二次方程式の解と係数の関係 対称式α+β,αβ

二次方程式の解と係数の問題0

二次方程式　Ｘ²－√11Ｘ＋４＝０の解が、αとβの時、α＋βとαβを求めよ。

解答0

二次方程式の解と係数の関係より、α＋β＝√11、αβ＝４。二次方程式の解と係数の関係

二次方程式の解と係数の問題1対称式

二次方程式　Ｘ²－√11Ｘ＋４＝０の解が、αとβの時、α²＋β²を求めよ。

解答1

α²＋β²＝（α＋β）²－２αβだから、α＋β＝√11、αβ＝４を代入して、
α²＋β²＝（α＋β）²－２αβ＝（√11）²－２×４＝３

二次方程式の解と係数の問題2対称式

二次方程式　Ｘ²－√11Ｘ＋４＝０の解が、(複素数)αとβの時、α³＋β³を求めよ。

解答2

因数分解の三乗の公式
α³＋β³＝（α＋β）（α²－αβ＋β²）
＝（α＋β）｛（α＋β）²－３αβ｝
＝√11×｛（√11）²－３×４｝＝－√11
α³＋β³がマイナスの値になるのは何故？

補足 判別式

α＋β＝√11、αβ＝４から、α、βはプラスの実数と思ってはいけません。α³＋β³がマイナスの値になるのは、
二次方程式　Ｘ²－√11Ｘ＋４＝０の判別式：
ｂ²－４ａｃ＝（－√11）²－４×１×４＝－５＜０となり、α、βが実数ではなく虚数(複素数)だからです。判別式と二次方程式の解の公式

二次方程式の解と係数の問題3難問

二次方程式　Ｘ²－√11Ｘ＋４＝０の解が、αとβで、α＋βの整数部分をＡ、小数部分をＢとする時。Ａ、Ｂ、（Ｂ＋３）（Ｂ³＋６Ｂ²＋６）の値をそれぞれ求めよ。

解答3

α＋β＝√11なので、√11の整数部分をＡ、小数部分をＢとするという事です。(具体的に言うと、Ａ＝３。Ｂ＝0.3166247903554…)
√９＜√11＜√16だから、√11＝3.……。整数部分３＋小数部分Ｂ
つまり、√11＝３＋Ｂ、Ｂ＝√11－３となります。このＢ＝√11－３を
（Ｂ＋３）（Ｂ³＋６Ｂ²＋６）に代入すれば、答は出ますが、計算が面倒です。
（Ｂ＋３）＝√11だから、そのままにしておいて、
（Ｂ³＋６Ｂ²＋６）を（Ｂ＋３）が出てくるように変形します。
〔Ｂ³＋６Ｂ²＋６〕＝〔Ｂ（Ｂ²＋６Ｂ）＋６〕＝〔Ｂ｛（Ｂ＋３）²－９｝＋６〕
平方完成の方法に似ていますね。結局
（Ｂ＋３）（Ｂ³＋６Ｂ²＋６）＝（Ｂ＋３）×〔Ｂ｛（Ｂ＋３）²－９｝＋６〕
（Ｂ＋３）＝√11、Ｂ＝√11－３を代入すれば、
＝（√11）×〔（√11－３）｛（√11）²－９｝＋６〕
＝（√11）×〔（√11－３）｛２｝＋６〕
＝（√11）×〔｛２｝√11－３×｛２｝＋６〕
＝（√11）×〔｛２｝√11〕＝２２

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。