因数分解の公式は覚えない。2つの公式が重要

因数分解の公式は、できる限り覚えない。というか覚えられない。重要な公式は太字の2つ。

中学の因数分解の公式は4つ

  1. a2＋２ab＋b2＝(a＋b)2 2乗公式
  2. a2−２ab＋b2＝(a−b)2
  3. a2−b2＝(a＋b)(a−b)2乗引く2乗の公式
  4. X2＋(a＋b)X＋ab＝(X＋a)(X＋b)

高校の因数分解の公式は5つ

  1. a3＋b3＝(a＋b)(a2−ab＋b2) 3乗公式
  2. a3−b3＝(a−b)(a2＋ab＋b2)
  3. a3＋３a2b＋３ab2＋b3＝(a＋b)3
    パスカルの三角形で公式を導出
  4. a3−３a2b＋３ab2−b3＝(a−b)3
  5. (aX＋b)(cX＋d)=acX2＋(ad＋bc)X＋bd

覚えない公式と覚える公式

X2＋(a＋b)X＋ab＝(X＋a)(X＋b)と
a3＋b3＝(a＋b)(a2−ab＋b2)が重要。上記９つの公式について、覚える、覚えない、覚え方を説明します。万人に共通の覚え方はないので、最終判断は個人です。公式を意味を考えずに覚えるのでは、数学を好きになる事はできません。

X2＋(a＋b)X＋ab＝(X＋a)(X＋b)から　３つの公式

  1. X2＋(a＋b)X＋ab＝(X＋a)(X＋b)
    公式として、この形のままで覚えない。覚えても、複雑すぎて使えないでしょう。
    これは、X2＋５X＋６=0を因数分解して解く形のパターン。かけて６、足して５になる２つの数字を見つけるパターンです。
    ２×３=６、２＋３=５なので、
    X2＋５X＋６=(X＋２)(X＋３)と因数分解します。詳しくは 因数分解で、たすきがけは使わない(準備)へ。この方法が身についていれば、次の３つの公式が導出できます。
  2. X2＋２bX＋b2。かけてb2、足して２bになる２つの文字式を見つけるパターンです。
    b×b=b2、b＋b=２bなので、
    X2＋２bX＋b2＝(X＋b)(X＋b)と因数分解
    Xをaに変えれば、2乗の公式になるので
    a2＋２ab＋b2＝(a＋b)2は覚えない。
  3. a2＋２ab＋b2＝(a＋b)2でbを(−b)にかえればいいので、
    a2−２ab＋b2＝(a−b)2は覚えない。
  4. X2−b2をX2＋0X−b2と思えば。
    かけて−b2、足して0になる２つの文字式を見つけるパターンです。
    b×(−b)=−b2、b＋(−b)=0なので、
    X2−b2＝(X＋b)(X−b)、Xをaに変えれば
    a2−b2＝(a＋b)(a−b)が導出されます。
    ただし、この形で覚えるのではなく、「二乗引く二乗は和と差の積」あるいは(和と差の積は二乗の差)と覚える方が良い。
    ∵因数分解の公式には似たものが多く混同しやすいので、誤った記憶が再生しやすいからです。

ここから高校の因数分解の公式

  1. a3＋b3＝(a＋b)(a2−ab＋b2) 3乗公式
    これは、覚えるしかないでしょう。
  2. a3＋b3＝(a＋b)(a2−ab＋b2)で、bを(−b)にかえればいいので、
    a3−b3＝(a−b)(a2＋ab＋b2)は覚えない。
    ただし、最後の「＋b2」の所はb2→(−b)2だから、符号は＋のままという事に注意。
  3. a3＋３a2b＋３ab2＋b3＝(a＋b)3
    この公式は、あまり使わないから、最初は覚えなくていいかも。(逆は重要)パスカルの三角形を知れば、覚えるのは簡単。説明は数行下。
  4. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3で、bを(−b)にかえればいいので、
    a3−3a2b＋3ab2−b3=(a−b)3は覚えない
  5. (aX＋b)(cX＋d)=acX2＋(ad＋bc)X＋bd
    覚えられない因数分解たすき掛けを使わない 応用で解説。

パスカルの三角形で展開の公式を導出

パスカルの三角形を知っていると3次式、4次式の展開の公式を覚えやすい。

以下の４行の性質は、右辺のどの項の指数（a、bの指数の和）も、左辺の指数と一致していて、各項の係数がパスカルの三角形により、簡単な足し算で求められる事です。

(a＋b)1=            a＋b
(a＋b)2=        a2＋２ab＋b2
(a＋b)3=    a3＋３a2b＋３ab2＋b3
(a＋b)4=a4＋４a3b＋６a2b2＋４ab3＋b4

パスカルの三角形の作り方

左右の両端は１です。２段目の二つの１を足して、３段目の２を作ります。３段目の１と２を足して、４段目の３を作ります。４段目の１と３を足して５段目の４を、３と３を足して６を作ります。

　　　　　　　　　１
　　　　　　　　／　＼
　　　　　　　１　　　１
　　　　　　／　＼　／　＼
　　　　　１　　　２　　　１
　　　　／　＼　／　＼　／　＼
　　　１　　　３　　　３　　　1
　　／　＼　／　＼　／　＼　／　＼
　１　　　４　　　６　　　４　　　1

これは、２項定理を簡単に表したものです。

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因数分解の公式が使える簡単な問題

３x3＋１８x2y＋２７xy2
共通因数をくくり出す→因数分解の公式。

共通因数をくくり出す

共通因数は3Xだから３x3＋１８x2y＋２７xy2=
３x(x2＋６xy＋９y2)

基礎だから簡単ですね。ただし、これを最初に完全にやっておかないと、後が面倒になります。次に(　)の中の(x2＋６xy＋９y2)を因数分解します。

因数分解の公式を使う

x2＋６xy＋９y2に因数分解の公式を使いますが、公式の中には、覚えてはいけない公式があります。また、x2＋６xy＋９y2＝x2＋２・３xy＋３2y2という事に気がつかなくてはいけません。9は3の二乗、だけでなく、121が11の二乗だという事を知っておく必要があります。

因数分解のどの公式を使うのかが、
わからないと、生徒は言うのだが

  1. Ａ2＋２ＡＢ＋Ｂ2。項が三つで、そのうち２乗の項が二つ
  2. Ａ2−Ｂ2。項が二つで２乗
  3. Ａ3＋Ｂ3。項が二つで３乗
  4. Ｘ2＋(a＋b)Ｘ＋ab。項が三つで、そのうち２乗の項が一つ
  5. Ａ3＋３Ａ2Ｂ＋３ＡＢ2＋Ｂ3。項が四つで、そのうち３乗の項が二つ

上記のような違いがあるのだから、どの公式を使えばいいか、判ると思うのだが。

公式より大事な事

１、４、９、１６、等の数字を見た時に、１2、２2、３2、４2を思いつくかどうかだ。
１７2＝289ぐらいまでは覚えておこう。82＋152=172
同様に１、８、２７、６４が１3、２3、３3、４3になっている事に気がつかなくてはいけない。
Ａ3＋１→Ａ3＋１3に気がつかないと、公式を使う事を思いつかない。

因数分解の公式を使う前に、置き換えを使うと分かりやすい

因数分解の問題:(２Ａ＋Ｂ)2＋５(２Ａ＋Ｂ)＋６
慣れると、このままでも、できるが、
(２Ａ＋Ｂ)→Ｘと置き換えれば。
Ｘ2＋５Ｘ＋６となって、簡単。

因数分解の基礎が理解できたら因数分解の公式が使えない問題へ

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。