中学と高校の数学の解き方のコツ

1. 因数分解の公式

   • 因数分解 たすき掛けは不要（準備）[中学の数学]
     二次式の因数分解の解法を次の３つの場合に分けて解説します。
     因数分解後の（X+a）（X+b）の候補になるa,bについて
     • 候補が１種類の場合（初歩）
     • 候補が２種類ある場合
     • 候補が２種類あって、引き算になる場合
   • 二次式の因数分解たすき掛けを使わない方法（本論）[高校の数学]
     二次式の因数分解の解法（二乗の係数が１でない場合）を次の３つの場合に分けて解説します。
     因数分解後の（２X+a）（X+b）の候補になるa,bについて
     • 候補が１種類の場合（初歩）
       ただし、（２X+a）（X+b）と、ひっくり返した（２X+b）（X+a）の２通りを考える。
     • 候補が１種類で、引き算になる場合
     • 候補が２種類ある場合
   • 因数分解の公式は３つだけ覚える
     因数分解の解き方の原則（基礎）は、次の１〜３の順に考える。
     • 共通因数をくくり出す[中学の数学]
     • 因数分解の公式を使う。覚える公式は３つだけ。
       • Ａ^２＋２ＡＢ＋Ｂ^２＝（Ａ＋Ｂ）^２二乗の公式[中学の数学]
       • Ａ^２―Ｂ^２＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ―Ｂ）和と差の積の公式[中学の数学]
         「二乗ひく二乗は和と差の積」と覚えた方が良い。
       • Ａ^３＋Ｂ^３＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ^２−ＡＢ＋Ｂ^２）
         三乗の公式[高校の数学]
     • 最低次数の文字について整理してから、因数分解する。 [高校の数学]
   • 因数分解の例題 問題 高校の数学X^３+X^２y-X-yの解き方
     • 「共通因数をくくり出す」はできません。
     • 「因数分解の公式を使う」もだめですね。
     • よって、「最低次数の文字について整理してから、因数分解する」

2. 不等式の解き方

   • 一次不等式の解き方[中学の数学]
     不等式を方程式と思って解く。両辺にマイナスをかけたり、両辺をマイナスで割った時、不等号＞の向きが変わる事に注意。
   • 連立不等式の解き方[高校の数学]
     連立不等式は不等号＞の向きで
     数直線の書き方が、４つのパターンに分かれる。
   • 二次不等式[高校の数学]
     はオープンとクローズで、ほとんど解決。これが最終的解法
     Ｏ.
     
     Ｃ.
     
     Ｏ.とＣ.のどちらがオープンのイメージですか。
     • 二次不等式の解法二次不等式の安直な解法
       次の二次不等式の解き方は？
       問題：Ｘ^２−７Ｘ+１２＞０。
       二次不等式の左辺を因数分解して、（Ｘ−３）（Ｘ−４）＞０。
       左がオープンだから、答（解）は、Ｘ＜３ , ４＜Ｘです。
     • 二次不等式の解法。全ての実数、解なし
       二次不等式の答が「全ての実数」「解なし」になる場合。
       これも、オープンとクローズで、簡単にできます。
   • 絶対値の外し方。数字の場合と文字の場合。絶対値を含む不等式の問題。|X|＞3。|X-3|＞5。|X-3|＞|X|。絶対値を含む不等式の解き方

3. 二次関数の頂点の座標

   • 頂点の座標と平行移動 二次関数の頂点の座標は平方完成で
     ｙ＝ｘ^２−６ｘ＋１０を
     ｙ＝（ｘ−３）^２＋１のように変形するのが平方完成です。
     ｙ＝（ｘ−３）^２なら平方完成している雰囲気がありますが、
     ｙ＝（ｘ−３）^２＋１は「＋１」がある分、平方完成しているとは言いにくいですね。
     美しい平方完成
     そこで、ｙ＝（ｘ−３）^２＋１を
     ｙ−１＝（ｘ−３）^２と変形すれば、平方完成しているように見えます。
     この時、頂点の座標は（３，１）です。
   • 二次関数の決定 二次関数の決定とは、次の二次関数の一般式のどちらかで、a,b,cを決定する事です。 その過程で連立方程式を解く事になります。 Y＝aX２＋bX＋c　Y＝a（X−b）２＋c
   • 二次関数の最大値と最小値
     二次関数 Y＝F（X）＝X２−２aX＋a２−1の最小値と最大値を求めよ。
     ただし、１＜＝x＜＝５とする。
     平方完成するとX２−２aX＋a２−1＝（X−a）２−１となり、頂点のx座標＝aとなります。
     この頂点とx＝１、x＝３（１と５の中点）、x＝５の位置関係によって場合分けします。

4. 絶対値

   • 絶対値を含む方程式
     絶対値の外し方 数字の場合と文字の場合。絶対値を含む方程式の問題。例、|X|=3。|X-3|=5。|X-3|=|X|。
   • 絶対値を含む不等式
     絶対値を含む不等式の解き方と問題・解説。
     |X-3|の場合、X-3がプラスだかマイナスだか、わかりません。
     そこで、X-3がプラスの場合とマイナスの場合に分けます。

5. 方程式の解き方

   • 平方完成の公式を丸暗記してはダメ
     平方完成が理解できれば、二次方程式の解の公式を導きだす事ができます。
   • 二次方程式の解と係数の関係
   • 二次方程式の解と係数の問題 対称式
   • 判別式と二次方程式の解の公式
     二次方程式の解の個数（判別式）と二次方程式の解の公式は深い関係があります。
   • 3次方程式の因数分解による解法と多項式の除法
     因数定理→3次方程式が教科書の順番だが、三次方程式の解法から始めた方が理解し易いと思う。
     3次方程式を解くとは、
     因数分解して、(X-A) (X-B) (X-C) = 0 とする事であり、
     3次方程式の解はX=A, B, Cとなる。（二次方程式と考え方は同じ）
     多項式の除法は整数の割り算と同じような方法で行う。
   • 三次方程式の問題と解法三次方程式Ｘ^３＋ＡＸ^２＋（Ａ＋８）Ｘ＋９＝０の解が一つの実数解と二つの虚数解を持つ時、Ａの範囲を求めよ。
   • 三次方程式・因数定理と剰余の定理
     因数定理は3次方程式の因数分解で使われる。数学の教科書では 剰余の定理→因数定理→三次方程式の解法の順番で教えられるが。（高校の数学）

6. 三角関数

   • 三角関数の公式の覚え方
     三角関数の公式は、似た公式が沢山あるので、丸暗記は無理です。
     なるべく図を書いて、三角関数の公式を理解しましょう。
   • sin cos tanの覚え方sinは筆記体で書く
     筆記体sin　cos　tan
     sin＝ｙ/ｒ（/は割り算の記号）cos=斜辺分の横＝ｒ 分の Ｘが簡単に覚えられます。tan=横分の縦＝Ｘ 分の Ｙが簡単に覚えられます。
   • sin cos tanの表は覚えない
     sin cos tanの表を覚えるより、30°,60°,90°の三角形の辺の比が、1：2：ルート3になる事の方が重要。1：2：√3から、sin cos tanの表が出てくるからです。

   中学の数学・高校の数学で、大事なのは次の２つの事

   • 基礎的な事は、理屈を完全に理解する事
   • 次に、理屈を忘れるぐらいに体に染み込ませる事
     その時、染み込みやすい方法と、そうでない方法があります。

最後まで読んでいただいて、ありがとうございました。