三次方程式 因数分解による解き方と多項式の除法

三次方程式の因数分解による解き方

三次方程式を解くとは、因数分解して、(X-A)(X-B)(X-C) = 0 とする事です。この時、三次方程式の解はX=A, B, Cとなります。

三次方程式の練習問題

三次方程式Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝０の解は？
左辺を因数分解すると、（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）＝０ですから、解はＸ＝１，２，３です。

左辺を因数分解するには、どうしたら良いかは、追々、説明します。

解の求め方

練習問題の解、１，２，３をどうしたら求められるでしょうか。

ｆ（Ｘ）＝Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）とすると、

• ｆ（１）＝（１−１）×（１−２）×（１−３）＝０
• ｆ（２）＝（２−１）×（２−２）×（２−３）＝０
• ｆ（３）＝（３−１）×（３−２）×（３−３）＝０

これが、なんとなくの因数定理です。少し正確に言うと、ｆ(a)=0ならば、ｆ(X)は、(X-a)を因数に持つというのが因数定理です。（当たり前だけど）

解の候補

(X-A)(X-B)(X-C)を展開するとX³…−ABCですが、練習問題の場合は、（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）を展開すると、X^３・・・−６となります。

−ABCが−６だから、A、B、Cの候補は定数項ABCの約数。つまり、かけて、−６になる数です。

よって、解の候補は＋１、＋２、＋３、＋６、−１、−２、−３、−６です。
ｆ(１)、ｆ(２)、ｆ(３)、ｆ(６)、ｆ(−１)、ｆ(−２)、ｆ(−３)、ｆ(−６)を計算すると、ｆ(Ｘ)＝０となるのはＸ＝１、２、３の時で、解はＸ＝１，２，３です。

ただ、ｆ(１)からｆ(−６)までを全て計算するのは面倒です。実は、1つだけで計算すれば良いのですが。

三次方程式の解き方・教科書の解法

1. 解の候補を１つだけ求めます。

   計算が簡単なｆ（１）を求めると、ｆ（１）＝０となる事が分かります。

   因数定理よりｆ（Ｘ）は（Ｘ−１）で割り切れて、Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ^２＋□Ｘ＋△）となるはずです。

2. 多項式の除法で（Ｘ^２＋□Ｘ＋△）を求めます。

   （Ｘ^２＋□Ｘ＋△）＝（Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６）÷（Ｘ−１）＝Ｘ^２−５Ｘ＋６になって、Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）Ｘ^２−５Ｘ＋６となります。

   ここで問題なのは、Ｘ^２−５Ｘ＋６の求め方ですが、これは以下の多項式の除法で行ないます。

3. 次数が３次方程式から２次方程式に下がった（バンザーイ）。

   （Ｘ^２−５Ｘ＋６）を因数分解する。（かけて＋６、足して−５になるのは、−２と−３）

   （Ｘ^２−５Ｘ＋６）＝（Ｘ−２）（Ｘ−３）
   よって、Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６＝（Ｘ−１）（Ｘ−２）（Ｘ−３）。解はＸ＝１，２，３です。

因数分解できない時は、解の公式を使う。あるいは、因数分解たすき掛けを使わない方法 応用

多項式の除法

• 多項式の除法は、整数の割り算と同じような方法で行います。組立除法より簡単です。
• マイナスを引くとプラスになる事に注意。

多項式の除法　筆算

1. Ｘ^３−６Ｘ^２＋１１Ｘ−６の先頭Ｘ^３とＸ−１の先頭Ｘだけを見てＸ^２を立てます。Ｘ^２とＸ−１をかけて、Ｘ^３−Ｘ^２。引き算してから、＋１１Ｘを下ろします。
2. −５Ｘ^２＋１１Ｘの先頭−５Ｘ^２とＸ−１の先頭Ｘだけを見て−５Ｘを立てます。 −５ＸとＸ−１をかけて、−５Ｘ^２＋５Ｘ。引き算してから、−６を下ろします。
3. ６Ｘ−６の先頭６ＸとＸ−１の先頭Ｘだけを見て６を立てます。６とＸ−１をかけて、６Ｘ−６。引き算して０、割り切れました。

ややこしい感じがしますが、先頭だけを見るという事に注意すれば、小学校の割り算と同じです。組立除法より簡単な理由がここにあります。

整数の割り算　筆算

これは、小学生のレベルですから、以下の説明を見る必要はないでしょう。前の多項式の除法との関係で書きました。

1. ７と３を見て、２を立てます。２と３をかけて、６。引き算し４を下ろします。
2. １４と３を見て、４を立てます。４と３をかけて、１２。引き算し１を下ろします。
3. ２１と３を見て、７を立てます。７と３をかけて２１。引き算し０。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。