二次関数の決定

二次関数の一般式

  1. Y=aX+bX+c
  2. Y=a(X−b)+c

二次関数の決定とは、上の二次関数の一般式のどちらかで、a,b,cを決定する事です。
その過程で連立方程式を解く事になりますが、a,b,cの3つを決定するので、式が3つの三元連立方程式(a,b,cについての)を解く事になります。式を3つ作るには条件が3つ必要です。

式を作るための条件

  1. 二次関数のグラフが(x1,y1)を通る。
    →二次関数の一般式にX=x1,Y=y1を代入して、式を作ります。
    /*二次関数に限らず、「(x1,y1)を通る」という事は、その関数を表す式にX=x1,Y=y1を代入して良いという事です。*/
  2. 二次関数のグラフの頂点が(x1,y1)。
    →Y=a(X−b)+cの、
    bに頂点のX座標を cに頂点のY座標を代入して、式を作ります。
    条件2個分になります。
    /*「頂点」「軸」という言葉がある時は必ず、一般式 Y=a(X−b)+cを使います。ない時は、Y=aX+bX+cを使います。*/
  3. 二次関数のグラフの軸がX=x1。
    →Y=a(X−b)+cの、bに軸のx1を代入して、式を作ります。
    /*軸がx1という事は、頂点のX座標がx1という事です。*/

上の4つの条件のうち、3つが問題文中に書いてあります。

二次関数の決定の問題

  1. 三つの点を通る二次関数
  2. 頂点と一つの点を通る二次関数
  3. 軸と2つの点を通る二次関数

問題1 三つの点を通る二次関数

三点(0,1)(1,2)(2,7)を通る。
「頂点」「軸」という言葉がないから、Y=aX+bX+cを使います。
(0,1)を通るから、X=0、Y=1を代入してc=1が決まります。
X=1、Y=2を代入した式とX=2、Y=7を代入した式の2元連立方程式を解いて、
a=2、b=-1となります。
答は、Y=2X-X+1。

問題2 頂点と一つの点を通る二次関数

頂点が(1,2)、点(3,14)を通る。
「頂点」という言葉があるから、Y=a(X−b)+cを使います。
頂点のX座標、頂点のY座標を代入して、Y=a(X−1)+2となります。
点(3,14)を通るから、X=3、Y=14を代入して、14=a(2)+2、4a=12、a=3。
答は、Y=3(X−1)+2。

問題3 軸と2つの点を通る二次関数

軸がX=1、点(2,5)(3,14)を通る。
Y=a(X−b)+cを使います。
軸がX=1なので、Y=a(X−1)+cとなります。
X=2、Y=5を代入した式とX=3、Y=14を代入した式の2元連立方程式を解いて、
a=3、c=2となります。
答は、Y=3(X−1)+2。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。
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