、
a＝2、b＝-1となります。
答は、Y＝2X２-X＋1。

問題２　頂点と一つの点を通る二次関数

頂点が（1,2）、点（3,14）を通る。
「頂点」という言葉があるから、Y＝a（X－b）２＋cを使います。
頂点のX座標、頂点のY座標を代入して、Y＝a（X－1）２＋2となります。
点（3,14）を通るから、X=3、Y=14を代入して、14＝a（2）２＋2、4a＝12、a＝3。
答は、Y＝3（X－1）２＋2。

問題３　軸と２つの点を通る二次関数

軸がX＝１、点（２,５）（3,14）を通る。
Y＝a（X－b）２＋cを使います。
軸がX＝１なので、Y＝a（X－１）２＋cとなります。
X=2、Y=5を代入した式とX=3、Y=14を代入した式の２元連立方程式を解いて、
a＝3、c＝2となります。
答は、Y＝3（X－1）２＋2。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。